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微分几何第二章曲面论第三节复习2分解_图文

微分几何第二章曲面论第三节复习2分解_图文

第二章
曲面论

§3 曲面的第二基本形式
主要内容
1.曲面的第二基本形式; 2.曲面上曲线的曲率; 3.Dupin指标线; 4.曲面的渐近方向和共轭方向; 5.曲面的主方向和曲率线; 6.曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率; 7.曲面在一点邻近的结构; 8.Gauss曲率的几何意义.

3.2 曲面上曲线的曲率
1.曲面上曲线的曲率

? ? ( S ) : r ? r (u, v )

?

?

.P

n
II Ldu2 ? 2 Mdudv? Ndv2 k cos? ? ? I Edu2 ? 2Fdudv ? Gdv2

?? ? ? ? r?

??u ? ( s), v ? v( s) ? (C ) u r ? r [u( s), v( s)]

2.法截线、法曲率

法截线

S

? 0 n (C ) 0

? ?

法截线

P.

(d ) ? du : dv

? n P. S (C ) ? (d ) ? du : dv 0 ?
0

法截面

法截面

的法曲率kn为: 定义 (法曲率)曲面在给定点沿一方向 ? ?? k0 法截线向n的正侧弯曲 kn ? ? ? ? ? k0 法截线向n的负侧弯曲

定理 (梅尼埃定理 ) 曲面曲线(C )在给定点P的 曲率中心C就是与曲线(C )
具有共同切线的法截线 (C 0 ) 上同一点P的曲率中心C 0 在

法截线

曲线(C )的密切平面上的投影.


kn ? k cos ? R ? Rn cos ?

S (C 0 ) ? R (C ) n C C 0 密切平面 法截面

P.

(d )

梅尼埃定理

3.3 杜邦(Dupin)指标线
P.

? rv

(? d)

N ( x, y)

ru

?

(S)

定义 在P点沿切方向 (d ) ? du : dv上取一点N, 1 使 PN ? ( k n ? 0), 随切方向 (d )改变, kn
N点的轨迹称为曲面 ( S )在P点的杜邦指标线 . ? ? 方程 在标架{ P; ru , rv }下,

Lx 2 ? 2 Mxy ? Ny 2 ? ?1

曲面上点的分类 则称点P为曲面的椭圆点 . ( 1 )如果LN ? M 2 ? 0, 此时,杜邦指标线为一 椭圆 . 则称点P为曲面的双曲点 . ( 2 )如果LN ? M 2 ? 0,
此时,杜邦指标线为一 对共轭双曲线 .

( 3 )如果LN ? M 2 ? 0,但L, N , M不全为零, 则称点P为曲面的抛物点 . 此时,杜邦指标线为一 对平行直线. ( 4 )如果L ? N ? M ? 0, 则称点P为曲面的平点. 此时,杜邦指标线不存 在.

3.4 曲面的渐近方向和共轭方向
1.曲面的渐近方向
向 定义 曲面( S )在点P的杜邦指标线的渐近方 叫做曲面 ( S )在点P的渐近方向 . ?曲面( S )在点P的方向du : dv是渐近方向 ? Ldu2 ? 2 Mdudv ? Ndv 2 ? 0. 渐近方向方程 注 (1) 渐近方向的个数 若LN ? M 2 ? 0, 有两个虚渐近方向 . 即椭圆点, 有两个实渐近方向 . 即双曲点, 若LN ? M 2 ? 0, 若LN ? M 2 ? 0, 有一个实渐近方向 . 即抛物点, 若L ? N ? M ? 0, 任何方向都是渐近方向 . 即平点,

II Ldu2 ? 2 Mdudv? Ndv2 ? , ( 2) ? k n ? 2 2 I Edu ? 2Fdudv ? Gdv ? du : dv是渐近方向? kn ? 0. 如果它上面每一点的切 方向都是 定义 曲面上的曲线, 渐近方向, 则称为渐近曲线 .

渐近曲线的方程为: Ldu ? 2 Mdudv ? Ndv ? 0. 定理 曲面( S )上的曲线(C )是渐近曲线 ? 或者(C )是直线
2 2

或者它在每一点的密切 平面与( S )的切平面重合.

定义 曲面( S )上两族渐近曲线构成的 曲线网

). 称为曲面( S )的渐近曲线网 (简称渐近网

注 只含椭圆点的曲面上, 无渐近曲线, 也 无渐近曲线网 2 由于 LN ? M ? 0, 只含双曲点的曲面上, ?经过每一点有两条渐近 曲线, 2 2 即渐近曲线方程 Ldu ? 2 Mdudv ? Ndv ? 0有两组解: A2du ? B2dv ? 0, 它们构成渐近曲线网 A1du ? B1dv ? 0, 2 由于 LN ? M ? 0, 只含抛物点的曲面上, ? Ldu2 ? 2 Mdudv ? Ndv 2 ? 0可化为 ( Adu ? Bdv )2 ? 0,

?只含抛物点的曲面上只 有一组渐近曲线, 也无渐近曲线网; 由于L ? N ? M ? 0, 只含平点的曲面上, ?曲面上的任何曲线网都 是渐近曲线网 . 命题3 曲纹坐标网是渐近网? L ? N ? 0. 证: 渐近网的方程为: Ldu2 ? 2 Mdudv ? Ndv 2 ? 0. 曲纹坐标网的方程为: dudv ? 0. 即du ? 0或dv ? 0. “? ”若曲纹坐标网是渐近网 则du ? 0或dv ? 0. , 代入渐近网的方程得: L ? N ? 0. “? ” 则渐近网方程变为: 2 Mdudv ? 0. 若L ? N ? 0,
? dudv ? 0. 即渐近网是曲纹坐标网 ? M ? 0, .

2.共轭方向 (d )和(? )是 定义 若曲面( S )在P点的两个方向

( S )在P点的杜邦指标线的共轭 方向, 则(d )和(? )就称为曲面 ( S )在P点的共轭方向 .

Lx 2 ? 2 Mxy ? Ny 2 ? ?1.于是有 ? 杜邦指标线的方程为 定理 两个方向 (d ) ? du : dv和(? ) ? ?u : ?v共轭 ? Ldu?u ? M (du?v ? dv?u) ? Ndv?v ? 0. ? ? ? ? 即dn ? ?r ? 0或?n ? dr ? 0. ? ? ? ? ? ? ? dn ? ?r ? ?(nudu ? nv dv ) ? (ru?u ? rv?v ) 事实上, ? ? ? Ldu?u ? M (du?v ? dv?u) ? Ndv?v ? ??n ? dr . ?两个方向 (d ) ? du : dv和(? ) ? ?u : ?v共轭 ? ? ? ? ? dn ? ?r ? 0或?n ? dr ? 0.

定义 曲面上两族曲线构成的 曲线网, 如果不同族的曲线的切 方向都共轭, 则称这个曲线网为共轭 曲线网 . 命题 曲线族 A(u, v )du ? B(u, v )dv ? 0 ( A2 ? B2 ? 0) 共轭曲线族的微分方程 是 ( BL ? AM )?u ? ( BM ? AN )?v ? 0. 证: 设?u : ?v是已知曲线族的共轭曲 线族的切方向, 由共轭条件得: Ldu?u ? M (du?v ? dv?u) ? Ndv?v ? 0. 且 Adu ? Bdv ? 0 Adu ? Bdv ? 0 ? 于是方程组? ?( L?u ? M?v )du ? ( M?u ? N?v )dv ? 0 是关于du, dv的二元齐次线性方程组 .

? du, dv不全为零, A B ? ?0 L?u ? M?v M?u ? N?v ( BL ? AM )?u ? ( BM ? AN )?v ? 0. 展开整理得: u ? 曲线族dv ? 0的共轭曲线族的方程为 : 特别地, L?u ? M?v ? 0. u ? 曲线族的共轭曲线族为 v ? 曲线族? M ? 0.
轭网 ? M ? 0. 命题4 曲面的曲纹坐标网是共

3.5 曲面的主方向和曲率线
1.主方向

定义 曲面在一点P的两个方向, 如果它们既正交又共轭 , 则称为曲面在点P的主方向. 曲面在一点处的主方向 是否存在? 问题: 若存在, 有多少个? (? ) ? ?u : ?v是另一个主方向, 设方向 (d ) ? du : dv是主方向, ? ? ? dr ? ?r ? 0 ?它们既正交又共轭, ?? ? ? , ?dr ? ?n ? 0 ? Edu?u ? F (du?v ? dv?u) ? Gdv?v ? 0 即? . ? Ldu?u ? M (du?v ? dv?u) ? Ndv?v ? 0 将以上两式改写为:

? ( Edu ? Fdv )?u ? ( Fdu ? Gdv )?v ? 0 ? ?( Ldu ? Mdv )?u ? ( Mdu ? Ndv )?v ? 0 ??u, ?v不全为零, Edu ? Fdv Fdu ? Gdv ? ?0 Ldu ? Mdv Mdu ? Ndv
dv 2 上式还能写成:E L ? dudv F M du 2 G ?0 N

(*)

反之, (d )和(? )为主方向 . 将上述过程逆推可知,

?方程(*)为主方向方程 .

dv2 将 E L

? dudv du2 F M G ? 0展开得: N

( EM ? FL)du2 ? ( EN ? GL)dudv ? ( FN ? GM )dv 2 ? 0 这是关于du : dv的二次方程, ? ? ( EN ? GL)2 ? 4( EM ? FL)( FN ? GM ) 2 2F 4 ( EG ? F ) 2 2 ? [( EN ? GL) ? ( EM ? FL)] ? ( EM ? FL ) ? 0. 2 E E ? 方程(*)总有解. 又? ? 0 ? EN ? GL ? EM ? FL ? 0,
E F G 即? ? 0 ? ? ? . 此时, 每一个方向都是主方向 . L M N 除此之外, 方程(*)总有两个不相等的实根 . ?曲面在每一个点处总有 两个主方向 .

E F G 定义 曲面上满足 ? ? 的点称为曲面的脐点 . L M N

满足L ? M ? N ? 0的脐点称为平点 . 满足L, M , N不全为 0的脐点称为圆点 .

注 (1)在脐点处, II Ldu2 ? 2 Mdudv? Ndv2 kn ? ? ? ? (常数), 2 2 I Edu ? 2Fdudv ? Gdv

?平点 L ? M ? N ? 0 ? 脐点? , ?圆点 L, M , N不全为0

? 在脐点沿任何方向法曲 率都相等. ? ? 0, 任何方向都是主方向 . (2)在脐点处, ? ? 0, 只有两个主方向 . 在非脐点处,
?曲面在每一个点处至少 有两个主方向 .

是平点. 例5 证明平面上每一个点都 ? 证: 平面方程为: r?? { x, y,0} ? ? rx ? {1,0,0}, ry ? {0,1,0} ? ? ? ? rxx ? {0,0,0}, rxy ? ryx ? {0,0,0}, ryy ? {0,0,0}, 点. ? L ? M ? N ? 0, ?平面上每一个点都是平 是圆点. 例6 证明球面上每一个点都 ? 证: 球面方程为: r ? { R cos? cos? , R cos? sin? , R sin? } ? r? ? {? R sin? cos? ,? R sin? sin? , R cos? } ? r? ? {? R cos? sin? , R cos? cos? ,0} ? ? ?2 ?2 2 E ? r? ? R , F ? r? ? r? ? 0, G ? r? ? R2 cos2 ? , ? ? r? ? r? ? n? ? {? cos? cos? ,? cos? sin? ,? sin? } EG ? F 2

? 又 ? r?? ? {? R cos? cos? ,? R cos? sin? ,? R sin? } ? r?? ? { R sin? sin? ,? R sin? cos? ,0} ? r? ? ? {? R cos? cos? ,? R cos? sin? ,0} ?2 ? ? 2 E ? r ? R , ? L ? r?? ? n ? R, ? ? ? ? ? F ? r? ? r? ? 0, M ? r? ? ? n ? 0, ?2 2 2 ? ? 2 G ? r ? R cos ?, ? N ? r ? n ? R cos ? ,
??

E F G ? ? ? ? R, 且L, M , N不全为 0. L M N ? 球面上每一个点都是圆 点.

II 1 沿任何方向法曲率 kn ? ? . I R

主方向的判别定理 (罗德里格定理 ) ? ? 曲面在一点处的方向 (d ) ? du : dv是主方向? dn ? ?dr 其中? ? ? kn( , kn 是曲面沿方向 (d )的法曲率) . “? ” 证: (d )的另一个主方向, 设(d )是主方向 , (? )是垂直于 则它们既垂直又共轭 , ? ? ? dr ? ?r ? 0 ?? ? ? , ?dr ? ?n ? 0 ? ? ? ? ? ? ? n是单位向量,? dn ? n, 又dr , ?r ? n, ? ? ? ? ? ? ? dn与dr , ?r都在切平面上 , ? dn ? ?dr ? ??r , ? ? ? ? ? 2 ? 两边点乘?r 得: dn ? ?r ? ? (dr ? ?r ) ? ?(?r ) , ? 2 ? ? ? (?r ) ? 0, 而?r ? 0, ? ? ? 0, ? ? ? dn ? ? dr .

? ? “? ” 若方向 (d )满足dn ? ?dr , 取与 (d )垂直的方向 (? ), ? ? 则dr ? ?r ? 0, ? ? ? ? ? ? ? dn ? ?r ? ? (dr ? ?r ) ? 0, dn ? ?dr 两边点乘?r 得: ? (d )与(? )既垂直又共轭 , 故(d )是主方向 .
下面计算? ? ? kn . ? ? ? ? ?2 由dn ? ?dr 得, dn ? dr ? ?dr , ? ? dn ? dr ? II ? ? kn . ?? ? ?2 ? dr I 注 (1)由罗德里格定理可以看 出, 欲证(d )是主方向, ? ? 只需证dr // dn. ? ? ( 2 )dn ? ?dr 叫罗德里格方程 .

2.曲率线与曲率线网

定义 曲面上一曲线, 如果它在每一点的切方 向都是主方向, 则称该曲线为曲面上的 曲率线, 由两族曲率线构成的曲 线网称为曲率线网 . 方程 dv 2 ? dudv du 2
E L F M G ?0 N

命题 在不含脐点的曲面片上 ,经过参数的选择,
可使曲率线网为曲纹坐 标网. 2 2 dv ? dudv du 证:曲率线网的微分方程为 :
E L F M G ?0 N

即( EM ? FL)du2 ? ( EN ? GL)dudv ? ( FN ? GM )dv 2 ? 0 ? 对任意一点都有 ? ? 0, ?曲面上不含脐点, 故上式可通过因式分解 得两族曲率线: Ai du ? Bi dv ? 0 (i ? 1,2) 设?i (i ? 1,2)是它们的积分因子,则 ?1 A1du ? ?1 B1dv, ?2 A2du ? ?2 B2dv为u , v的全微分, ? du ? ?1 A1du ? ?1 B1dv 即? , ?dv ? ?2 A2 du ? ?2 B2 dv ? u ? u ( u, v ) 这相当于作参数变换 , 且其雅可比行列式 ? ? v ? v ( u, v ) A1 B1 ? ( u , v ) ?1 A1 ?1 B1 ? ? ?1?2 ? 0. A2 B2 ? ( u, v ) ?2 A2 ?2 B2 u , v 为新参数,且 du ? 0, dv ? 0.

于是曲率线网就成为新 的曲纹坐标网 .
曲面上任何一个正规曲 线网都可以选为曲纹坐 标网. 命题5 曲纹坐标网是曲率线网 ? F ? M ? 0. 例7 求旋转曲面的曲率线 . ? 解: 旋转曲面的方程为 r ? {? (t ) cos? , ? (t ) sin? ,? (t )} ? ? ? rt ? {? ? cos? , ? ? sin? ,? ?}, r? ? {?? sin? , ? cos? ,0} ? ? rtt ? {? ?? cos? , ? ?? sin? ,? ??}, rt? ? {?? ? sin? ,? ? cos? ,0}, ? r?? ? {?? cos? ,?? sin? ,0} ? ? rt ? r? ? {??? ? cos? ,??? ? sin? ,?? ?}
F ?M ?0 ?曲率线网就是曲纹坐标 网. 即曲率线网就是子午线 和纬圆组成的曲线网 .



类似可以证明:

3.6 曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率
1.主曲率
曲面在此点 定义 曲面在一点P沿主方向的法曲率称为 ? 的主曲率. rv (d ) ? du : dv ? 取曲率线网为曲纹坐标 网, ru P? 则F ? M ? 0. I ? Edu2 ? Gdv 2 ? ? ( S ) : r ? r (u, v ) II ? Ldu2 ? Ndv 2 II Ldu2 ? Ndv 2 ? kn ? ? , 2 2 I Edu ? Gdv L N 沿u ? 曲线的主曲率 k1 ? , 沿v ? 曲线的主曲率 k2 ? , E G

? ? ru ? dr 则cos? ? ? ? ? ru dr
?
2

? ? ? ru ? ( ru du ? rv dv ) ?2 ? ? ru ( ru du ? rv dv ) 2
2

Edu

P?

? rv (d ) ? du : dv ? ? ru

? ? E Edu ? Gdv ( S ) : r ? r (u, v ) 2 Edu 2 ? cos ? ? , 2 2 Edu ? Gdv 2 Gdv sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? ? , 2 2 Edu ? Gdv Ldu2 ? Ndv 2 L Edu2 N Gdv 2 ? kn ? ? ? ? ? 2 2 2 2 Edu ? Gdv E Edu ? Gdv G Edu2 ? Gdv 2

,

? k1 cos 2 ? ? k2 sin 2 ? .
kn ? k1 cos 2 ? ? k2 sin 2 ? .

欧拉公式

? 注 (1)若将角?换成(d )与rv的夹角?, 欧拉公式仍然成立 . ? ? ? ?? ? ? ? 事实上, ( S ) : r ? r (u, v ) 2 2 ? 2 ? kn ? k1 cos ( ? ? ) ? k2 sin ( ? ? ) 2 2 ? k1 sin2 ? ? k2 cos 2 ? ? k2 cos 2 ? ? k1 sin2 ? .

kn ? k1 cos 2 ? ? k2 sin 2 ? .

欧拉公式

? rv (d ) ? du : dv ?? ? ru P?

(2)在脐点处,欧拉公式仍 然成立. 沿任何方向的法曲率 kn ? k1 ? k2 . 此时k1 ? k2,

命题6 曲面在一点的主曲率是 曲面在这点所有方向

的法曲率的最大值和最 小值. 证: 设k1,k2 是曲面 ( S )在P点的两个主曲率, 若点P是脐点,显然成立 . 则k1 ? k2, 不妨设k1 ? k2, 若点P是非脐点, kn 是沿任意方向的法曲率 ,则kn ? k1 cos 2 ? ? k2 sin 2 ? . ? k2 ? kn ? k2 ? k1 cos 2 ? ? k2 sin 2 ? ? k2 (1 ? sin2 ? ) ? k1 cos 2 ? ? k2 cos 2 ? ? k1 cos 2 ? ? ( k2 ? k1 ) cos 2 ? ? 0. ? k2 ? kn . ? 当且仅当? ? 即kn与k2所在方向共线时 , 等号成立.
2 同理可得kn ? k1 . 总之,k1 ? kn ? k2 .

主曲率的计算公式 L N (1)若曲率线网是曲纹坐标 网, 则k1 ? , k 2 ? ; E G (2)一般情况, 由罗德里格定理, 沿主方向 (d )有: ? ? dn ? ? k N dr 其中k N 是沿主方向 (d )的主曲率.
上式又可写成: ? ? ? ? nudu ? nv dv ? ?k N (rudu ? rv dv) ? ? 两边分别点乘ru , rv 得: ? Ldu? Mdv ? ? k N ( Edu ? Fdv) ? Mdu? Ndv ? ? k N ( Fdu ? Gdv)

即:( L ? Ek N )du ? ( M ? Fk N )dv ? 0

( M ? Fk N )du ? ( N ? GkN )dv ? 0 ? du, dv不全为0,

L ? Ek N ? M ? Fk N
即:

M ? Fk N ?0 N ? GkN

2 ( EG ? F 2 )k N ? ( LG ? 2 MF ? NE )k N ? ( LN ? M 2 ) ? 0

? ?主曲率的计算公式 . 其中? ? 0, ? 在非脐点处,有两个不 相等的实根;

即k N 只有一个值. 在脐点处,有两个相等 的实根,

2.高斯曲率和平均曲率
定义 曲面在一点的两个主曲 率k1 , k2 之积叫做曲面 . 记作K . 在该点的高斯曲率(或全曲率)
曲面在一点的两个主曲 率k1 , k2的平均值叫做曲面 . 记作H . 在该点的平均曲率(或中曲率)
由主曲率的计算公式 2 ( EG ? F 2 )k N ? ( LG ? 2 MF ? NE )k N ? ( LN ? M 2 ) ? 0
得:

LN ? M 2 K ? k1k 2 ? EG ? F 2

k1 ? k 2 LG ? 2 MF ? NE H? ? 2 2( EG ? F 2 )

若曲面 ( S ) : z ? f ( x, y ). 则E ? 1 ? p2 , F ? pq, G ? 1 ? q 2 , EG ? F 2 ? 1 ? p2 ? q 2 , r s t L? ,M ? ,N ? , 1 ? p2 ? q 2 1 ? p2 ? q 2 1 ? p2 ? q 2
rt ? s 2 ?K ? , 2 2 2 (1 ? p ? q )
H? (1 ? q 2 )r ? 2 pqs ? (1 ? q 2 )t 2(1 ? p 2 ? q 2 )
3 2

,

? 例8 求旋转曲面r ? {? ( u) cos ? , ? ( u) sin? ,? ( u)} (? ( u) ? 0) 的主曲率、高斯曲率和 平均曲率. z ? ru ? {? ?(u) cos? , ? ?(u) sin? ,? ?(u)}, 解: ? r? ? {?? (u) sin? , ? (u) cos? ,0}, ? ( x, y, z ) ? ruu ? {? ??(u) cos ? , ? ??(u) sin? ,? ??(u)}, o y ? ? ? ru? ? {?? ?( u) sin? , ? ?( u) cos ? ,0} ? r? u , ? r?? ? {?? (u) cos? ,?? (u) sin? ,0}, x ? ? ? x ? ? ( u) ru ? r? ? {??? ? cos? ,??? ? sin? ,?? ?}, , ? ? ? ? z ? ? ( u) ? ru ? r? {?? ? cos? ,?? ? sin? , ? ?} n? ? ? ? ru ? r? ? ?2 ?? ?2

? E ? ? ? 2 ? ? ? 2 , F ? 0, G ? ? 2,

? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ?? ? ? L ? ruu ? n ? , M ? ru? ? n ? 0, ? ?2 ?? ?2 ? ? ?? ? N ? r?? ? n ? , ? ?2 ?? ?2 ? M ? F ? 0, ?? L ? ?? ?? ? ? ??? ? N , k2 ? ? , ? k1 ? ? 3 1 E (? ? 2 ? ? ? 2 ) 2 G ? (? ? 2 ? ? ? 2 ) 2

H?

? ?(? ?? ?? ? ? ??? ? ) K ? k1k 2 ? , 2 2 2 ? (? ? ? ? ? ) k1 ? k 2 ? (? ?? ?? ? ? ??? ? ) ? ? ?(? ? 2 ? ? ? 2 )
2 ? 2? (? ? 2 ? ? ? 2 )
3 2

.

? x ? ? ( u) ? ? ( z ) 若取xoz面上最初的曲线为 特别地, ? ? z ? ? ( u)? u z 即取z作为最初的曲线的参数 , 于是旋转曲面方程为 ? ( x, y, z ) ? r ? {? ( z ) cos ? , ? ( z ) sin? , z } (? ( z ) ? 0) o ? ? ?? 1 y ? 此时k1 ? , k ? , 2 3 1 2 2 2 ? (1 ? ? ? ) 2 (1 ? ? ? )

? ? ?? K? , 2 2 (1 ?? ) ?? ??? ? ?? ?? ?? ?? k1 ? , 23 , k2 ? 1 2 1 ? ?2? ? 2 2 2 ?? ?? 2 ? ? ? ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) H? . 3 2 2 ? 2 ? ( 1 ? ? ) ? ?(? ?? ?? ? ? ??? ? ) ? (? ?? ?? ? ? ??? ?) ? ? ?(? ? 2 ? ? ? 2 ) K? ,H? . 2 2 2 3 ? (? ? ? ? ? ) 2? (? ? 2 ? ? ? 2 ) 2

x

例9 求出极小的旋转曲面 . 注: 平均曲率H ? 0的曲面叫做极小曲面 .

解:令H ?

1 ? ? ? 2 ? ?? ??
2 3

2? (1 ? ? ? ) 2 ? ?? 1 1 2? ?? ?? ? ? 1 2 ? ? , ? ? , ? 即 [ln( 1 ? ? )]? ? [ln ? ]?, 2 2 1? ?? ? 2 1? ?? ? 2

? 0. 得: 1 ? ? ? 2 ? ?? ?? ? 0,

1 ? ln( 1 ? ? ? 2 ) ? ln a ? ln ?, (其中a为正常数) 2 ? 2 2 2 ? ? ? a 1 ? ? ? ?,1 ? ? ? ( ) , a ? ? ? ? ?? ?2 1 ? ? 1, 可化为?ln ? ? 1? ? , 2 a a a ? 2 ? ? ? ? ( ) ?1 a ?? ? z ? 2 ? ? ? C, ln ? ? ( ) ? 1 积分得: (其中C为任意常数) ?a ? a ? ? a

则 ? ( )2 ? 1 ? e , 令C ? 0, a a
e ?e 解得:? ? a( 2
z a ? z a

?

?

z a

z )? a cosh (悬链线) a

将此曲线绕z轴旋转所得旋转曲面方 程为: ? z z ) r ? {a cosh cos ? , a cosh sin? , z }. (悬链面 a a z

o x

y

3.7 曲面在一点邻近的结构
曲面上点的分类 1 )LN ? M 2 ? 0,椭圆点 ? K ? 0. ?( 2 ? LN ? M 双曲点 ? K ? 0. K ? ( 2 )LN ? M 2 ? 0, ? 2 ? EG ? F 2 ( 3 ) LN ? M ? 0,抛物点 ? ? ? K ? 0. ? ? ( 4 )L ? N ? M ? 0, 平点 ? ?

1? 椭圆点 K ? k1k2 ? 0. 不妨设k1 ? 0, k2 ? 0.
? kn ? k1 cos 2 ? ? k2 sin 2 ? ? 0. ? ?沿kn方向的法截线总朝 n的正方向弯曲,
且曲率即为 kn .

1 故沿k1的主方向的法截线近似 于y ? k1 x 2 ; 2 1 沿k2的主方向的法截线近似 于y ? k2 x 2 ; 2 1 沿kn的主方向的法截线近似 于y ? kn x 2 . 2 ?曲面在椭圆点近似于一 个椭圆抛物面 .

? n

P

2? 双曲点 k1 K ? k1k2 ? 0. 不妨设k1 ? 0, k2 ? 0. 1 故沿k1的主方向的法截线近似 于y ? k1 x 2 , 2 ? 且向n的负向一侧弯曲 . 1 沿k2的主方向的法截线近似 于y ? k2 x 2 ; ? 2 且向n的正向一侧弯曲 .

k2

? kn ? k1 cos 2 ? ? k2 sin 2 ? ? 各方向法曲率 kn的变化情况如下表: ? 3? ? 0 ? 2 2
kn

2? 0
k1

k1

0

k2

0

k1

0

k 2? 0 kn ? 0 k ? 0 kn ? 0 n ?0 ? ? ? P k1 ? ? kn ? 0? ? kn ? 0 k2 kn ? 0 kn ? 0 kn ? 0 令k1 cos 2 ? ? k2 sin 2 ? ? 0, k1 k1 得: tan ? ? ? ? ?曲面近似于一个双曲抛 物面. k2

︷ ︸

k2 ? n

3? 抛物点 K ? k1k2 ? 0, 但L, N , M不全为零, 此时k1 , k2有一个为 0, 有一个不为 0, (若k1 ? k2 ? 0, 则kn ? k1 cos 2 ? ? k2 sin 2 ? ? 0, 与抛物点矛盾 ) 任何方向都是渐近方向 , 不妨设k1 ? 0, k2 ? 0, 1 故沿k1的主方向的法截线近似 于y ? k1 x 2 , ? 2 ? 且向n的负向一侧弯曲 . n 沿k2 ? 0的主方向是渐近方向, 法截线形状比较复杂 . P 1 3 ? ? 0, 法截线近似于 ? 若k y ? k x , 2 2 6 是一条立方抛物线 . ? k1 ? kn ? k2 ? 0, ? 一切法截线都向 n的负向一侧弯曲 . ?曲面在抛物点近似于一 个抛物柱面 .

k2 k1

4? 平点 K ? k1k2 ? 0, 且L ? N ? M ? 0, ? ? 0, k ? ? 0, 此时k1 ? k2 ? 0, 不妨设k 1 2 1? 3 沿k1方向的法截线近似于 y ? k1 x , 6 1? 3 沿k2方向的法截线近似于 y ? k2 x . 6

猴鞍面z ? x ? 3 xy
3

2

3.8 高斯曲率的几何意义
1.曲面的球面表示、曲面的第三基本形式 ? ? n ? n(u, v ) 定义
?

. P( u, v )
? r ( u, v )

? ?称为曲面上 ( S )的区域?的球面像.
. 注 (1)Gauss映射不一定是一一映射 如: 平面的球面像是 一个点; 一条曲线(圆). 圆柱面的球面像是 ( 2)若曲面( S )上无抛物点或平点, 则Gauss映射是一一映射 . (习题28)

? ? ( S ) : r ? r (u, v )

? ? ? ? r ( u, v ) n ? n(u, v ) 高斯映射 曲面的球面表示
G :?
?

? .P ?
?

基本形式 定义 曲面的球面表示的第一 ?2 ?2 ds ? dn ? edu2 ? 2 fdudv ? gdv 2 叫做曲面的第三基本形 式.记作III . ?2 即III ? dn ? edu2 ? 2 fdudv ? gdv 2 ?2 ? ? ?2 其中e ? nu , f ? nu ? nv , g ? nv 叫做曲面的第三类基本 量. 间有如下的线性关系: 命题 曲面的三个基本形式之 III ? 2 HII ? KI ? 0
其中K为高斯曲率, H为平均曲率 . 证: 取曲率线网为曲纹坐标 网, 则曲面的第一、第二基 本形式可以写为:

I ? Edu2 ? Gdv 2 , II ? Ldu2 ? Ndv 2 ,

? ? ? ru和rv的方向为主方向, 设k1 , k2分别为u ? 曲线和v ? 曲线方向的主曲率 , ? ? dn ? ?dr , ?由罗德里格定理得: ? ? ? ? 即nudu ? nv dv ? ? ( rudu ? rv dv ), 而沿u ? 曲线,dv ? 0, du ? 0, ? ? ? ? ? ? ? nu ? ?ru ? ? k1ru ,同理, nv ? ?rv ? ? k2 rv , ?2 ? ? ? ? 2 ?2 2 ? e ? nu ? k1 ru ? k1 E , f ? nu ? nv ? k1k2 ( ru ? rv ) ? 0, ?2 2 ?2 2 g ? nv ? k 2 rv ? k2 G,
2 ? III ? k12 Edu2 ? k2 Gdv 2 ? ? ? ? ?2 又? L ? ?nu ? ru ? ?(? k1ru ) ? ru ? k1ru ? k1 E ,(或由k1 ? ? ? ? ? M ? ? nu ? rv ? ?(?k1ru ) ? rv ? 0, ? ? ? ? ?2 N ? ?nv ? rv ? ?(?k2 rv ) ? rv ? k2 rv ? k2G ,(或由k 2 ?

L 得) E N 得) G

? II ? k1 Edu2 ? k2Gdv2 ? III ? 2 HII ? KI 2 ? k12 Edu 2 ? k 2 Gdv 2 ? ( k1 ? k 2 )( k1 Edu 2 ? k 2Gdv 2 )
? k1 k 2 ( Edu 2 ? Gdv 2 ) ? 0. ? ?的面积 命题7 K P ? lim ? ? P ?的面积 ? ? ?的面积 ? ?? ru ? rv dudv, 证:
? ? ? 的面积 ? ?? nu ? nv dudv,
?

?

?

其中? 是曲面域?及球面域? ?在uv平面上对应的 即u, v的变化区域. 平面区域,

? ? n ? n(u, v )

? .P ?
?
G :?

?

.P

??

v

.P ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? nu ? nv ? K (ru ? rv ), ? nu ? nv ? K ru ? rv , ? ? ? ? ? ? ? 的面积 ? ?? nu ? nv dudv ? ?? K ru ? rv dudv,
?

o

u

?

由二重积分的中值定理 可知, 存在点?的内点Q, ? ? ? ? 的面积 ? K Q ?? ru ? rv dudv ? K Q ? (?的面积)

K Q ? (?的面积) ? ?的面积 ? lim ? lim ? lim K Q ? K P . ? ? P ?的面积 ? ?P ? ?P ?的面积

?

注 高斯曲率符号的几何意 义 ? ? ? ? ? nu ? nv ? K (ru ? rv ), ? ? ? ? nu ? nv 是球面的法向量 . 其中ru ? rv 是曲面的法向量, K ? 0表示这两个法向量指向 一致, ? ? ? ? ? 从ru到rv的旋转方向和从 nu到nv的旋转方向相同; K ? 0表示这两个法向量指向 相反, ? ? ? ? ? 从ru到rv的旋转方向和从 nu到nv的旋转方向相反.

作业
P113:


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