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7第七章 压杆稳定

7第七章 压杆稳定


第七章 压杆稳定
§7-1 基本概念
P<Pcr P=Pcr P>Pcr

QQ Q

Q QQ

Q QQ

a)直线稳态

b)微弯平衡

c)失稳

干扰力去除,恢复直线 干扰力去除,保持微弯 干扰力去除,继续 变形,直至倒塌

一、临界力
临界载荷 Pcr:由稳定平衡转化为不稳定时所受轴向 压力的界限值,称为临界压力,或简称临界力,并 用Pcr表示。 失稳:由稳定的直线平衡状态转变为不稳定的状态, 称为丧失稳定性,简称失稳。 二、临界力计算公式

π2 EI 细长压杆的临界力计算公式(欧拉公式): Pc r ? 2 (μl)
ml:相当长度

m称为长度系数

三 临界应力公式计算

1.临界应力:临界力除以压杆横截面面积得到的压应力, 用scr表示;

s cr
① i?

2 2 Pcr ? EI ? E ? ? ? A ( ml )2 A ( ml / i )2

I —横截面对形心主轴的惯性半径; A

②柔度(细长比): ? ?

mL
i
? 2E s cr ? 2 ?

③欧拉临界应力公式:

四、 欧拉公式应用范围:
①线弹性状态:scr≤sp,即
2E 2E ? ? ∴ ?≥ s p ,则? p ? s p

? 2E ≤s p ?2

②?≥?p—细长杆(大柔度杆),欧拉公式的适用范围; 对于Q235钢,E=206GPa,sp=200MPa:
2 ?200?10 9 ? ?p ? ?100 6 200?10

③用柔度表示的临界压力:
2 ? E?A Pcr ? 2 ?

五、临界应力的经验公式
1.ss>scr>sp时采用经验公式:

①直线公式:

a ?σs ? 1)∵scr<ss,∴ s s ? a ? b? ,得到:λ 0 b

s cr ? a ? b?

a ?σ s ? 310 ? 240 ? 61 3)对于Q235钢: λ ? 0 b 1.14

2)?p≥?≥?0—中长杆(中柔度杆);

a 和b 是与材料有关的常数。 2.对短粗杆只需要进行强度计算

临界应力总图
scr scr=ss scr=a?b? B C
粗 短 杆 中 粗 杆
2 ? s cr ? 2E ?

ss A sp

细长杆

D ?

O

?o

?p 采用直线经验公式 的临界应力总图

压杆按柔度分类:

? ? ? p —细长杆(大柔度杆) ? p ? ? ? ? 0 —中粗杆(中柔度杆)
? ? ?0
—粗短杆(小柔度杆)

例 如图所示的矩形截面压杆,其中 b=40mm,h=60mm,杆长 l=2m,材料为 Q235钢,E=200GPa,两端为圆柱形铰链约束。试确 定此杆的临界力。

解 由于此压杆在xy平面和 xz平面内都有失稳的可能性,所以需 要分别计算其临界力。 1.计算压杆在xy平面内的临界力
Iz h 60 iz ? ? ? ? 17.32mm A 12 12

μl 1? 2000 λ1 ? ? ? 115 ? λ p iz 17.32

应用欧拉公式计算临界力
π2 E π 2 ? 200?103 Pcr1 ? 2 ? A ? ? 40? 60 ? 357.8kN 2 λ 115

2.计算压杆在 xz平面内的临界力

iy ?

Iy A

?

b 40 ? ? 11.5mm 12 12

μl 0.5 ? 2000 λ2 ? ? ? 87 iy 11.5

λs ? λ2 ? λ p
用经验公式计算临界

Pcr 2 ? (a - bλ) A ? (310-1.14? 87) ? 40? 60 ? 506kN
3.确定压杆的临界力

Pcr ? 357.8kN

§7-2 压杆的稳定计算
Pcr nw

1.压杆稳定条件: P ?

P s cr s? ? ? [scr] A nw

σcr n? ? nw σ
三方面计算 :确定许可载荷、稳定性校核、截面尺寸设计
(逼近法);

18号工字钢压杆如图所示,材料为 Q235钢, E=200GPa,长度 l=5m,两端固定,规定稳定安全系数 nw=2,试求此压杆的容许 轴向荷载 p。
解 1、计算柔度 压杆两端固定 μ = 0.5 查型钢表得

iz =7.36cm, iy =2cm A =30.6cm2
λ max μl 0.5 ? 5000 ? ? ? 125 ? λ p iy 20

2、计算临界力

π2 E π 2 ? 200?103 2 Pcr ? 2 ? A ? ? 30 . 6 ? 10 ? 386.2kN 2 λ 125
3、求容许轴力 P
由稳定条件

P?

Pcr 386.2 ? ? 193.1kN nw 2

故压杆的容许轴向荷载为 193.1kN

试对图所示木屋架中的压杆a进行稳定校核。已知 a杆长 l=3.6m,两端均视为铰接,材质为圆松木, E=12GPa,平均直 径 d=120mm,nw=4,λp=80.杆件所受的轴向力PN=18.72kN
解 1、计算柔度 杆两段铰支 μ =1

πd 2 π ? (120 ?10 3 )2 A? ? ? 11.3 ?10 3 m 2 4 4
惯性半径i为 柔度λ 为 λ ? μl ? 1? 3.60 ? 120 ? λ ? 80 p i 30 ?10 3 故此杆为细长杆 2、临界力 3、校核稳定性

d 120 ?10 3 i? ? ? 30 ?10 3 m 4 4

π2 E 3.142 ?12 ?103 π ? (120 ?10 3 )2 Pcr ? 2 ? A ? ? ? 92.88kN λ 1202 4 P 92.88 n ? cr ? ? 4.96 ? nw ? 4 P 18.72

此杆的稳定性足够。

§7-3 提高稳定性的措施 (一)、合理选用材料 1.细长压杆:提高弹性模量E

2.中粗压杆和粗短压杆:提高屈服强度ss
(二)、减小压杆的计算长度 ①直接减少压杆长度; ②增加中间支座; ③采用长度系数较小的支座类型; ④加固杆端约束。
P

π EI Pc r ? 2 (μl)
P

2

(三)、选择合理的截面形状

①各方向约束相同时:
1)各方向惯性矩I相等—采用正方形、圆形截面; 2)增大惯性矩I—采用空心截面; ②压杆两方向约束不同时:使两方向柔度接近相等,可 采用两个主惯性矩不同的截面,如矩形、工字形等。


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