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最新高三教案-正弦定理余弦定理 精品

最新高三教案-正弦定理余弦定理 精品

正弦定理、余弦定理 教材分析:正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角关系的两个重要定理 在初中,学生已经学过一些关于三角形边角关系的定理,如大边 对大角,直角三角形中的边角关系等。在学过任意角的三角比的 基础上,介绍这个定理,符合学生的认知规律。本课时主要完成 正弦定理的证明与简单运用,同时介绍余弦定理,为下一课时做 铺垫。 教学目标: (1)知识与技能: 掌握正弦定理及其推导过程,会进行最简单的运用; 知道余弦定理并记住其形式。 (2)过程与方法: 通过猜想发现并证明定理,向学生渗透基本的数学思想、方法,培养 学生创新意识,提升学生思维能力。 (3)情感、态度与价值观: 让学生体会数学定理从特殊到一般的猜想、发现、证明过程揭示数学 思维过程,鼓励和培养学生进行数学实验,探索和发现问题,调动学 生积极性,激发学生学习的兴趣。 教学重点与难点: 重点:发现正弦定理并进行证明;难点:正弦定理的证明。 教学过程: 一、 引入 实际问题:某林场为了及时发现火情,在林场中设立了两个观测点 A 和 B,B 在 A 的正东方向 10 千米处。某日林场 C 处出现火情,在 A 处观测到 火情发生在东偏北 130°方向,而在 B 处观测到火情在西偏北 30°方向,现 在要确定火场 C 距 A、B 多远。 这个问题可以转化为怎样的数学问题? 将此问题转化为数学问题,就是: “在△ABC 中,已知∠CAB=130°, ∠CBA=30°AB=10 千米,求 AC 与 BC 的长。 ”即在三角形中,已知两个内 角及夹边,如何求其它的边。 二、 观察特例,提出猜想 我们在初中研究过直角三角形的边角关系。 在 Rt△ABC 中,已知∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,则有 (1)在△ABC 中, 若∠C≠90°, (2)若不成立, a 是否仍然等于 sinA? c a ? sin A 。 c a 可能等于什么? c (电脑展示,在△ABC 中 a,b 长度不变,把 BC 绕着 C 点转动,AB 的 长度随着∠C 变化而变化。 ) a sin A a c ? 猜测 ? 即 c sin C sin A sin C 三、 实验探究 利用几何画板画出一个三角形,度量出三边长度和三个角度。计算显示 a b c , , 一组 的值,并不断变化三角形的形状,让学生进一步观察 sin A sin B sin C 三个比值的变化情况。 a b c ? ? 大家发现在变化的过程中,很多三角形都满足 ,能 sin A sin B sin C 不能说对任意三角形都成立呢? 不能,要证明。 四、 定理证明 (1)正弦定理 借助直角坐标系进行证明。 以△ABC 的顶点 A 为坐标原点,AB 边所在直线为 x 轴,建立直角坐标 系。设 a,b,c 分别为∠A、∠B、∠C 所对的边长,CD 为 AB 边上的高,则点 B、C 的坐标分别为(c,0)、(bcosA,bsinA),CD=bsinA. S ?ABC ? 1 1 AB ? CD ? cb sin A 2 2 即 S ?ABC ? 1 bc sin A 2 1 1 ac sin B, S ?ABC ? ab sin C 。 2 2 这就是说,三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦值的积的一半, 1 1 1 将 等 式 bc sin A ? ac sin B ? ab sin C 中 的 等 号 分 开 的 式 子 都 除 以 2 2 2 同理得 S ?ABC ? 1 abc , 2 sin A sin B sin C a b c ? ? ? ? 得 即 (1) a b c sin A sin B sin C 上式表明:在三角形中,各边与它所对角的正弦的比相等。此结论叫做 正弦定理。 (2)正弦定理简单应用 例 1、解决刚才林场失火问题。在△ABC 中,已知∠CAB=130°,∠ CBA=30°AB=10 千米,求 AC 与 BC 的长。 (3)余弦定理 例 2、在△ABC 中,已知 AC=b,AB=c,∠A,能否求出第三边,若能, 如何求? 学生讨论,得到结论: (1) 由条件可知 a 边的长是唯一确定的, 可以由边 b,c 及∠A 来确定; (2) 不能利用正弦定理来解决; (3) 过 C 作 CD⊥AB,垂足为 D,将△ABC 分割成两个直角三角形 即可解决; (4) 既然 a 边可有 b,c 及∠A 来确定,那么对于这类问题是否也像前 面正弦定理一样,存在某个定理、公式可以解这种三角形? 回到前面直角坐标系,得到公式 a 2 ? (b cos A ? c) 2 ? b 2 sin 2 A ? b 2 cos2 A ? 2bc cos A ? c 2 ? b 2 sin 2 A ? b 2 ? 2bc c o s A ? c2 即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 同理可得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC 仔细观察三个公式,讨论归纳出余弦公式。 也就是说,三角形的一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它 们夹角的余弦值乘积的两倍。此结论叫做余弦定理。 同学们再次仔细观察余弦定理,每一个公式中都体现了三边一角的关 系,所以我们还可以对余弦定理灵活变形为: cos A ? b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 , cos B ? , cosC ? 2bc 2ac 2ab 利用上式可以由三角形的三边求角。 思考:若在△ABC 中,C=90°,请写出余弦定理。 五、 小结 六、 作业

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