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数学理卷·2013届湖南省长沙市一中高考模拟考试(一)

数学理卷·2013届湖南省长沙市一中高考模拟考试(一)


长沙市一中 2013 届高考模拟卷一

数 学 试 题(理)
本试题包括选择题、填空题和解答题三部分,时量 120 分钟。满分 150 分。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.已知集合 M ? {0 ,1, 2 , 3} , N ? { x | A.{0,1,2} 2.若函数 y ? c o s ( ? x ? A.
1 2 1 1 2 ? 2 ? 4} , 则 集 合 M ? N =(
x

) D.{0,1,2,3}
?
2

B.{2,3}
?
3

C.{0,1}

)( ? ? 0 ) 的图象的相邻两条对称轴的距离为

,则 ? 等于( D.4



B.1
x

C.2

3.已知函数 f ( x ) ? ( ) ? l o g3 x ,若实数 x 0 是方程 f ( x ) ? 0的 解 , 且 0 < x 1 ? x0 ,则 f ( x1 ) 的值
5

( ) A.不小于 0 4.程序框图如图所示:

B.恒为正数

C.恒为负数

D.不大于 0

如果输入 x=5,则输出结果为( A.109 B.973

) C.325 D.2917 )

5.已知 m,n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,则下列命题正确的是( A. 若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? / / ? C.若 m / / n , m / / ? , 则 n / / ?
2

B.若 m / / n , m ? ? , n ? ? , 则 ? / / ? D.若 n ? ? , n ? ? , 则 ? / / ?

6.从抛物线 y ? 4 x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为 F, 则 ? M P F 的面积为( A.5 ) B.10 C.20 D. 1 5

7.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号 1,2,?,9 的 9 个小正方形 (如图) ,使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相 同,且标号为 1,5,9 的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所 有涂法共有 ( ) A.36 种 B.48 种 C.60 种

D.108 种

8.对于具有相同定义域 D 的函数 f ( x ) 和 g ( x ) ,若存在函数 h ( x ) ? kx ? b (k,b 为常数) ,对任

给的正数 m,存在相应的 x 0 ? D ,使得当 x ? D 且 x ? x 0 时,总有 ?

? | f ( x ) ? h ( x ) |? m ? | g ( x ) ? h ( x ) |? m

,则

称 直 线 l : y ? k x? b为 曲 线 y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 的 “ 公 共 渐 近 线 ” 给 出 定 义 域 均 为 ,
D ? { x | x ? 1} 的四组函数如下:

① f (x) ? 2

?x

? 3, g ( x ) ?

3x ? 1 x

;

② f (x) ?

x ?1
2

, g (x) ?

x ? 1;
2

x

③ f (x) ?

2x

2

x ?1

, g ( x) ? 2( x ? 1 ? e

?x

);

④ f ( x ) ? lo g 2 x , g ( x ) ? 2 .
x

其中曲线 y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 存在“公共渐近线”的是( A.①②③ B.②③④ C.①②④

) D.③④

二、填空题:本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分。把答案填在答题卡中对 应题号后的横线上。 (一)必做题(9~13 题) 9.已知复数 z 1 ? m ? 2 i , z 2 ? 3 ? 4 i , 若
z1 z2

为实数,则实数 m 的值为



10.100 辆汽车在一个时段经过某一雷达测速区,这些汽车运行时 速的频率分布直方图如图所示,则这些汽车的平均速度约为 km/h。
?x ? 1 y ? 11.已知实数 x,y 满足 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 , 如果目标函数 z ? 的最大值为 2,则实数 m= x ?x ? y ? m ?



12.设点 P 是 ? A B C 内的一点,记
???? 1 ??? ? 1 ???? A Q ? A B ? A C ,则 f ( Q ) = 3 2

S ?PAB S ?ABC

? ?1 ,

S ?P B C S ?ABC

? ?2,

S? PCA S ?ABC

? ? 3 , f (P ) ? (?

1

,? 2 ,? 3 ) .若



13.给定三角形数表如图所示,其中第一行各数依次是 1,2,3,?, 2009,2010,2011,从第二行起,每个数分别等于它上面一行左、 右两数之和,设第 i 行第 j 个数为 则: f (8,1) = , f (i, j ) =
f ( i , j )( i , j ? N , i ? j ? 2 0 1 2 )
*



(用 i 和 j 表示)

(二)选做题(14~16 题中选两题,若 3 题全做,按前 2 题计分) 14.如图所示,⊙O 的直径 AB=6cm,P 是 AB 的延长线上的一点,过 P 点作⊙O 的切线,切点为 C,连接 AC,若 ? C P A ? 3 0 ? ,则 PC= 。
4 ? x ? 1? t ? ? 5 15.求直线 ? (t 为参数)被曲线 ? ? ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?

2 c o s (? ?

?
4

) 所截得的弦长为



16.若不等式 | x ?

1 x

| ? | a ? 2 | ? 1 对一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin
x 2 , cos x 2 ), b ? (c o s x 2 , 3 cos x 2 ), 函 数 f ( x ) ? a ? b .

(1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)如果 ? A B C 中, f ( A ) ?
3 ,且角 A 所对的边 a=2,求 ? A B C 的周长 l 的取值范围。

18. (本小题满分 12 分) 某生产车间的生产技术成熟,产品质量稳定,为了掌握产品质量情况,前后进行了 5 次 抽检,每次抽取样本 10 件,检查情况如下表(产品质量等级仅分为一等品和二等品两种) 抽检次数 二等品个数 第1次 0 第2次 1 第3次 2 第4次 1 第5次 1

(1)以样本中二等品的频率作为产品总体中二等品的概率,求从产品中任取 3 件恰有 1 件是 二等品的概率; (2)在第 3 次抽检的样本中(含 2 个二等品) ,任取 3 件,其中二等品的件数为 X,求 X 的 分布列和期望。

19. (本小题满分 12 分) 如图,平面 PAC ? 平面 ABC, ? A B C 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形,E,O 分别为 PA,AC 的中点,AC=16,PA=PC=10。 (1)求 BP 与平面 BOE 所成角的正弦值; (2)若 G 是 OC 的中点,在棱 PB 上是否存在点 F,使得 GF//平面 BOE,若存在,求 PF:FB; 若不存在,请说明理由。

20. (本小题满分 13 分) 社会只有在稳定中才能发展,过高的失业率是社会不稳定的重大因素,各国政府十分注 重控制失业率。2008 年全球经济危机,各国失业率普遍上升。某地区 2008 年第一季度的失 业率为 10%,当地政府果然采取一系列措施,例如:扩大内需、鼓励轮班工作,岗位共享、 培训过渡等,假设该地区的劳动人员数 p 不变,自 2008 年第一季度起,每年每季度统计分析 一次,发现呈现如下规律:上季度在岗人员中有 x%的人员本季度失业,上季度失业人员中 有 97%的人员本季度重新上岗。 2008 年第一季度的失业率为 a 1 , 记 第二季度的失业率为 a 2 , 第三季度的失业率为 a 3 , ? , 依次类推,各季度的失业率构成数列 { a n } . (1) 写出数列 { a n } 的一个递推关系式, 要使每个季度的失业率逐步减少, x 满足什么条件? 则 (2)假设该地区的失业率不大于 5%,社会十分稳定和谐,在当地政府采取有力措施后,上 季度在岗人员中只有 5%的人员本季度失业 (即 x=5) ,问该地区从 2008 年的第二季度开 始,社会是否稳定和谐。

21. (本小题满分 13 分) 已知椭圆的中心在原点,焦点与双曲线
x
2

?

y

2

? 1 的焦点相同,且经过点 M(4,1) ;

10

5

直线 l : y ? x ? m 交椭圆于 A、B 两点。 (1)求椭圆方程; (2) 若直线 l 不过点 M, 试问直线 AM, 与 x 轴是否能构成一个等腰三角形?请说明理由。 BN

22. (本小题满分 13 分) 已知定义在正实数集上的函数 f ( x ) ?
1 2 x ? 2 a x , g ( x ) ? 3 a ln x ? b , 其中 a ? 0 ,若两
2 2

曲线 y ? f ( x ), y ? g ( x ) 在某公共点处的切线相同。 (1)用 a 表示 b,求 b 的最大值,并判断方程 f ( x ) ? g ( x )( x ? 0 ) 的解的个数; (2)若 a=1,正项数列 { a n } 满足 a1 ? 2, a n ? 1 ? f ( a n )( n ? N ) ,求证:
*

1 a1

?

1 a2

?? ?

1 an

?

3 4

.

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