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[人教版]高中数学必修五:2.5《等比数列的前n项和(2)》ppt课件_图文

[人教版]高中数学必修五:2.5《等比数列的前n项和(2)》ppt课件_图文

成才之路 ·数学 人教A版 ·必修5 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第二章 数 列 第二章 2.5 等比数列的前n项和 数列求和 第2课时 1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课 时 作 业 课前自主预习 中世纪,意大利数学家斐波那契 (1170 ~ 1250)在 1202 年发表《算盘全书》一书,书中 有这样一题:“今有 7 老妇人共往罗马,每 人有 7 骡,每骡负 7 袋,每袋盛有 7 个面包, 每个面包有 7 把小刀随之,问列举之物全数 共几何?” 推导等比数列前n项和公式的方法称为________法. [答案] 错位相减 1.分组转化求和法 如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成,并且 各独立项也可组成等差或等比数列,则该数列的前 n 项和可考 虑拆项后利用公式求解. 1 1 1 1 求和:Sn=12+24+38+…+(n+2n). [ 解析] 1 1 1 1 Sn=12+24+38+…+(n+2n) 1 1 1 1 =(1+2+3+…+n)+(2+4+8+…+2n) 1 1 n?n+1? 2?1-2n? n?n+1? 1 = 2 + 1 = 2 +1-2n. 1-2 2.裂项求和法 对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常 用“裂项法”,分式的求和多利用此法.可用待定系数法对通 项公式进行拆项, 相消时应注意消去项的规律, 即消去哪些项, 保留哪些项,常见的裂项公式: 1 1 1 1 (1) = · ( - ); n?n+k? k n n+k (2)若{an}为等差数列,公式为 d, 1 1 1 1 则 = ( - ); an· an+1 d an an+1 1 (3) = n+1- n等. n+1+ n 1 已知数列{an}中,an= ,前 n 项和 Sn=9,求项 n+1+ n 数 n 的值. [ 解析] 1 ∵an= = n+1- n, n+1+ n ∴Sn=a1+a2+…+an = 2-1+ 3- 2+…+ n+1- n = n+1-1=9, ∴n+1=100,∴n=99. 3.错位相减法 若数列 {an} 为等差数列,数列{bn} 是等比数列,由这两个 数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn},当求该数列的前n项 的和时,常常采用将{anbn}的各项乘以公比q,然后错位一项与 {anbn}的同次项对应相减,即可转化为特殊数列的求和,所以 这种数列求和的方法称为错位相减法. 求和:Sn=2+2· 22+3· 23+…+n· 2n. [ 解析] ∵Sn=2+2· 22+3· 23+…+n· 2n +1 ∴2Sn=1· 22+2· 23+…+(n-1)· 2n+n· 2n 2?1-2n? = -n· 2n+1 1-2 =2n+1-2-n· 2n+1 =(1-n)· 2n+1-2, ∴Sn=(n-1)· 2n+1+2. 两式相减,得-Sn=2+22+23+…+2n-n· 2n+1 课堂典例探究 分组转化求和 1 1 1 已知数列 1+1, …, n-1+3n-2, … a+4, a2+7, a 求其前 n 项的和. 1 [ 分析] 由题意可知该数列的通项公式为 an= n-1+3n- a 2,而数列{ 1 an -1 }是等比数列,{3n-2}是等差数列,于是可将该 数列的每一项拆开再重新组合,从而转化为等差和等比数列求 和. [ 解析] 2) 1 1 1 设 Sn=(1+1)+(a+4)+(a2+7)+…+( n-1+3n- a 1 1 1 =(1+a+a2+…+ n-1)+[1+4+7+…+(3n-2)] , a n?3n-1? n?3n+1? 当 a=1 时,Sn=n+ = ; 2 2 1 1-an n?3n-1? 当 a≠1 时,Sn= 1+ 2 1-a a-a1-n n?3n-1? = + . 2 a-1 已知数列 1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n,… (1)求其通项公式 an; (2)求这个数列的前 n 项和 Sn. [ 解析] (1)an=1+2+22+…+2n-1 1-2n = =2n-1. 1-2 ∴这个数列的通项公式为 an=2n-1. (2)Sn=a1+a2+a3+…+an =(21-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1) =(2+22+23+…+2n)-n 2?1-2n? = -n=2n+1-n-2. 1-2 裂项相消求和 等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1, a2 3=9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an, 求数列{b }的前 n 项 n 和. [ 解析] 9a2 4,所以 2 2 (1)设数列{an}的公比为 q,由 a2 3=9a2a6 得 a3= 1 1 q =9.由条件可知 q>0,故 q=3. 1 由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1=3. 1 故数列{an}的通项公式为 an=3n. (2)bn =log3a1 + log3a2 + … + log3an =- (1 + 2 + … + n) =- n?n+1? 1 2 1 1 2 .故bn=-n?n+1?=-2(n-n+1), 1 1 1 1 1 1 1 1 b1 + b2 + … + bn =- 2[(1 - 2 ) + ( 2 - 3 ) + … + ( n - n+1 )]= 2n - . n+1 1 2n 所以数列{b }的前 n 项和为- . n+1 n 1 1 1 1 + + +…+ 等于( 1×4 4×7 7×10 ?3n-2??3n+1? n A. 3n+1 1 C.1- n+1 [ 答案] A 3n B. 3n+1 1 D.3- 3n+1 ) [ 解析] 1 1 1 1 ∵

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