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2019年安徽省芜湖市高三5月模拟考试数学(理)试卷(含答案)

2019年安徽省芜湖市高三5月模拟考试数学(理)试卷(含答案)

高考数学精品复习资料
2019.5

芜湖市 20xx-第二学期高三模考试题 理科数学
一、第Ⅰ卷(共 60 分)选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? ?x | | x |? 2? ,则 A (A) [-2,-1] 2.设复数 z ? (B) [-1,2) (C) [-1,1]

?

?

B?
(D) [1,2)

2 ,则下列命题中错误的是 1? i
(B) z ? 1 ? i (D) z 的虚部为 i

(A) z ? 2 (C) z 在复平面上对应的点在第一象限

? x ? 1 ? 0, 3.若 x, y 满足约束条件 ? ? x ? y ? 0, 则 x ? 2 y 的最大值为 ? x ? y ? 4 ? 0, ?
(A) 2 (B) 6 (C) 7 (D) 8

4.若圆锥曲线 C : x2 ? my 2 ? 1 的离心率为 2 ,则 m ? (A) -

1 3

(B) -3

(C) -

1 9

(D)

1 3

5.芜湖高铁站芜湖至 A 地上午发车时间分别为 7:00,8:00,8:30,小明需在当天乘车到 A 地参加一 高校自主招生, 他在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车, 且到达发车 站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

6.我国古代数学著作《九章算术》中,其意是:“今有器中米,不知其数, 前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升.问:米几何? 右图是源于其思想的一个程序框图,若输出的 S ? 2 (单位:升) ,则输入

k 的值为
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9

7.已知 f ( x) 是定义在 R 上偶函数,对任意 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x), 且 f (4) ? 5 ,则 f (2018) 的值 为 (A)2 (B) 3 (C)4 (D)5

8.某几何体的三视图如右图所示,图中的四边形都是边长为 1 的正方形,其中正(主)视图、侧(左) 视图中的两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是 (A)

5 6

(B)

3 4

(C)

1 2

(D)

1 6
? 3

9.已知函数 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ?? ?? ? ? ? 0? .将 f ? x ? 的图象向左平移

个单位长度后所得的函数为偶函数,则关于函数 f ( x) ,下列命题正确的是 (A)函数 f ( x ) 在区间 ( ? (C)函数 f ( x ) 在区间 ( ?

? ? ? ?

, ) 上有最小值 6 3

(B) 函数 f ( x ) 的一条对称轴为 x ? (D) 函数 f ( x ) 的一个对称点为 (
? x3

?
12

, ) 上单调递增 6 3

?
3

, 0)

10.设 x1 , x2 , x3 均为实数,且 e? x1 ? log2 ( x1 ? 1) , e? x2 ? log3 x2 , e (A) x3 ? x2 ? x1 (B)

? log2 x3 ,则
(D) x2 ? x1 ? x3

x1 ? x3 ? x2

(C) x3 ? x1 ? x2

2 2 2 2 11.已知椭圆 E : x 2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (c, 0) .圆 C : ( x ? c) ? y ? 1 上所有点都在椭圆 a b

E 的内部,过椭圆上任一点 M 作圆 C 的两条切线, A, B 为切点,若 ?AMB ? ? , ? ? [ , ] ,则椭 3 2
圆 C 的离心率为 (A) 2 - 2 12.已知函数 f ( x) ? 2e (B) 3 - 2 2
2x

? ?

(C)

3 - 2 2

(D) 2 - 1

? 2ax ? a ? 2e ?1 ,其中 a ? R, e 为自然对数的底数.若函数 f ( x) 在区间

(0,1) 内有两个零点,则 a 的取值范围是
(A) (2, 2e ? 1) (D) (2e ?1, 2e ? 2e ? 1)
2

(B) (2, 2e )

2

(C) (2e ? 2e ?1, 2e )
2 2

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.已知向量 a , b 的夹角为 60 , | a |? 2 , b ? (cos ? ,sin ? )(? ? R) ,则 | a ? 2 b | =_______. 14.已知 (1 ? 2 x)n 展开式中只有第 4 项的二项式系数最大,则 (1 ? _______. 15.在三棱锥 D ? ABC 中, AB ? BC ? DB ? DC ? 1,当三棱锥体积最大时,其外接球的表面积 为_______. 16.已知 △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,若 A ? 2 B ,则 _______. 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个 试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。
? ? ?
?

?

?

1 )(1 ? 2 x) n 展开式中常数项为 2 x

b a 2 ? ( ) 最小值是 c b

17. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn 若 3S3 ? 2S2 ? S4 ,且 a5 ? 32 . . (1)求数列 ?an ?的通项公式 an ; (2)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . log 2 an ? log 2 an? 2

18. (本小题满分 12 分)
? AC ? BC , 如图, 在三棱柱 ABC -A1B1C1 中,?AA 1B 1 ? 45 ,

平面 BB1C1C ? 平面 AA 1 B1 B , E 为 CC1 中点. (1)求证: BB1 ? AC ; (2) 若 A A 1 ?2 ,A B

?2 ,

直线 A 1C1 与平面 ABB 1A 1 所成

角为 45? ,求平面 A 1B 1E 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值. 19. (本小题满分 12 分) 某市疾控中心流感监测结果显示,自 2017 年 11 月起,该市流感活动一度出现上升趋势,尤其 是 12 月以来,呈现快速增长态势,截止目前流感病毒活动度仍处于较高水平,为了预防感冒快速扩

散,某校医务室采取积极方式,对感染者进行短暂隔离直到康复.假设某班级已知 6 位同学中有1 位 同学被感染,需要通过化验血液来确定感染的同学,血液化验结果呈阳性即为感染,呈阴性即未被 感染.下面是两种化验方法: 方案甲:逐个化验,直到能确定感染同学为止; 方案乙:先任取 3 个同学,将它们的血液混在一起化验,若结果呈阳性则表明感染同学为这 3 位中的

1 位,后再逐个化验,直到能确定感染同学为止;若结果呈阴性则在另外 3 位同学中逐个检测;
(1)求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率; (2)? 表示依方案甲所需化验次数, ? 表示依方案乙所需化验次数,假设每次化验的费用都相 同,请从经济角度考虑那种化验方案最佳. 20. (本小题满分 12 分) 设抛物线 E : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l .已知点 M 在抛物线 E 上,点 N 在 l 上,

△MNF 是边长为 4 的等边三角形. (1)求 p 的值;
(2)若直线 AB 是过定点 Q ? 2,0? 的一条直线,且与抛物线 E 交于 A, B 两点,过 Q 作 AB 的垂 线与抛物线 E 交于 C , D 两点,求四边形 ACBD 面积的最小值. 21. (12 分)已知函数 f ( x) ? e ?
x

a ln x

x

x 2 2 ? x .曲线 y ? f ( x) 在 (2, f (2)) 处切线的斜率为 e , (e 2
4

为自然对数的底数) (1)求 a 的值; (2)证明: f ( x) ? e ? 2 .

(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计 分。 22.[选修 4?4:坐标系与参数方程](10 分)
? ? x ? a在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 过点 P ? a,1? ,其参数方程为 ? ? ? y ? 1? ? ? 2 t 2 ( t 为参数, a ? R ) , 2 t 2

以坐标原点为极点,以

x 轴 正 半 轴 为 极 轴 , 建 立 极 坐 标 系 , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为

? cos2 ? ? 2cos? ? ? ? 0 .
(1)写出曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (2)已知曲线 C1 和曲线 C2 交于 A, B 两点( P 在 A、B 之间) ,且 PA ? 2 PB ,求实数 a 的值.

23.[选修 4?5:不等式选讲](10 分) 已知函数 f ( x) ? x ?1 ? x ? 5 . (1)解关于 x 的不等式 f ( x) ? 6 ; (2)记 f ( x ) 的最小值为 m ,已知实数 a , b , c 都是正实数,且 求证: a ? 2b ? 3c ? 9 .

1 1 1 m ? ? ? , a 2b 3c 4

芜湖市 20xx-第二学期高三模考试题答案

数学试卷(理科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1-5: ADCAB 6-10: CDACB 11、12: BD

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 2 3 14. 61 15.

7 ? 3

16. 3

三、解答题
17【解析】 (1)由 3S3 ? 2S2 ? S4 ,可得 2S3 ? 2S2 ? S4 ? S3 .………2 分 即公比 q ? 2 ,………4 分, 又 a5 ? 32 ,故 an ? 2n .………6 分 (2) bn ?

1 1 1 1 ? ( ? ) ………8 分 log 2 an log 2 an? 2 2 n n ? 2 ,

1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )] 2 3 2 4 3 5 n n?2 1 3 1 1 3 1 1 ? ( ? ? ) = ? .………12 分 2 2 n ? 1 n ? 2 4 2n ? 2 2n ? 4
18 【 证 明 】( 1 ) 过 点 C 做 CO ? BB1 交 BB1 于 O , 因 为 面 BB1C1C ? 面AA 1B 1B ,

BB1C1C 面AA1B1B=B1B ,
所以 CO ? 面AA1BB1 ,故 CO ? BB1 ,………2 分 又因为 AC ? BC OC ? OC ,所以 Rt ?AOC ? Rt ?BOC ,故 OA ? OB ,
? AOC , 因为 ?B1 A 1 ,又因为 BB 1 ? CO ,所以 BB 1 ?面 1 A ? ?OBA ? 45 ,所以 AO ? BB

故 BB1 ? AC .………5 分 (2)以 O 为坐标原点, OA, OB, OC 所在直线为 x, y , z 轴,建立空间直角坐标 O ? xyz ,

A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), A1 (1, ?2,0), B1(0, ?1,0), E(0, ?1,1) ,
?? ? ? n . A1 E ? 0, ?? x1 ? y1 ? z1 ? 0, 设面 A 令 x1 ? 1 ?? 1B 1E 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则 ? ? ? , z1 ? 0, ? ? n . B E ? 0, ? 1
?

得 n ? (1,1, 0) ; ………7 分

?

?? ? ? m . AB ? 0, ?? x2 ? y2 ? 0, 设面 ABC 的法向量为 m ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则 ? ? ? 令 x2 ? 1 ?? ? x ? z ? 0, ? 2 2 ? ? m . AC ? 0,
?

得 m ? (1,1,1) ;………9 分

?

? cos ? m, n ??

? ?

m. n
?

? ? ?

?

| m || n |

6 , ………11 分 3

ABC 所成锐二面角的余弦值为 面A 1B 1E 与面

6 ………12 分 3 .

19【解析】 (1)设 Ai (i ? 1, 2,3, 4,5) 分别表示依方案甲需化验为第 i 次; B j ( j ? 2,3) 表示依方案乙 需化验为第 j 次;

1 1 P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? , P( A5 ) ? 6 3

P( B2 ) ?

3 C52 C5 1 2 ? ? , P( B3 ) ? 1 ? P( B2 ) ? ……4 分 3 1 3 1 C6 C3 C6 C3 3 3

A 表示方案甲所需化验次数等于依方案乙所需化验次数.

1 1 1 2 1 P( A) ? P( A2 B2 ? A3 B3 ) ? P( A2 ) P( B2 ) ? P( A3 ) P( B3 ) ? ? ? ? ? ………6 分 6 3 6 3 6,
(2)? 的可能取值为 1, 2,3, 4,5 . ? 的可能取值为 2, 3 .

1 1 P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? , P( A5 ) ? 6 3 1 1 1 1 2 10 ,………8 分 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? (次) 6 6 6 6 6 3 1 2 P(? ? 2) ? P( B2 ) ? , P(? ? 3) ? P( B3 ) ? 3 3 1 2 8 ∴ E? ? 2 ? ? 3 ? ? (次) 3 3 3
∴故方案乙更佳 .………12 分 20【解析】 (1)由题意知 MF ? |MN| ,则 MN ? l .设准线 l 与 x 轴交于点 H ,则 MN / / HF ,
? ? 又 ?MNF 是边长为 4 的等边三角形, ?MNF ? 60 ,所以 ?NFH ? 60 ,即 p ? 2 .………4 分

(2)设直线 AB 的方程为 x ? my ? 2 ,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

联立

?

y2 ?4 x x ? my ? 2 得 y 2 ? 4my ? 8 ? 0 ,则 y1 ? y2 ? 4m , y1. y2 ? ?8 ,………6 分
………7 分 ,

| AB |? 1 ? m 2 | y1 ? y2 |? 1 ? m 2 16m 2 ? 32 ? 4 1 ? m 2 m 2 ? 2
2 2

?1? ?1? 设C ? x3 , y3 ? , D ? x4 , y4 ? ,同理得 CD ? 4 ? ? ? 1 ? ? ? ? 2 ,………8 分 ?m? ?m?

则四边形 ACBD 的面积

1 ?1? ?1? S ? AB ? CD ? 8 1 ? m 2 ? ? ? ? 1 ? m 2 ? 2 ? ? ? ? 2 2 ?m? ?m?

2

2

? 8 m2 ?
2 令m ?

1 1 ? ? ? 2 ? 2 ? m2 ? 2 ? ? 5 2 m m ? ? , ………10 分

1 ? ? ? ? ? 2 ? , 则S ? 8 m2

? ? ? 2 ?? 2? ? 5? ? 8 2? 2 ? 9? ? 10

? S ? 8 2 ? 2 ? 9 ? ? 10 是关于 ? 的增函数,
故 Smin ? 48 ,当且仅当 m ? ?1 时取得最小值. ………12 分

21 【解析】 ( 1 )因为 f ( x) ?

e ? 2 x x

x

a ln

x 2 ?x



所以 f ' ( x) ?

e ( x ? 1) ? x2
x

a ? 2a ln x3

x 2 ?1



………2

分 则 f (2) ?
'

e2 a e2 ? ? 1 ? ,得 a ? 8 . ………4 分 4 8 4

x 8ln ex e x ( x ? 1) ex (2) f ( x) ? ? 2 2 ? x , x ? (0, ??) ,设函数 g ( x) ? , g ' ( x) ? x x2 x x ,
当 x ? (0,1) 时, g ( x) ? 0 , g ( x) 为减函数,
'

当 x ? (1, ??) 时, g ( x) ? 0 , g ( x) 为增函数,则 g ( x) ? g (1) ? e . ………7 分
'

设函数 h( x) ?

8ln x

x 8 ? 16ln ? x3 x 3 ' 2 , 令 ? ( x) ? 8 ? 16 ln ? x 在 x ? (0, ??) h ( x) ? 2 ?x?e?2, 3 2 2

x

x

为减函数,又因为 ? (2) ? 0 ,则当 x ? (0, 2) 时, ? ( x ) ? 0 ,即 h ( x) ? 0 , h( x) 为增函数,则当
'

x ? (2, ??) 时, ? ( x) ? 0 ,即 h' ( x) ? 0 , h( x) 为减函数,所以 h( x) ? h(2) ? e ,………11 分
综上所述, g ( x)min ? h( x)max ,即 f ( x) ? e ? 2 .………12 分

? ? x ? a22. 【解析】 (1) C1 的参数方程 ? ? ? y ? 1? ? ?

2 t 2 ,消参得普通方程为 x+y ? a ? 1 ? 0 , 2 t 2

C2 的 极 坐 标 方 程 为 ? cos2 ? ? 2cos? ? ? ? 0 两 边 同 乘 ? 得 ? 2 cos2 ? ? 2? cos? ? ? 2 ? 0 即 y 2 ? 2x .………5 分
(2)将曲线 C1 的参数方程代入曲线 C2 : y 2 ? 2 x 得

1 2 t +3 2t ? 1 ? 2a ? 0 , 设 A, B 对应的参数为 2

t1 , t2 ,由题意得 t1 ? 2 t2 ,且 P 在 A、B 之间,则 t1 ? ?2t2 ,
? t1 ? ?2t2 ? 71 ? t1 ? t2 ? -6 2 解得 a ? - ………10 分 2 ?t t ? 2 ?1 ? 2a ? ?12
23. 【解析】 (1) f ( x) ? x ?1 ? x ? 5 ? 6

?x ? 1 ?1 ? x ? 5 ?x ? 5 或? 或? ? ?1 ? x ? 5 ? x ? 6 ? x ? 1 ? 5 ? x ? 6 ? x ? 1 ? x ? 5 ? 6 ,
解得 x ? 0 或 x ? 6 . 综上所述,不等式 f ? x ? ? 6 的解集为

? ??,0? ? ? 6, ??? ……………5 分

(2)由 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 5 ? x ? 1 ? ? x ? 5 ? ? 4 ( x = 3 时取等号)

? f ( x)

1 1 1 ? 4 .即 m ? 4 ,从而 ? ? ? 1 , a 2b 3c 1 1 1 a 2b a 3c 2b 3c a ? 2b ? 3c ? ( ? ? )(a ? 2b ? 3c) ? 3 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 9. a 2b 3c 2b a 3c a 3c 2b
min

…………………10 分

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