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2019-学年高中数学北师大版选修2-1课件:第三章1.1 椭圆及其标准方程 教育精品.ppt_图文

2019-学年高中数学北师大版选修2-1课件:第三章1.1 椭圆及其标准方程 教育精品.ppt_图文

第三章

圆锥曲线与方程

第三章

圆锥曲线与方程

§1 椭
1. 1



椭圆及其标准方程

第三章

圆锥曲线与方程

学习导航 学习 2.理解椭圆的定义和标准方程.(重点) 目标 3.掌握由已知条件求椭圆的标准方程.(难点) 1.通过自己画椭圆的过程,发现椭圆形成条件,抽象 学法 出椭圆的定义,培养把握了解本质的能力. 指导 2.通过椭圆方程的推导、化简、等价性分析的过程, 体会坐标法的应用,养成严谨的科学态度.

1.了解椭圆的实际背景.

1.椭圆的定义 (1)椭圆的定义 常数 大于|F1F2|) 平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于______ 椭圆 . 的点的集合叫作________ 焦点 ,两个焦点F ,F 间的 这两个定点F1,F2叫作椭圆的______ 1 2

焦距 . 距离叫作椭圆的________

(2)椭圆的集合表示 设M是椭圆上任意一点,椭圆的两个焦点为F1,F2,根据椭 圆的定义可知,椭圆可以视为动点M的集合,表示为 {M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|,a为常数} . ________________________________________

2. 椭圆的标准方程 x y 椭圆上任意一点的坐标都是方程 2+ 2 = 1 a b x y (a>b>0)的解,以方程 2+ 2 = 1(a>b>0)的解 a b 为坐标的点都在椭圆上,我们将方程 x2 y2 2+ 2= 1 ___________ (a>b>0)叫作焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程, 焦点 a b
2 2 2 2

c2=a2-b2 . 坐标是 F1(- c, 0), F2 (c, 0),其中 _____________

y2 x2 2 + 2= 1 a b 同样地,我们将方程___________ (a>b>0)叫作焦点在y轴上的

椭圆的标准方程.焦点坐标是F1(0,-c),F2(0,c),其中 c2=a2-b2 .如图所示. ____________

1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)平面内动点P到两定点A,B的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0
且为常数)是P点的轨迹为椭圆的必要不充分条件( √ ) (2)椭圆标准方程中,“标准”的条件是椭圆的焦点在坐标轴 上,且两焦点关于原点对称( √ ) (3)椭圆的特殊形式是圆,这时焦点重合( × )

(4)椭圆的两种标准形式中,虽然焦点位置不同,但都具备a2
= b2 + c 2 ( √ )

x2 y2 2.椭圆 + =1 的焦距等于( D ) 9 3 A.4 3 C. 6 B.2 3 D.2 6

解析: c2= a2- b2= 9- 3= 6, c= 6,焦距 2c= 2 6.

x2 y2 3.已知方程 + =1 表示的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆, m 2m-1 则实数 m 的取值范围为( D A.(0,1) 1 C.(0, ) 2 ) 1 B.( ,+∞) 2 1 D.( ,1) 2

1 解析:由题意知 m >2m- 1>0,∴ <m <1. 2

x2 y2 4.椭圆 + =1 的焦点为 F1,F2, 9 2

2 点 P 在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=________ . 解析:a=3,|PF1|=4,由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=6, ∴|PF2|=6-|PF1|=6-4=2.

求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点分别为(0,- 2)、 (0, 2),经过点(4, 3 2); y2 x2 (2)过点 ( 3,- 5),且与椭圆 + = 1 有相同的焦点; 25 9 (3)经过两点(2,- 2)和 (- 1, (链接教材第三章 1.1 例 2) 14 ). 2

[解]
2

(1)因为椭圆的焦点在 y 轴上,可设其标准方程
2

y x 为 2 + 2= 1(a>b>0). a b 法 一 : 由 椭 圆 的 定 义 知 2a = ( 4- 0) +( 3 2+ 2) + ( 4- 0) 2+( 3 2- 2) 2= 12,∴ a= 6.
2 2 y x 又 c= 2,∴ b2= a2- c2= 32,所以椭圆的标准方程为 + = 1. 36 32 2 2

18 16 法二:由于椭圆过点(4, 3 2),∴ 2 + 2 = 1① . a b 又 c= 2,∴ a - b = 4②, y x 2 2 由①②解得 a = 36, b = 32,所以椭圆的标准方程为 + = 36 32 1. y2 x2 (2)因为所求椭圆与椭圆 + = 1 的焦点相同,所以所求椭圆 25 9 的焦点在 y 轴上,且 c2= 25- 9= 16.
2 2 2 2

y2 x2 法一: 设所求椭圆的标准方程为 2 + 2 = 1(a>b>0). 因为 c2= 16, a b 且 c2= a2- b2, 所以 a2- b2= 16 ① .又所求椭圆过点 ( 3, - 5), (- 5) 2 ( 3) 2 5 3 所以 + = 1,即 2 + 2 = 1 2 2 a b a b ②.

2 2 y x 由①②得 b2= 4, a2= 20,所以所求椭圆的标准方程为 + 20 4

= 1. y x 法二:设所求椭圆方程为 + = 1(λ>- 9), λ + 25 λ + 9 5 3 把 ( 3,- 5)代入有 + = 1, λ + 25 λ + 9
2 2

解得 λ=-5 或 λ=- 21(舍 ). y2 x2 故所求椭圆方程为 + = 1. 20 4 (3)设椭圆的一般方程为 Ax2+ By2 = 1(A>0,B>0,A≠ B).将两 4A+ 2B= 1 ? ? 14 点 (2,- 2), (- 1, )代入一般方程,得? ,解 14 2 ? ? A+ 4 B= 1

? 得? , 1 ?B= 4
x2 y2 所以所求椭圆的标准方程为 + = 1. 8 4

1 A= 8

方法归纳 求椭圆的标准方程必须先判断焦点的位置,进而确定所求方程 的形式.如果焦点的位置不确定,一般要分类讨论,或设为一 x y 2 2 般式 mx + ny = 1(m >0,n>0,m≠ n).与 2 + 2= 1(a>b>0)共焦 a b x y 2 点的椭圆可设为 + = 1( λ > - b ). 2 2 λ +a λ +b
2 2 2 2

1.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦距是10,且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26. (2)经过点(2,-3),且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点.
解: (1)由题意知 2c= 10, 2a= 26,所以 c= 5, a= 13,所以 b
2

= a2- c2= 132- 52= 144.因为焦点所在的坐标轴不确定, 所以所 x2 y2 y2 x2 求椭圆的标准方程为 + =1 或 + = 1. 169 144 169 144

(2)椭圆 9x + 4y = 36 的焦点坐标为(0,- 5), (0, 5). 2 2 y x 设所求椭圆的标准方程为 2+ 2 = 1(a>b>0). a b 9 4 ∵点 (2,- 3)在椭圆上,∴ 2 + 2 = 1.① a b 又 c= 5,故 a2= b2+ 5,② 整理①②,解得 b = 10,或 b =- 2(舍去 ), ∴ a = b + c = 15. y2 x2 ∴所求椭圆的标准方程为 + = 1. 15 10
2 2 2 2 2

2

2

椭圆的定义及其应用
x2 y2 (1)设 F1,F2 是椭圆 2+ =1(a>5)的两个焦点,且|F1F2| a 25 =8,弦 AB 过点 F1,则△ABF2 的周长为( D A.10 C.2 41 ) B.20 D.4 41

x2 y2 (2)椭圆 + =1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1, F2 的连线互 49 24 相垂直,则△PF1F2 的面积为( D ) A.20 C.28 B.22 D.24

[解析 ] = 41,

(1)2c= |F1 F2 |= 8, c= 4, a = b + c = 25+ 16= 41, a

2

2

2

故△ ABF2 的周长为 |AB|+ |F2 A|+ |F2 B|= 4a= 4 41. (2)c2= a2- b2= 49- 24= 25, c= 5, |F1 F2 |= 10, 设 |PF1 |= r1, |PF2 | = r2,
2 由题意知 r2 + r 1 2 = 100,①

又根据椭圆定义,知 r1+ r2= 14,② 1 由①②易得 r1 r2= 48.故 S△ PF1 F2= r1 r2 = 24. 2

方法归纳
(1)利用椭圆定义可判断动点的轨迹是否为椭圆或椭圆的一部 分. (2)过椭圆焦点的弦问题,常利用定义解决. (3)焦点三角形(以椭圆上一点及两焦点为顶点的三角形 )问题,

利用椭圆定义和三角形有关知识(如正、余弦定理)求解.

x2 y2 2.(1)如图,F1、F2 分别为椭圆 2+ 2=1 的左、右焦点,点 P 在 a b 椭圆上, △POF2 是面积为 3的正三角形,
2 3 . 则 b2 的值是________

(2)(2014· 南京市高二期末)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 y2 x2 + =1 的上焦点为 F, 直线 x+y-1=0,x+y+1=0 与椭圆 4 3 分别相交于点 A , B , C , D ,则 |AF| + |BF| + |CF| + |DF| = 8 ________ .

解析: (1)因为 F1、 F2 分别为椭圆的左、 右焦点, 点 P 在椭圆上, 1 且正三角形 POF2 的面积为 3, 所以 S△POF2 = · |OF2 |· |PO|sin 2 3 2 60°= c = 3,所以 c2= 4. 4 3 ? 1 3 ?c ∴点 P 的坐标为 , c ,即 (1, 3),∴ 2 + 2 = 1, ?2 2 ? a b
? ? b + 3a = a b 2 2 2 2 又 b + c = a ,所以? 2 ,解得 b = 2 3. 2 ? ?a = 4+ b
2 2 2 2

(2)如图,两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点,连接 AF1 、 FD. 由椭圆的对称性可知, 四边形 AFDF1 (其中 F1 为椭圆的下焦 点 )为平行四边形, ∴ |AF1 |= |FD|, 同理 |BF1 |= |CF|, ∴ |AF|+ |BF| + |CF|+ |DF|= |AF|+ |BF|+ |BF1 |+ |AF1 |= 4a= 8.

与椭圆有关的轨迹问题 如图,在圆 C : (x + 1)2 + y2 = 25 内有一点 A(1 , 0) , Q 为圆C上一点,AQ的垂直平分线与 C,Q的连线交于点 M,求 点M的轨迹方程.

(链接教材第三章1.1例1)

[解]

∵ M 在线段 CQ 上,∴ |CQ|= |MQ|+ |MC|.又 M 在 AQ 的

垂直平分线上,连接 MA,则 |MA|= |MQ|,∴ |MA|+ |MC|= |CQ| = 5>|CA|.又 A(1, 0), C(- 1, 0), ∴点 M 的轨迹是以 (1,0),(- 1,0)为焦点的椭圆, 其中 2a= 5,
2 2 2 5 x y 5 21 ? - 12= .故点 M 的轨迹方程为 + = 1. 则 a= ,则 b2=? ?2 ? 2 4 25 21 4 4

方法归纳 (1)此类问题有两种常见思路:

一是通过条件中的等量关系列出等式,化简得出方程(直接
法);二是分析图形的几何性质,判断动点是否符合椭圆的定 义(定义法). (2)此类问题注意三点:一是若需建立坐标系时,要考虑建系 不同得出的方程不同;二是不在轨迹上的点要挖去(可对方程

加上限制条件);三是求轨迹要根据所求方程说明其轨迹图
形.

3.求过点P(3,0)且与圆x2+6x+y2-91=0相内切的动圆圆心 的轨迹方程.
解:圆方程配方整理得(x+ 3) + y = 10 ,圆心为 C1 (- 3, 0), 半径为 R= 10.设所求动圆圆心为 C(x,y),半径为 r,依题意有
? ?|PC|= r, ? 消去 r 得 R- |PC|= |CC1 |? |PC|+ |CC1 |= R,即 ?|CC1 |= R- r, ?
2 2 2

|PC|+ |CC1 |= 10.又 P(3,0),C1(- 3,0),且 |PC1 |= 6<10.可见 C 点是以 P, C1 为两焦点的椭圆,且 c= 3, 2a= 10,∴ a= 5,从 2 2 x y 而 b= 4,故所求的动圆圆心的轨迹方程为 + = 1. 25 16

易错警示

椭圆问题的四种常见错误

(1) 已知 F1 , F2 为两定点, |F1F2| = 4 ,动点 M 满足 |MF1|
+|MF2|=4,则动点M的轨迹是( D ) A.椭圆 B.直线 C.圆
2 2

D.线段

x y (2)若方程 + = 1 表示椭圆,则实数 k 的取值范围是 7- k k- 5

(5,6)∪(6,7) ___________________ .

x2 y2 (3)已知椭圆的标准方程为 + 2= 1(m >0),并且焦距为 6,则 25 m

4 或 34 实数 m 为_____________ .
(4)已知 B, C 是两个定点, |BC|= 6,且△ ABC 的周长等于 16, 则顶点 A 的一个轨迹方程为

_____________________________________.

x2 y2 y2 x2 + = 1(y≠ 0)(或 + = 1(x≠ 0)) 25 16 25 16

[解析]

(1)∵ |MF1 |+ |MF2 |= 4= |F1 F2 |,

∴动点 M 的轨迹是线段 F1 F2. 7- k>0 ? ? (2)由题意可知?k- 5>0 , ? ?7- k≠ k- 5 ∴ k∈ (5, 6)∪(6, 7). (3)∵ 2c= 6,∴ c= 3.当椭圆的焦点在 x 轴上时,由椭圆的标准 方程知 a = 25,b =m ,a = b + c , 得 25=m + 9, ∴m = 16, 又 m >0,故 m=4.当椭圆的焦点在 y 轴上时,由椭圆的标准方 程知 a =m ,b = 25,a = b + c , 得 m = 25+ 9= 34, 又 m>0, 故 m= 34.综上,实数 m 的值为 4 或 34.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(4)如图 (1),建立平面直角坐标系,可得 B 点坐标 (- 3, 0), C 点坐标 (3, 0),由于 |AB|+ |AC|= 16- 6= 10,且 10>6,据椭圆 x2 y2 的定义知, 点 A 的轨迹方程为 + = 1.(y≠ 0). 本题若建立如 25 16 y2 x2 图 (2) 所示 的坐 标系时 ,求 得点 A 的 轨 迹方程 为 + = 25 16 1(x≠ 0).

[错因与防范]

(1)本例(1)易忽略椭圆定义中的条件误选A;

(2)易忽略椭圆标准方程的隐含条件(a>0,b>0,a≠b);

(3)易主观认为焦点在x轴而忽略讨论焦点在y轴的情况;
(4)忽略对方程加限制条件. 在求解上述有关问题时要注意以上四种常见错误.

4.(1)设定点 M1(0,-3),M2(0,3),动点 P 满足条件|PM1|+ 9 C ( |PM2|=a+ (其中 a 是正常数),则点 P 的轨迹是 a A.椭圆 B.线段 C.椭圆或线段 )

D.不存在

(2)已知曲线 C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R).若曲线 C 是焦 点在 x 轴上的椭圆,则 m 的取值范围

7 ( , 5) 是________ . 2

9 解析: (1)∵ |PM1 |+ |PM2 |= a+ ≥ 2 a ∴P 点的轨迹是椭圆或线段,选 C.
2

9 a· = 6= |M1 M2 |. a
2

x y 2 2 (2)由 (5-m )x + (m- 2)y = 8,得 + = 1. 8 8 5-m m- 2 8 8 7 因为椭圆的焦点在 x 轴上,∴ > >0,解得 <m <5. 5-m m- 2 2

技法导学

直接法、代入法求与椭圆有关的轨迹方程

(1)如图,设点 A, B 的坐标分别为 (- 5, 0),(5, 0).直 4 线 AM,BM 相交于点 M,且它们的斜率之积是- ,求点 M 的 9 轨迹方程.

(2)如图,设 P 是圆 x2+ y2 = 25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上 4 的投影, M 为 PD 上一点,且 |MD|= |PD|.当 P 在圆上运动时, 5 求点 M 的轨迹 C 的方程,并判断此曲线的类型.

[解]

(1)设点 M 的坐标为(x, y),因为点 A 的坐标是 (- 5, 0),

y 所以,直线 AM 的斜率 kAM= (x≠- 5);同理,直线 BM 的 x+ 5 y y y 4 斜率 kBM= (x≠ 5).由已知有 × =- (x≠ ± 5),化 x- 5 x+ 5 x- 5 9 x2 y2 简,得点 M 的轨迹方程为 + = 1(x≠ ± 5). 25 100 9

(2)设点 M 的坐标为 (x,y),点 P 的坐标为(x0,y0),则 x= x0,y 4 2 2 = y0 . 因为点 P(x0, y0 )在圆 x + y =4 上, 5
2 所以 x2 + y 0 0= 4. ① 5 把 x0= x, y0= y 代入方程①, 4 2 2 x y 25 得 x2+ y2 = 4,即 + = 1.② 16 4 64 25

所以点 M 的轨迹是一个椭圆.

[感悟提高]

求轨迹方程问题的常用方法

(1)若已知曲线类型,用待定系数法; (2)若根据条件能判断出曲线类型用定义法;

(3)若所求轨迹的动点随一个已知轨迹方程的动点而变化,用
代入法; (4)若不是上述三种情况,常用直接法.


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