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高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.3映射的概念名师导航学案苏教版必修1

高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.3映射的概念名师导航学案苏教版必修1

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2.3 映射的概念
名师导航 知识梳理 1.映射的概念
映射 f:A→B 的定义是:设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f,对于集合 A 中 的__________一个元素,在集合 B 中都有__________的元素和它对应,那么这样的对应(包 括集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 f)叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作__________. 2.象与原象
在映射 f:A→B 中,如果 a∈A,b∈B,且元素 a 和元素 b 对应,那么,元素 b 叫做元素 a 的__________,元素 a 叫做元素 b 的__________,记作__________. 3.一一映射
如果映射 f:A→B 再满足_________________,那么这个映射叫做 A 到 B 上的一一映射. 4.用映射的概念定义函数,函数的定义域、值域
如果 A、B 都是__________,那么 A 到 B 的映射 f:A→B 就叫做 A 到 B 的函数,记作 y=f(x)(x ∈A,y∈B).
原象的集合 A 叫做函数 y=f(x)的__________;象的集合 C(C ? B)叫做函数 y=f(x)的
__________. __________、__________和__________,通常称为函数的三要素.
疑难突破 怎样理解映射概念? (1)映射是一种特殊的对应.教科书上介绍了一些不同的对应,如一对多、一对一、多对一等, 而且集合 A、B 中元素个数也注意了多样化,集合 B 中有的元素没有得到对应. (2)映射定义中的两个集合 A、B 是有先后次序的,A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是不同的. (3)映射是由集合 A、B 以及从 A 到 B 的对应法则 f 所确定的. (4)在一个映射中,在对应法则 f 的作用下,集合 A 中的任何一个元素 a 对应着集合 B 中的 元素 b,b 叫 a(在 f 下)的象,并且 a 的象是唯一的,a 叫做 b 的原象,b 的原象不要求唯一.B 中的每一个元素不要求都有原象. (5)记号“f:A→B”表示集合 A 到集合 B 的映射,其中对应法则 f 的具体内容在教材中是用 汉字叙述的,如“求正弦”“乘以 2 再加 5”等.在专业教材中,一般用比较抽象的符号来表 示. (6)在一个映射中,集合 A、B 可以是数集,也可以是点集或其他集合;集合 A、B 也可以是 同一集合,但在确定的映射中,集合 A、B 的地位一般是不要求对等的. (7)一一映射是一种特殊的映射,即映射 f:A→B 满足两个条件:A 中不同的元素在 B 中有不 同的象;B 中每一个元素都有原象,这个映射叫 A 到 B 上的一一映射. 问题探究 问题 1 请问:对应有几种形式?映射 f:A→B 和集合 A 到 B 的对应是一回事吗? 探究思路:对应有三种形式:“一对一的对应”“一对多的对应”和“多对一的对应”.严格
1

地讲,映射 f:A→B 和集合 A 到 B 的对应不是一回事.根据映射的定义,映射 f:A→B 可以

是“一对一的对应”,也可以是“多对一的对应”,而绝不能是“一对多的对应”.

问题 2 你能用映射的概念来刻画函数吗?

探究思路:用映射的概念刻画函数的定义可以这样来叙述:

设 A、B 都是非空的数集,那么 A 到 B 的映射 f:A→B 就叫 A 到 B 的函数,记作 y=f(x).

其中 x∈A,y∈B.原象的集合 A 叫做函数 y=f(x)的定义域,象的集合 C 叫做函数 y=f(x)的

值域.

典题精讲

例 1 下列对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射?为什么?

(1)A=R,B={x∈R|x≥0},对应法则是“求平方”;

(2)A=R,B={x∈R|x>0},对应法则是“求平方”;

(3)A={x∈R|x>0},B=R

(4)A={平面α 内的圆},B={平面α 内的矩形},对应法则是“作圆的内接矩形”.

思路解析 只有(1)是映射,因为 A 中的任何一个元素,在 B

对应.

(2)不是从集合 A 到集合 B 的映射.因为 A 中的元素 0,在集合 B 中没有象.

(3)不是从集合 A 到集合 B 的映射.因为任何正数的平方根都有两个值,即集合 A 中的任何元

素,在集合 B 中都有两个元素与之对应,象不唯一.

(4)不是从集合 A 到集合 B 的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合 A 中任何一个元

素在集合 B 中有无穷多个元素与之对应,象不唯一.

答案:(1)是;(2)不是;(3)不是;(4)不是.

例 2 已知 A=N*,B={正奇数},映射 f:A→B,使A中任一元素 a 与 B 中元素 2a-1 相对应,

则在 f:A→B 中,A 中元素 9 与 B 中元素___________对应;与集合 B 中元素 9 对应的 A 中

元素为____________.

思路解析 根据映射的定义,在 f:A→B 中,A 中元素 9 与 B 中元素 2×9-1=17 对应,故填

17,在这个映射中,设 A 中元素 a 与 B 中元素 9 对应,则 2a-1=9,解得 a=5,因此后一空格

应填 5.

答案:17 5

例 3 在映射 f:A→B 中,下列说法正确的是( )

A.集合 B 是集合 A 中所有元素的象的集合

B.集合 B 中每一个元素至少与集合 A 中的一个元素相对应

C.集合 B 中可能有元素不是集合 A 中元素的象

D.集合 A 中可能有元素在集合 B 中没有象

思路解析 根据映射的定义可知“对于 A 中的每一个元素,在 B 中都有唯一的元素与之对应”,

只要满足这条,那它就是映射.显然 D 不成立.但定义并没有要求“集合 B 中的每一个元素都

是集合 A 中元素的象”,由此可知 A、B 也不对.C 是满足映射定义的,故 C 正确.

答案:C

例 4 已知映射 f:A→B,其中,集合 A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合 B 的元素都是 A

中元素在映射 f 下的象,且对任意的 a∈A,在 B

|a|,则集合 B 中元

素的个数是( )

A.4

B.5

C.6

D.7

思路解析 该映射是函数,问题化为求函数的值域.已知映射 f:A→B 是函数 f(x)=|x|,定

义域 A={-3,-2,-1,1,2,3,4},且 B 是值域,求值域,得 B={3,2,1,4},其元素的

个数是 4,因此,选 A.

2

答案:A

知识导学

这个定义,从以下四点深刻理解它:(1)先记住映射的记号“f:A→B”,它包括集合 A、

B 以及 A 到 B 的对应法则,f(A≠ ? ,B≠ ? ).(2)映射 f:A→B 是有方向的,即从 A 到 B,定

义中只要求 A 中的每一个元素在 B 中有怎样的“象”,并不要求 B 中的每一个元素在 A 中有

怎样的对应.因此,“从 A 到 B 的映射”与“从 B 到 A 的映射”是不同的.(3)在 A 到 B 的映射

中,集合 A 中的每一个元素在 B 中都有“象”,且“象”唯一.(4)映射是一种特殊的“对应”.

而“对应”与集合一样,也是原始概念,即无定义的,但可以“说明”.对应是两个集合 A

与 B 的关系,通常以一个集合为主来考虑,对于 A 中的每一个元素来说,有以下三种对应关

系:①B 中有唯一元素与之对应.②B 中有多个元素(不是唯一)与之对应.③B 中没有元素与

.

判别一个对应是映射 f:A→B 的要点是:①A 到 B;②A 中每一个元素都有象,且象唯一.

用映射的概念定义函数,

(1)函数是特殊的映射,特别

注意 A、B 是非空数集.(2)函数符号 y=f(x)表示“y 是 x 的函数”,有的简记作函数 f(x).而

f(a)表示自变量 x=a(a∈A)时的函数值(象).(3)值域 C 是 B 的子集,当 B 中的每一元素都有

原象时,B=C.(4)应该知道,函数的决定性要素有两个:定义域和对应法则,而值域是由定

义域和对应法则确定的,因而今后有“求函数的值域”的很多难题.因此,研究函数的任何

问题都必须由定义域和对应法则这两个独立要素下手.但很多人往往犯“忽视定义域”的错

误.

疑难导析

“映射”这一节内容是学完集合及其相关概念后又出现的一个新概念,它是集合论中一

个极为重要的概念,是函数概念的推广.本节课主要内容就是映射概念,由于映射概念抽象、

乏味、不好理解,因此重点、难点也是映射概念.

映射是近代数学中一个极其重要而且应用极其广泛的概念,它是函数概念的推广.在初

中我们初步学习了用变量描述的函数概念,从运动变化的观点出发,将自变量 x 的每一取值

与唯一确定的函数值对应起来.但是,有些函数如果只根据变量观点,就很难进行深入研究.

例如,著名的狄利克雷(Dirchlet)函数

f(x)=

?0, ??1,

x为无理数时,
和高斯(Gauss)函数 g(x)=[x](x∈R,[x]表示不超过 x 的最
x为有理数时

大整数),对这两个函数,如果用变量观点来解释,会显得十分勉强,但用集合、对应的观 点来解释,就十分自然.因此,近代数学引入集合与映射的概念,是数学发展的需要,是为 了更好地刻画函数的定义,加深对函数概念的理解.下节课,我们将学习用映射描述的函数 概念.同学们要从发展的观点去学习数学,才能学好数学,并发展创新. 问题导思
映射的概念是比较抽象的概念,它是在初中所学对应的基础上发展而来的.教学中应特 别强调对应集合 B 中的唯一这点要求的理解.
映射是学生在初中所学的对应的基础上学习的,对应本身就是由三部分构成的整体,包 括集合 A 和集合 B 及对应法则 f,由于法则的不同,对应可分为一对一,多对一,一对多和 多对多.其中只有一对一和多对一的能构成映射,由此可以看到映射必是“对 B 中之唯一”, 而只要是对应就必须保证让 A 中之任一与 B 中元素相对应,所以满足一对一和多对一的对应 就能体现出“任一对唯一”.
函数与映射的区别与联系 函数是特殊的映射,即当两个集合 A、B 均为非空数集时,则从 A 到 B 的映射就是函数.

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所以函数一定是映射,而映射不一定是函数. 典题导考 绿色通道 给定两集合 A、B 及对应法则 f,判断是否是从集合 A 到集合 B 的映射,其基本 方法是利用映射的定义.用通俗的语言讲:A→B 的对应有“多对一”“一对一”及“一对多”, 前两种对应是 A→B 的映射,而后一种不是 A→B 的映射. 典题变式
下列对应是不是从 A 到 B 的映射?是不是函数? (1)A=(-∞,+∞),B=(0,+∞),f:x→y=|x|; (2)A={x|x≥0},B=R,f:x→y,y2=x; (3)A={x|x≥2,x∈Z},B={y|y≥0,y∈Z},f:x→y=x2-2x+2; (4)A={平面α 内的矩形},B={平面α 内的圆},f:作矩形的外接圆. 解答:(1)不是映射,因为 0∈A,但|0|=0∈B,当然,(1)更不是函数.(2)不是映射,更不

是函数.因为 y=± x ,当 x>0 时,元素 x 的象不唯一.(3)是映射.因为 y=(x-1)2+1≥0,又
当 x∈A 时,y∈Z,所以(3)是映射.又因为 A、B 都是数集,所以(3)也是函数.(4)是映射. 因为每一个矩形都有唯一的外接圆,即 A 中每一元素在 B 中都有唯一的象,所以(4)是映射. 但 A、B 不是数集,所以不是函数. 典题变式
点(x,y)在映射 f 下的象是(2x-y,2x+y),求点(4,6)在映射 f 下的原象.

答案:由映射的定义,得

?2x ??2x

? ?

y y

? ?

64,,解得?????xy

? ?

5, 2 1.

所以点(4,6)在映射 f 下的原象是( 5 ,1). 2
绿色通道 判断 f:A→B 是否是映射,主要的依据是定义.要正确理解定义:在映射 f:A→ B 中,只要求 A 中的元素在对应法则 f 的作用下,在集合 B 中,都有唯一的元素和它对应, 但 B 中的每一个元素在集合 A 中却未必都有原象.若 B 中每一个元素在集合 A 中都有原象, 则称 f:A→B 是集合 A 到集合 B 上的映射;若 B 中至少有一个元素不是 A 中元素的象,则称 f:A→B 是集合 A 到集合 B 内的映射. 典题变式
下面说法正确的是( ) A.对于任意两个集合 A 与 B,都可以建立一个从集合 A 到集合 B 的映射 B.对于两个无限集合 A 与 B,一定不能建立一个从集合 A 到集合 B 的映射 C.如果集合 A 中只有一个元素,B 为任一非空集合,那么从集合 A 到集合 B 只能建立一个映 射 D.如果集合 B 只有一个元素,A 为任一非空集合,则从集合 A 到集合 B 答案:D 绿色通道 用映射的概念来深刻理解函数,反之,用函数的方法来解映射的问题,这是把概 念与操作相结合的现代观点,在本例中,用具体的函数来操作映射是最快的算法,而不在概 念中兜圈子. 典题变式 在下列 5 个对应中: ①f:N→N*,x→|x-3|;

4

②f:N→Q,x→2x;

③f:{1,2,3,4,5,6}→{-4,-3,0,5,12},x→x(x-4);

④f:N→{-1,1},x→(-1)x;

⑤f:{平面 M 内的圆}→{平面 M 内的三角形},圆→圆内接三角形.

其中是映射的有( )

A.2 个

B.3 个

C.4 个

D.5 个

答案:B

5


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