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2015—2016学年度湖北省部分高中期中联考高三理科数学参考答案

2015—2016学年度湖北省部分高中期中联考高三理科数学参考答案


2015-2016 届湖北省部分高中期中联考

高三理科数学参考答案
一、选择题(共 12 小题,共 60 分)

1—6 DBAAAC
13. 17 14.

7-12 DDADCB
120 ?
15. 300 16. ①②③

二.填空题(共 4 小题,共 20 分)

三.解答题(共 6 小题,共 70 分) 17. 解: (Ⅰ)由 x ? 4ax ? 3a ? 0 得 ( x ? 3a )( x ? a ) ? 0 ,
2 2

当 a ? 1 时,解得 1< x ? 3 ,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1< x ? 3 .

………2 分

2 ? ?x ? x ? 6 ? 0 由? ,得 2 ? x ? 3 ,即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 .……3 分 2 ? ?x ? 2x ? 8 ? 0

若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . …………5 分 (Ⅱ) p 是 q 的必要不充分条件,即 q ? p,且 p ? ? q, …………………………6 分

设 A= ? x p( x)? , B = ? x q( x)? , 则 A ? ? B,又 B ? (2,3] ,当 a ? 0 时,A= ( a,3a ) ;

? a ? 2, 所以当 a ? 0 时,有 ? 解得 1 ? a ? 2; ?3 ? 3a,
所以实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 . 18. 解:(1)设公差为 d ,由已知得 ? 解得 d ? 1或d ? 0(舍去) …..3 分 所以 a1 ? 3, a n ? n ? 2 …………..5 分 ……10 分

……………9 分

?5a1 ? 10d ? 25
2 ?(a1 ? 3d ) ? a1 (a1 ? 9d )

1 1 1 1 …………7 分 ? ? ? a n a n ?1 ( n ? 2)( n ? 3) n ? 2 n ? 3 1 1 1 1 1 1 1 1 n 所以 Tn ? ? ? ? ? ? ? ………8 分 ? ? ? ? 3 4 4 5 n ? 2 n ? 3 3 n ? 3 3(n ? 3) n 因 为 Tn≤λan + 1 对 ? n ∈ N* 恒 成 立 , 所 以 ? ? (n ? 3) 对 ? n ∈ N* 恒 成 立 , 所 以 3(n ? 3)
(2) 因为

? n 1 1 ? ? ,而 当且仅当 n ? 3时取等 ….11 分 2 2 ? 9 36 3(n ? 3) ? 3(?n ? 3? ? max 3(n ? ? 6) n 1 所以 ? 的最小值为 。……….12 分 36 1/5

???

?

n

? 19.(1)由题设条件给出的点可知, ? ?

?

?? ? 8 2 ? 5 ? 3? ?? ? ?? ? ? 8 2 ? ?

?

?

,解得 ? ? 2 , ? ?

?
4



所以 f ( x ) ? M sin(2 x ?

?
4

).

………………………3 分

又将点 (0,1) 代入 f ( x ) ? M sin(2 x ? 于是函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? (2)由 f ( B ?

?

) ,得 M sin(2 ? 0 ? ) ? 1 ,求得 M ? 2 . 4 4

?

2 sin(2 x ? ) . 4

?

………………………5 分

?

? 2 ? ? ,即 B ? ? k? 或 B ? ? k? ( k ? Z ) , ) ? 1 得 sin(2 B ? ) ? 4 4 2 4 2
?
4
. ………………………8 分

又 △ ABC 是锐角三角形,所以 B ? 设

a b c ? ? ? ? ? k ,则 a ? k sin , b ? k sin , c ? k sin C , sin A sin B sin C 3 4 ? ? 5 所以 3k sin ? 2k sin ? 10 ,即 k ? 10 ,解得 k ? 4 . ……………………10 分 3 4 2
于是 c ? k sin C ? 4sin( A ? B ) ? 4(sin 20. 解: (1)当 t ?

?

3

cos

?

4

? cos

?

sin ) ? 6 ? 2 . 3 4

?

………12 分

1 时, PA // 平面 MQB 3 下面证明:若 PA // 平面 MQB ,连 AC 交 BQ 于 N 由 AQ // BC 可得, ?ANQ ∽ ?BNC , AQ AN 1 ? ? ? BC NC 2 . . . . . . . . .2分 ? PA // 平面 MQB , PA ? 平面 PAC ,平面 PAC ? 平面 MQB ? MN , ? PA // MN . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4分 PM AN 1 1 1 即: PM ? PC ? ? ?t ? PC AC 3 3 3. . . . . .6分

(2)由 PA=PD=AD=2, Q 为 AD 的中点,则 PQ⊥AD。 .7分 又平面 PAD⊥平面 ABCD,所以 PQ⊥平面 ABCD,连 BD, 四边形 ABCD 为菱形, ∵AD=AB, ∠BAD=60°△ABD 为正三角形, Q 为 AD 中点, ∴AD⊥BQ. . . . . . . . . . . .8分 以 Q 为坐标原点,分别以 QA、QB、QP 所在的直线为 x, y , z 轴,建立如图所示的坐标系,则各点坐标为 A(1,0,0) ,B( 0, 3, 0 ) ,Q(0,0,0) ,P(0,0, 3 ) 设 平 面 MQB 的 法 向 量 为

n1 ? ?x1 , y1 , z1 ?







? ? ?n1 ? QB ? 0 ?n ? QB ? 0 ? ? 3 y1 ? 0 ? PA//MN ? ? 1 ,? ? ? ? ?n1 ? MN ? 0 ?n1 ? PA ? 0 ? ? x1 ? 3 z1 ? 0 ,

取 z1 ? 1 , 解 得

2/5

n1 ? ( 3 ,0,1)

………10 分

设平面 PAB 的法向量为 n 2 ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) , 所以 ?

? ?n2 ? PA ? 0 ? ? x2 ? 3z 2 ? 0 即? 取 z2 ? 1 ? ? n ? AB ? 0 ? x ? 3 y ? 0 ? 2 2 ? 2

解得 n 2 ? ( 3 ,1,1) 设所求二面角为 ? ,则 cos? ? 弦值为

| n1 ? n 2 | | n1 || n2 |

?

2 5 5

故所求二面角的余

2 5 . . . . . . . . . . . . . .12 分 5 21. 解: (1)? M在PF2的中垂线上? MF2 ? MP

? MF2 ? MF1 ? PF1 ? 2 3 ,且 F1 F2 ? 2 2 ? 2 3 …………..3 分
? M在以 F1,F2 为焦点,长轴长为 2 3的椭圆上


? 点M的轨迹方程为:x 2 ?

y2 ? 1 …………………5 分 3

(2)假设存在满足条件的点 Q(x ? ,0) 。

1? 当 l ? x轴 时, l的方程为 x ? 0
此时 A 点坐标为 (0, 3 ) , 显然 x轴上存在点Q( ? 3, 满足题意。 B点坐标为(0, - 3) 0) …6 分

2 ? 当l // x轴时,显然不存在满足条件的点Q 。
3? 当 l的斜率存在且不平行与 x轴时 ,
设直线 l的方程为: y ? kx ?

2 , 点A(x1 , y1 ), 点B(x 2 , y 2 )

? 2 2k ? 2 y2 x1 ? x 2 ? ? ? x ? ? 1 ? ? 2 2 3? k2 由? 得 (3 ? k ) x ? 2 2kx ? 1 ? 0 ? ? 3 ?x ? x ? ? 1 ? y ? kx ? 2 1 2 ? ? 3 ? k 2 ………8 分 ?

? AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 ? 1 ? k 2 ? (?

2 2k 2 1 ) ? 4 ? (? ) 2 3? k 3? k2

?

2 ( 3 1? k 2) 3? k2 2k 3 2 , ) ,则直线 l 的中垂线方程为: 3? k2 3? k2

线 段 AB 的 中 点 E 的 坐 标 为 ( ?

y?

3 2 1 2k 2 2k ? ? (x ? ) ,所以 点Q( ,0 ) 2 2 k 3? k 3? k 3? k2

3/5

k? ? 点Q到直线l的距离d ?
?d ?
所以

2 2k ? 2 3? k2 1? k 2

?

3 2 1? k 2 3? k2

3 2 1? k 2 3 2 3 (1 ? k 2 ) 3 ? AB 即: 2 2 3? k2 3? k2
k2 ?1

? 点Q的坐标为(

2 2 2 2 或点 Q的坐标为( , 0) , 0) 4 4 2 2 , 0) 4 …….12 分

? 符合题意得 Q点有( ? 3, 0),( ?
22. 解: (1)当 a ? 2时,f ?( x) ? 2(e ? 1)
x

? x ? (??,0)时f ?( x) ? 0, f ( x)单调减 , 当x ? (0,??)时f ?( x) ? 0, f ( x)单调增 ? f ( x) min ? f (0) ? 0,? f ( x) ? f (0) ? 0 ………..3 分
(2) f ?( x) ? 2e ? a ,
x

① 当

a ? e即a ? 2e时 2

f ?( x) ? 0, x ? ?1,2? , 所 以

f ( x)在?1, 2?上递增 , 则

f ( x) min ? f (1 ) ? 2e ? a ? 2 ……4 分
②当 e ?

a ? e 2即2e ? a ? 2e 2时 2

由 f ?( x ) ? 0, 得x ? ln 当 x ? ?ln ③当 e ?
2

a? a ? ? ?1,2? ,当 x ? ?1, ln ?时f ?( x ) ? 0, f ( x )递减 , 2? 2 ?

? ?

a a a ? ,2?时f ?( x ) ? 0, f ( x )递增 所以 f ( x ) min ? f (ln ) ? a ? a ln ? 2 ….5 分 2 2 2 ? a 即 a ? 2e 2 时 2

2 f ?( x) ? 0, f(x)递减 ,所以 f ( x) min ? f ( 2) ? 2e ?2a ? 2

总之, f ( x ) min

?2e ? a ? 2, (a ? 2e) ? a ? ? ?a ? a ln ? 2, (2e ? a ? 2e 2 ) ………7 分 2 ? 2 2 ? ?2e ? 2a ? 2, (a ? 2e )

e x1 ? e x2 ? e px1 ? qx2 (3)法一:要证: k ? f ?( px1 ? qx 2 ) 即证: x1 ? x 2
px1 ? qx2 ( 即证: e

e q ( x1 ? x2 ) ? e p ( x2 ? x1 ) ? 1) ? 0 ……..8 分 x1 ? x 2
4/5

设x 2 ? x1 ? t ? 0 , 即证:e pt ? e ? qt ? t ? 0
设 g (t ) ? e
pt

? e ? qt ? t ? g ?(t ) ? pe pt ? qe ? qt ? 1 , p ? q ………..10 分
pt

由(1)知 pe

? qe ? qt ? 1 ? p ( pt ? 1) ? q (? qt ? 1) ? 1 ? ( p 2 ? q 2 )t ? 0

? g (t )在(0, ? ?)单调递增? g (t ) ? g (0) ? 0, 得证 ……12 分
法二:先证: k ? f ?(

x1 ? x 2 ) 2

x1 ? x2 y1 ? y 2 2(e x1 ? e x2 ) x1 ? x 2 ?k ? ? ? a , f ?( ) ? 2e 2 ? a 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2

x1 ? x 2 e x1 ? e x2 ? 要证k ? f ?( ),即证: ?e 2 x1 ? x 2
即证: e
x1 ? x2 2

x1 ? x2 2

即证:

e x1 ? e x2 ?e x1 ? x 2

x1 ? x2 2

?0
………9 分

(

e

x1 ? x2 2

?e x1 ? x 2

x2 ? x1 2

? 1) ? 0 ,…….10 分



x1 ? x 2 ? t ? 0 即证: e t ? e ? t ? 2t ? 0 2
t ?t

设 g (t ) ? e ? e

? 2t ,所以 g ?(t ) ? e t ? e ? t ? 2 ? 0

所以 g (t )在( ? ?,0)上单调增 所以 g (t ) ? g (0) ? 0 ,所以 k ? f ?( 再证: f ?(

x1 ? x 2 ) 2 ……11 分

x1 ? x 2 ) ? f ?( px1 ? qx 2 ) 2
x1 ? x 2 1 1 1 1 ? ( p ? ) x1 ? (q ? ) x 2 ? ( p ? ) x1 ? (1 ? p ? ) x 2 2 2 2 2 2
1 ? ( p ? )( x1 ? x 2 ) ? 0 2

? px1 ? qx 2 ?

?e

px1 ? qx 2

?e

x1 ? x2 2

? k ? f ?(

x1 ? x 2 ) ? f ?( px1 ? qx 2 ) ………..12 分 2
(其他方法酌情给分)

5/5


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