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浙江省温州市2012学年第一学期十校联合体高三期末联考数学试卷(文科)

浙江省温州市2012学年第一学期十校联合体高三期末联考数学试卷(文科)


2012 学年第一学期十校联合体高三期末联考 数学试卷(文科)
本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷选择题部分(共 50 分)
一、选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。 1.已知全集 U ? R , M ? { x ? 2 ? x ? 2} , N ? { x x ? 1} ,那么 M ? N ? ( ▲ ) (A) { x x ? 1}
?2 x f (x) ? ? ? f ( x ? 1)

(B) { x ? 2 ? x ? 1} (C) { x x ? ? 2}
x ? 0 x ? 0

(D) { x ? 2 ? x ? 1}

2.已知

,则

f ( ? 1)

=( ▲ )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)4 1, 2, 3, 4 ,从中任取 2 个球,则这 2 个球的编号之和 3.袋中有 4 个形状大小一样的球,编号分别为 为偶数的概率为( ▲ ) (A)
1 6

(B)

1 3

(C)

1 2

(D)

2 3

4.已知实数 x , y , 则“ x y ? 2 ”是“ x 2 ? y 2 ? 4 ”的 ( ▲ (B)必要不充分条件 (C)充要条件

) (A)充分不必要条件
开 始 n=12, i=1

(D)既不充分也不必要条件

5.已知空间两条不同的直线 m , n 和平面 ? , 则下列命题中正确的是( ▲ ) (A)若 m ? ? , n / / ? ,则 m ? n (C)若 m / / ? , n / / ? ,则 m / / n (B)若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n (D)若 m ? ? , n / / ? ,则 m / / n

n 是奇数? 是 n=3n+1 否 n n= 2 i=i+1 n=1? 否

6.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( ▲ ) (A) 8 (B) 9
?
3

(C) 10
?
3
4

(D) 11
?
6


7.下列命题正确的是( ▲ ) (A)函数 y ? sin( 2 x ? (B)函数 y ? cos
4

) 在区间 ( ?

,

) 内单调递增

输出 i 结 束 (第 6 题图)

x ? sin

x 的最小正周期为 2 ?

(C)函数 y ? cos( x ? (D)函数 y ? tan( x ? 8.已知函数

?
3

) 的图像是关于点 (

?
6

, 0 ) 成中心对称的图形

?
3

) 的图像是关于直线 x ?

?
6

成轴对称的图形 取得最小值 b,



,当 x=a 时,

则函数 g ( x ) ? (

1 a

)

x?b

的图象为( ▲ )

2 9.已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 与双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? 0 , b ? 0 ? 有相同的焦点 F ,

点 A 是两曲线的交点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离心率为( ▲ (A) 2 ? 1 (B) 3 ? 1 (C) (D)
5 ?1 2
1 x ?1


2 ?1 2

2

10.函数 f ( x ) ? ln x ? (A)0 (B) 2

在区间 ? k , k ? 1 ? ( k ? N * )上存在零点,则 k 的值为( ▲ (D) 1 或 2



(C) 0 或 2

第Ⅱ卷 (非选择题
答案填在答题卷上.

共 100 分)
0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 O

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把 11.某大学对 1000 名学生的自主招生水平测试成绩进行统 计, 得到样本频率分布直方图(如图), 则这 1000 名学生 在该次自主招生水平测试中不低于 7 0 分的学生数是 ▲ . 12.若复数 值为 ▲
2 ? ai 1? i ( a ? R ) 是纯虚数( i 是虚数单位),则 a 的

频率 组距

40

50

60

70

80

90

100

分数



第(11)题

13.若各项均为正数的等比数列 { a n } 满足 a 2 ? 2 a 3 ? 3 a 1 ,则公比 q ?
2 2


??? ?


10 ,

14 .已知圆 P : ? x ? m ? ? ( y ? n ) ? 4 与 y 轴交于 A 、 B 两点,且 P A ? P B ? 则 AB ? ▲ .

??? ?

15. 已知一个三棱锥的三视图如右图所示,其中俯视图是顶角 为1 2 0 的等腰三角形,则该三棱锥的体积为
?

2 1 左视图




主视图 2 3

? 4? x ? 0 ? y ? x 16. 若实数 x , y 满足不等式组 ? (其中 k 为常数), ?2x ? y ? k ? 0 ?

俯视图

且 z ? x ? 3 y 的最大值为 12,则 k 的值等于 17.将函数 y ?
? x ? 2x ? 3 ?
2





3 ( x ? ?0 , 2 ? )的图象绕坐标原点逆时

针旋转 ? ( ? 为锐角) ,若所得曲线仍是一个函数的图象,则 ? 的最大值 为 ▲ .
1 2

三.解答题(本题共 5 小题,18 题、19 题、20 题每题 14 分,21 题、22 题每题 15 分,共 72 分) 18. (本题满分 14 分)在 ? ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 cos (Ⅰ)若 a ? 2 , b ? (Ⅱ)求 sin A ? sin
2 3
C

B ? ?



.求 ? ABC 的面积; 的取值范围.

19. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? 3 x ? 2 x ,数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,
2

点 ( n , S n ) ( n ? N ) 均在函数 f ( x ) 的图象上.
*

(Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 b n ?
3 a n a n ?1
m 20

, T n 是数列 ? b n ? 的前 n 项和, 对所有 n ? N 都成立的最小正整数 m .
*

求使得 T n ?

20.(本题满分 14 分) 在 如 图 所 示 的 几 何 体 中 , EA ? 平 面 ABC , DB ? 平 面 ABC , AC ? BC , 且 A C ? B C? B D 2 ? A EM 是 A B 的中点. , D (1)求证: C M ? E M ; E (2)求直线 D E 与平面 C E M 所成角的正切值.

A M B

C

21.(本题满分 15 分) 设函数 f ( x ) ? x ( e ? 1) ? a x , a ? R ,其中 e 为自然对数的底数.
x 2

(第 20 题)

(Ⅰ)若 a ?

,求 f ( x ) 的单调递增区间; 2 (Ⅱ)若当 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

1

22. (本题满分 15 分)给定椭 圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

称圆心在坐标原点 O , 半径为 ? 1(a ? b ? 0) ,

a ?b
2

2



圆是椭圆 C 的“伴随圆”. 若椭圆 C 的一个焦点为 F2 (

2, 0) ,其短轴上的一个端点到 F2 距离为 3 .

(Ⅰ)求椭圆 C 及其“伴随圆”的方程; (Ⅱ)若过点 P(0, m)(m ? 0) 的直线与椭圆 C 只有一个公共点,且截椭 圆 C 的“伴随圆”所得 的弦长为 2 2 ,求 m 的值; (Ⅲ)过椭圆 C 的“伴椭圆”上一动点 Q 作直线 l1 , l2 ,使得 l1 , l2 与椭圆 C 都只有一个公共点, 当直线 l1 , l2 都有斜率时,试判断直线 l1 , l2 的斜率之积是否为定值,并说明理由.

2012 学年第一学期十校联合体高三期末联考 数学参考答案(文科)
一、选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分,共 50 分。 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 A 5 A 6 C 7 C 8 B 9 A
[来源:学科网]

10 C

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 题号 11 题 12 题 13 题 14 题 15 题 16 题 17 题

答案

600

2

3
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

2

6

2 3 3

?9

?
3

三.解答题(本题共 5 小题,18 题、19 题、20 题每题 14 分,21 题、22 题每题 15 分,共 72 分) 18. (1) ? cos B ? ?
? A ?

1 2

,? sin B ?
?
6

3 2

由三角形正弦定理可得:
S ? ABC ? 1 2 sin( 2 C ? 5? 6 1 2 1 4 ab sin C ?

2 sin A
3

?

2 3 sin B

, sin A ?

1 2



?
6

,C

?

……5 分
?
3 ? C ) ? sin C ?

……7 分

(2) sin

A ? sin C ? sin(

?
6

)?

……11 分

? ? ? ? C ? ? 0, ? 3 ? ?
? sin( 2 C ?

? 2C ? 1 2

?
6

?(

?
6

,

)

?
6

)? (

,1 ]

……12 分

则 sin

A ? sin C ? ( 0 ,

1 4

]

……14 分

19. 解: (1)由 S n ? 3 n 2 ? 2 n ,得 a n ? 6 n ? 5 . ………………6 分 (2)? b n ?
1 2 (1 ? 1 2

3 a n a n ?1
1 7 1 )?( )?

?

1

2 6n ? 5
? m 1 13

(

1

?

1 6n ? 1
1

)

? Tn ?

[(1 ?

1 7

)?? ? (

6n ? 5

?

1 6n ? 1 1 2 (1 ?

)] ? 1

1 2

(1 ? )? 1 2

1 6n ? 1

) ……………10 分

要使
? m 20

1 2

6n ? 1

对 n ? N * 成立,?

20

6n ? 1

?

,? m ? 1 0 ,故符合条件的正整数 m ? 1 0 .

………………14 分

2 0.解:(1)证明:因为 AC=BC,M 是 AB 的中点, 所以 CM⊥AB. ……………………………………………………………………2 分 又 EA ⊥平面 ABC, 所以 CM⊥EA ……………………………………………………………………4 分 因为 AB ? EA=A 所以 CM⊥平面 EAB. 所以 CM⊥EM. ……………………………………………………………………7 分 (2)连结 MD, 设 EA=a,BD=BC=AC=2 a, D 在直角梯形 ABDE 中,
E

AB=2 2 a,M 是 AB 的中点, 所以 DE=3a,EM= 3a ,DM= 6 a , 得△DEM 是直角三角形,其中 DM⊥EM,…………10 分
A M B

C

(第 20 题)

又因为 DM⊥CM, 因为 EM ? CM=M, 所以 DM⊥平面 CEM 所以∠DEM 是直线 DE 和平面 CEM 所成的角.……12 分 在 Rt△DEM 中,tan∠DEM=
DM EM ? 6a 3a ? 2 ,

[来源:学科网 ZXXK]

故直线 D E 与平面 C E M 所成角的正切值为 2 .…………14 分 说明:用向量法解可酌情给分。
1 2
x x x

21.解: (1) a ?

时, f ( x ) ? x ( e ? 1) ?
x

1 2

x ,

2

f '( x ) ? e ? 1 ? xe ? x ? ( e ? 1)( x ? 1) .

…………………………………3 分 …………………………………5 分 …………………………………7 分

令 f ? ( x ) ? 0 ,得 x ? ? 1 或 x ? 0 , 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ? ? , ? 1 ? , ? 0, ? ? ? (2) f ( x ) ? x ( e ? 1 ? a x )
x

令 g ( x ) ? e ? 1 ? a x ,则 g '( x ) ? e ? a 。
x

x

若 a ? 1 ,则当 x ? ? 0 , ? ? ? 时, g '( x ) ? ? , g ( x ) 为增函数, 而 g (0 ) ? 0 ,从而当 x≥0 时, g ( x ) ≥0,即 f ( x ) ≥0. ………………………………11 分 若 a ? ? ,则当 x ? ? 0 , ln a ? 时, g '( x ) ? ? , g ( x ) 为减函数, 而 g (0 ) ? 0 ,从而当 x ? ? 0 , ln a ? 时 g ( x ) <0,即 f ( x ) <0. 所以不合,舍去. 综合得 a 的取值范围为 ? ? ? ,1 ? …………………………………14 分 …………………………………15 分

22.解: (1) 椭圆方程为:

x
2

2

? y ? 1 ; …………2 分
2

3

椭圆 C 的“伴椭圆”方程为: x ? y ? 4
2

…………4 分
2,

(2)设直线方程为: y ? k x ? m 因为截椭圆 C 的“伴随圆”所得的弦长为 2 所以圆心到直线的距离为 2
[来源:Z。xx。k.Com]

d ?

|m | 1? k
2

?
2

2 ,m
2

2

? 2 (1 ? k ) …………7 分
2

?x ? 3y ? 3 2 2 2 又? 得 (1 ? 3 k ) x ? 6 m k x ? 3 m ? 3 ? 0 ? y ? kx ? m
? ? 1 ? 3k ? m ? 0
2 2

…………10 分 (3)设 Q ( x 0 , y 0 ) ,直线 y ? y 0 ? k ( x ? x 0 ) , 由(2)可知 1 ? 3 k ? m ? 1 ? 3 k ? ( y 0 ? k x 0 ) ? 0
2 2 2 2

?m

2

? 4 , m ? ?2

即 (3 ? x0 )k ? 2 y0 x0k ? 1 ? y0 ? 0
2 2 2

? k 1k 2 ?

1 ? y0

2 2

3 ? x0

又? x 0 ? y 0 ? 4
2 2

? k 1 k 2 ? ? 1 为定值。…………15 分


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