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3.1.1正整数指数函数教案 秋学期高中数学北师大版必修一

3.1.1正整数指数函数教案 秋学期高中数学北师大版必修一

3.1 正整数指数函数 【教学目标】 1、通过与初中所学的知识进行类比,理解根式的意义,掌握根式的性质。培养学生观 察分析、抽象类比的能力。 2、掌握根式的化简,渗透“转化”的数学思想。通过运算训练,养成学生严谨治学, 一丝不苟的学习习惯,让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理。 【教学重难点】 教学重点: (1)根式概念的理解。 (2)根式的化简 教学难点: (1)根式的化简 【教学过程】 一、导入新课 同学们,我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根…n 次方 根呢?答案是肯定的,这就是我们本堂课研究的课题:根式 二、新知探究 1、提出问题 (1)什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢? (2)如 x4 =a,x5 ? a, x6 ? a 根据上面的结论我们又能得到什么呢? (3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗? (4)可否用一个式子表达呢? 活动:教师指示,引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的, 对照类比比方根、立方根的定义解释上面的式子,对问题(2)的结论进行引申、推广、相 互交流讨论后回答,教师及时启发学生,具体问题一般化,归纳类比出 n 次方根的概念,评 价学生的思维。 讨论结果: 2 (1)若 x ? a ,则 x 叫做 a 的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数, 3 如:4 的平方根为 ?2 ,负数没有平方根,同理,若 x ? a ,则 x 叫做 a 的立方根,一 个数的立方根只有一个。 (2)类比平方根、立方根的定义,得到相应的结果。 (3)类比(2)得到一个数的 n 次方等于 a ,则这个数叫 a 的 n 次方根。 n (4)用一个式子表达是,若 x ? a ,则 x 叫做 a 的 n 次方根。 n 教师板书 n 次方根的意义:一般地,如果 x ? a ,则 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n ? 1, n ? N * 。 2、提出问题 (1)你能根据 n 次方根的意义求出下列数的 n 次方根吗?教师板书于黑板 ①4 的平方根;② ? 8 的立方根;③16 的 4 次方根;④32 的 5 次方根;⑤-32 的 5 次方 根;⑥0 的 7 次方根;⑦ a 6 的立方根。 (2)平方根,立方根,4 次方根,5 次方根,7 次方根,分别对应的方根的指数是什么 数,有什么特点?4, ? 8,16,-32,32,0, a 6 分别对应什么性质的数,有什么特点? (3)问题(2)中,既然方根有奇次的也有偶次的,数 a 有正有负,还有零,结论有一 个的,也有两个的,你能否总结一般规律呢? (4)任何一个数 a 的偶次方根是否存在呢? 活动:教师提示学生切实紧扣 n 次方根的概念,求一个数 a 的 n 次方根,就是求出的那 个数的 n 次方等于 a ,及时点拨学生,从数的分类考虑,可以把具体的数写出来,观察数的 特点,对问题(2)中的结论,类比推广引申,考虑要全面,对回答正确的学生及时表扬, 对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路。 讨论结果: (1)因为 ? 2 的平方等于 4, ? 2 的立方等于 8, ? 2 的 4 次方等于 16,2 的 5 次方等于 32,-2 的 5 次方等于-32,0 的 7 次方等于 0, a 2 的立方等于 a 6 ,所以 4 的平 方根, ? 8 的立方根,16 的 4 次方根,32 的 5 次方根,-32 的 5 次方根,0 的 7 次方根, a 6 的立方根分别是 ? 2, ? 2, ? 2,2,-2,0, a 6 。 (2)方根的指数是 2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数。总的来看,这些数包括正 数,负数和零。 (3)一个数 a 的奇次方根只有一个,一个正数 a 的偶次方根有两个,是互为相反数。0 的任何次方根都是 0。 (4)任何一个数 a 的偶次方根不一定存在,如负数的偶次方根就不存在,因为没有一 个数的偶次方是一个负数。 类比前面的平方根、 立方根, 结合刚才的讨论, 归纳出一般情形, 得到 n 次方根的性质: ①当 n 为偶数时, a 的 n 次方根有两个,是互为相反数,正的 n 次方根用 n a 表示,如 果是负数, 负的 n 次方根用- n a 表示, 正的 n 次方根与负的 n 次方根合并写在 ? n 。 a( a >0) ②n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,这时 a 的 n 次方根和符号 n a 表示。 ③负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是零. 活动:让学生举例说明上述几种情况,教师巡视,及时纠正学生在举例过程中的问题. 思考 a 表示 a 的 n 次方根,等式 a = n n n n n a 一定成立吗?如果不成立,那么 n an 等于什 么? 活动:教师让学生注意讨论 n 为奇偶数和 a 的符号,充分让学生多举例,分组讨论,教 师点拨,注意归纳整理. 结论:①n 为奇数, a = 3、应用示例 n n a ,②当 n 为偶数 n a n ? a ? ? a,a?0 ? a , a ?0 例 1、求下列各式的值 (1) 3 (?8) 3 ; (2) ( ?10) 3 2 4 ; (3) 4 (3 ? ? ) 4 解: (1) 3 ( ?8) ? ?8 ; (2) ( ?10) ? 10 ; (3) 4 (3 ? ? ) ? ? ? 3 2 点评:不注意 n 的奇偶对式子 an 的值影响,是导致问题出现的一个重要原因,要在 理解的基础之上,记准,记熟,会用. 变式训练: 例 2、求下列各式的值 n (1) 7 ( ?2) 7 ; 拓展提升 ( 23 ) ( a3 ? 3 3a ) ?( 1) (; 34 ) ( a3 ? 4 3) 问题: a ? a 与 ( n a )n ? a(n ? 1, n ? N ) 哪个是恒等式,为什么?请举例说明.

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