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2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案:1.4 计数应用题 Word版缺答案

2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案:1.4 计数应用题 Word版缺答案

_1.4 计数应用题 [对应学生用书P16] 排列问题 [例 1] 3 个女生和 5 个男生排成一排. (1)如果女生必须全排在一起,有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法? (3)如果两端都不能排女生,有多少种不同的排法? (4)如果两端不能都排女生,有多少种不同的排法? (5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻),有多少种不同的排法? [思路点拨] 本题涉及限制条件,要优先考虑有条件限制的元素或位置,相邻问题可采 用捆绑法,不相邻问题可采用插空法. [精解详析] (1)(捆绑法)因为 3 个女生必须排在一起,所以可先把她们看成一个整体, 这样同 5 个男生合在一起共有 6 个元素,排成一排有 A6 6种不同排法.对于其中的每一种排 6 3 法,3 个女生之间又有 A3 A3 =4 320 种不同的排法. 3种不同的排法,因此共有 A6· (2)(插空法)要保证女生全分开,可先把 5 个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个 空,这样共有 4 个空,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有 6 个位置,再把 3 个女生插 入这 6 个位置中, 只要保证每个位置至多插入一个女生, 就能保证任意两个女生都不相邻. 由 于 5 个男生排成一排有 A5 5种不同排法,对于其中任意一种排法,从上述 6 个位置中选出 3 5 个来让 3 个女生插入有 A3 A3 6种方法,因此共有 A5· 6=14 400 种不同的排法. (3)法一: (特殊位置优先法)因为两端不能排女生, 所以两端只能挑选 5 个男生中的 2 个, 6 2 有 A2 A6 5种不同排法,对于其中的任意一种排法,其余六位都有 A6种排法,所以共有 A5· 6= 14 400 种不同的排法. 法二:(间接法)3 个女生和 5 个男生排成一排共有 A8 8种不同的排法,从中扣除女生排在 1 首位的 A1 A7 A7 3· 7种排法和女生排在末位的 A3· 7种排法,但这样两端都是女生的排法在扣除女 生排在首位时被扣去一次,在扣除女生排在末位时又被扣去一次,所以还需加一次,由于两 8 1 7 端都是女生有 A2 A6 A7 +A2 A6 3· 6种不同的排法,所以共有 A8-2A3· 3· 6=14 400 种不同的排法. 3 法三: (特殊元素优先法)从中间 6 个位置中挑选出 3 个让 3 个女生排入, 有 A6 种不同的 3 排法,对于其中的任意一种排法,其余 5 个位置又都有 A5 A5 5种不同的排法,所以共有 A6· 5= 14 400 种不同的排法. (4)法一:因为只要求两端不能都排女生,所以如果首位排了男生,则末位就不再受条 1 1 件限制了,这样可有 A1 A7 5· 7种不同的排法;如果首位排女生,有 A3种排法,这时末位就只能 排男生,这样可有 A1 A1 A6 3· 5· 6种不同的排法. 1 6 因此共有 A1 A7 A1 A6 =36 000 种不同的排法. 5· 7+A3· 5· 6 法二: 3 个女生和 5 个男生排成一排有 A8 从中扣去两端都是女生的排法有 A2 A6 8种排法, 3· 2 种,就能得到两端不都是女生的排法种数.因此共有 A8 A6 8-A3· 6=36 000 种不同的排法. 8 A8 (5)(顺序固定问题)因为 8 人排队,其中两人顺序固定,共有 2=20 160 种不同的排法. A2 [一点通] (1)排列问题的限制条件一般表现为:某些元素不能在某个位置,某个位置只能放某些 元素等.要先处理特殊元素或先处理特殊位置,再去排其他元素.当用直接法比较麻烦时, 可以用间接法,先不考虑限制条件,把所有的排列数算出,再从中减去全部不符合条件的排 列数,这种方法也称为“去杂法”,但必须注意要不重复,不遗漏(去尽). (2)对于某些特殊问题,可采取相对固定的特殊方法,如相邻问题,可用“捆绑法”, 即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列,再进行内部排列;不相邻问题,则用 “插空 法”,即先排其他元素,再将不相邻元素排入形成的空位中. 1.(四川高考改编)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲, 则不同的排法共有________种. 解析:当最左端排甲时,不同的排法共有 A5 5种;当最左端排乙时,甲只能排在中间四 4 5 1 4 个位置之一,则不同的排法共有 C1 4A4种.故不同的排法共有 A5+C4A4=9×24=216 种. 答案:216 2.用 5,6,7,8,9 组成没有重复数字的五位数,其中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之间 的五位数的个数为________种. 1 3 解析:符合题意的五位数有 A2 2C3A3=2×3×3×2=36. 答案:36 3.某天某班的课程表要排入数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课程,如果第 一节不排体育,第六节不排数学,一共有多少种不同的排法? 解:法一:(位置分析法)依第一节课和第六节课的情况进行分类; ①第一节课排数学,第六节课排体育,共有 A4 4种排法; 4 ②第一节课排数学,第六节课不排体育,共有 A1 4A4种排法; 2 4 ③第一节课不排数学,第六节课排体育,共有 A1 4A4种排法; 4 ④第一节课不排数学,第六节课不排体育,共有 A2 4A4种排法. 1 4 2 4 由分类加法计数原理,所求的不同排法共有 A4 4+2A4A4+A4A4=504(种). 6 法二:(排除法)不考虑受限条件下的排法有 A6 种,其中包括数学课在第六节的排法有 5 A5 5种,体育课在第一节的排法有 A5种,但上面两种排法中同时含有数学课在第六节,体育 6 5 4 课在第一节的情形有 A4 4种.故所求的不同排法有 A6-2A5+A4=504(种). 分配问题 [例 2] 某龙舟队有 9 名队员,其中 3 人只会划左舷,4 人只会划右舷,2 人既会划左舷 又会划右舷,现要选派划左舷的 3

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