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内蒙古赤峰二中2016届高三数学上学期第三次(12月)月考试题 文

内蒙古赤峰二中2016届高三数学上学期第三次(12月)月考试题 文


赤峰二中 2013 级高三上学期第三次月考 数学(文)试题
一、在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (每题 5 分,共 60 分)

i (i 为虚数单位)的共轭复数为 1- 2 i 2- i 2+ i - 2+ i - 2- i A. B. C. D. 5 5 5 5 2.设集合 A ? {1,2,4} ,集合 B ? { x | x ? a ? b ,a ? A ,b ? A } ,则集合 B 中元素的个数是
1.复数 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

3. a , b 是两个向量, a ? 1 , b ? 2 ,且 a ? b ? a ,则 a , b 的夹角为( A. 30
?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?



B. 60

?

C. 120

?

D. 150

?

4.在一次某地区中学联合考试后,汇总了 3217 名文科考生的数学成绩,用 a1 , a2 , ???,

开始 m = 0, n = 1 输入an


a3217 表示,我们将不低于 120 的考分叫“优
分” ,将这些数据按右图的程序框图进行信息 处理,则输出的数据为这 3217 名考生的(

n>3217? n = n+1
否 否

A .平均分
“优分”人数 B. C. “优分”率 “优分”人数与非“优分”人数的比值 D.

输出

an ≥120?


m 3217

结束

n = n+1, m = m+1

5.等差数列 {an } 的公差不为零,首项 a1 ? 1 ,a 2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列的前 10 项 之 和是( ) B 100 C 145 D 190

A 90

6.将函数 y=sin(2x+ 则? = A.

? ? )的图象向右平移 ? (0< ? < )个单位后的图象关于 y 轴对称, 3 2
? 6 ? 3
5? 12


? 12

B.

C.

D.

7.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示,则该几何体的体积为(

-1-

2 1 正视图 2 2 2 1 侧视图

俯视图

A.

4 3 3

B. 3

C. 2 3

D.

2 3 3

8.在△ABC 中,a=4,b= 大小为 A.

5 3 ,cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)= ,则角 B 的 5 2

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

5? 6

6 , O1 为 正 方 形 A1B1C1D1 的 中 心 , 则 四 棱 锥 9 . 正 方 体 ABCD ? A 1 B 1 C 1 D 1的 棱 长 为

O1 ? ABCD 的外接球的表面积为(

) C. 81?

A . 9?
10.记 a ?

B . 324?

D.

243 ? 2

1 1 1 1 2 2 ? ln , b ? ?ln , c ? ? ln ,其中 e 为自然对数的底数,则 a , b, c 这三个 e e 2e 2e e e


数的大小关系是(

A.a ? b ? c

B.a ? b ? c

C .b ? c ? a

D. b ? a ? c

?x ? y ? 1 ? 11,若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,目标函数 z ? ax ? 2 y 仅在点 ?1,0 ? 处取得最小值,则 a 的 ?3 x ? y ? 3 ?
取值范围是( A、 ? ?6, 2? 12.已知双曲线 积的最大值为( A 1 ) B、 ? ?6, 2 ? C、 ? ?3,1? D、 ? ?3,1?

x2 y2 ? 2 ? 1? 0 ? b ? 2 ? 与 x 轴交于 A, B 两点,点 C ? 0, b ? ,则 ?ABC 面 2 4?b b
) B 2 C 4 D 8

二、填空题: (每题 5 分,共 20 分)
-2-

13.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 4 12



14、 从 ?1,2,3,4,5,6? 中任取两个不同的数 m, n ? m ? n ? , 则 15.数列 {an } 中, a1 ? ?

n 能够约分的概率为 m




4 1 , an ? 2 ? ,则 a7 ? 3 an ? 1

16.已知 f ( x) ? x ? x ln x ,若 k ? Z 且 k ( x ? 2) ? f ( x) 对任意 x ? 2 恒成立则 K 的最大值 三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分.解答写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本大题 12 分) 已知数列 {bn } 的前 n 项和 S n ? n 2 ? 2n (n ? N ? ) . (1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?

? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn bn ?1 ?

18. (本小题满分 12 分) 从某校随机抽取 100 名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得 到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:
-3-

(Ⅰ)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率; (Ⅱ)求频率分布直方图中的 a,b 的值; (Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的 100 名学生该 周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)

19. (本小题满分 12 分)

CD ? 2 , 已知四棱锥 A ? BCDE , 其中 AB ? BC ? AC ? BE ? 1 , CD ? 面ABC ,BE
∥ CD , F 为 AD 的中点. (Ⅰ)求证: EF ∥面 ABC ; (Ⅱ)求证:面 ADE ? 面ACD ; (III)求四棱锥 A ? BCDE 的体积. C 20.(本题满分 12 分)
2

D

F E A B
A

已知抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) ,O 为坐标原点, F 为抛物线的焦点,直线 y ? x 与抛物线

C 相交于不同的两点 O , N ,且 | ON |? 4 2 .
(1)求抛物线 C 的方程. (2) 若直线 l 过点 F 交抛物线于不同的两点 A , B ,交 x 轴于点 M ,且 MA ? a AF ,

???? ?

????

???? ? ???? MB ? bBF ,对任意的直线 l , a ? b 是否为定值?若是,求出 a ? b 的值;否则,说明理由.

-4-

21.(本小题 12 分) 已知函数: f ( x ) ? ln x ? ax ? 3( a ? 0) . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若对于任意的 a ? [1, 2] ,若函数 g ( x ) ? x ?
3

x2 [m ? 2 f ?( x )] 在区间 ?a,3? 上有最值, 2

求实数 m 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时 请用 2B 铅笔填涂题号。 22、 (本小题满分 10 分) 如图,过点 P 作圆 O 的割线 PBA 与切线 PE , E 为切点,连接

AE , BE , ?APE 的平分线与 AE , BE ,分别交于点 C , D 。
(1)求证:

DB PD ? ; DE PC

(2)若 ?PCE ? 2?AEB 求 ?PDB 的大小。

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? ? x ? 3 cos ? ? ? y ? sin ? 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C 1 的参数方程为 ? ,( ? 为参数),以原点 O 为极点,

x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为
(1)求曲线 C 1 的普通方程与曲线 C 2 的直角坐标方程; (2)设 P 为曲线

? ? sin(? ? ) ? 4 2
4



C1

上的动点,求点 P 到 C 2 上点的距离的最小值.

24,(本小题满分 10 分) 设函数 f ? x ? ? 2 x ? m ? 4 x. (1)当 m ? 2 时,解不等式: f ? x ? ? 1 ;

-5-

(2)若不等式 f ? x ? ? 2 的解集为 ? x | x ? ?2? ,求 m 的值.

-6-

-7-

试题答案 一 BCCCB 2 DAACD 14, BB

二,13,

4 15

15,

2

16, 4

17, (1) bn ? 2n ? 1 18(本小题满分 12 分)

(2) Tn ?

n 6n ? 9

解: (I)根据频数分布表,100 名学生中课外阅读时间不少于 12 小时的学生共有 6=2+2=10 名,所以样本中的学生课外阅读时间少于 12 小时的频率是 1 ?

10 ? 0.9 . 100

从该校随机选取一名学生,估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率为 0.9 . 4 分 (II)课外阅读时间落在组 [4, 6) 的有 17 人,频率为 0.17 ,所以 a ?

频率 0.17 ? ? 0.085 , 组距 2
8

课外阅读时间落在组 [8,10) 的有 25 人,频率为 0.25 ,所以 b ? 分

频率 0.25 ? ? 0.125 . 组距 2

(III)估计样本中的 100 名学生课外阅读时间的平均数在第 4 组.

12 分

19.解: (Ⅰ)取 AC 中点 G,连结 FG、BG, ∵F,G 分别是 AD,AC 的中点 ∴FG∥CD,且 FG= ∵BE∥CD ∴EF∥BG.

D

1 DC=1 . 2
C

F E G B
A

∴FG 与 BE 平行且相等

A

EF ? 面ABC , BG ? 面ABC
4分 ∴BG⊥AC

∴ EF ∥面 ABC

(Ⅱ)∵△ABC 为等边三角形

又∵DC⊥面 ABC,BG ? 面 ABC ∴DC⊥BG ∴BG 垂直于面 ADC 的两条相交直线 AC,DC, ∴BG⊥面 ADC . ∵EF∥BG ∴EF⊥面 ADC 8分

∵EF ? 面 ADE,∴面 ADE⊥面 ADC .

(Ⅲ)连结 EC,该四棱锥分为两个三棱锥 E-ABC 和 E-ADC .
-8-

1 3 1 3 3 3 3 . V A? BCDE ? VE ? ABC ? VE ? ACD ? ? ?1 ? ?1? ? ? ? 3 4 3 2 12 6 4
20.(本题满分 12 分) 【解析】(1)联立方程 ? 故 O(0,0),N(2p,2p),
2 2 所以|ON|= 4p ? 4p ? 2 2p,

12 分

? y ? x, ? x ? 2py,
2

得 x -2px=0, 2分 4分

2

由 2 2 p=4 2 ,得 p=2, 所以抛物线 C 的方程为 x =4y.
2

6分

(2)显然直线 l 的斜率一定存在且不等于零,设其方程为 y=kx+1,则直线 l 与 x 轴交点为

1 M( ? ,0), k

7分

设点 A(x1,y1),点 B(x2,y2), 由?

? y ? kx ? 1, ?x ? 4y,
2
2

得 x -4kx-4=0,
2

2

所以Δ =(4k) -(-16)=16(k +1)>0, 所以 x1+x2=4k,x1·x2=-4. 由 =a ,得 (x1 ? 8分

1 , y1 ) =a(-x1,1-y1), k
10 分

所以 a ?

y1 kx ? 1 kx ? 1 ? ? 1 , 同理可得 b ? ? 2 . 1 ? y1 kx1 kx 2

所以 a+b= ?(

kx1 ? 1 kx 2 ? 1 x ? x1 ? ) ? ?(2 ? 2 ) ? ?1, kx1 kx 2 kx1x 2

12 分

21,解: (Ⅰ)由已知得 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , 且 f ?( x ) ?

1 ? a ,?2 分 x

当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 (0, ) ,减区间为 ( , ??) ; 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 (0, ??) ,无减区间; ??6 分 2) g ( x ) ? x ?
3

1 a

1 a

x2 m [m ? 2 f ?( x )] ? x 3 ? ( ? a ) x 2 ? x, ? g ?( x ) ? 3x 2 ? ( m ? 2a ) x ? 1, 2 2

? g ( x ) 在区间 ( a,3) 上有最值,? g ( x ) 在区间 ( a,3) 上总不是单调函数,
-9-

又 g ?(0) ? ?1? ?

? g ?( a ) ? 0 ??9 由题意知:对任意 ? g ?(3) ? 0
恒 成 立 ,

a ? [1, 2], g ?( a ) ? 3a 2 ? ( m ? 2a ) ? a ? 1 ? 5a 2 ? ma ? 1 ? 0
1 ? 5a 2 1 ?m ? ? ? 5a, a a
因 为 a ? [1, 2]

?m ? ?

19 2

对 任 意 a ? ?1,2? , ∵ a ? ?1,2? ∴

g / ?3? ? 26 ? 3m ? 6a ? 0 恒成立 ∴ m ?
m?? 32 3 ??

? 6a ? 26 26 ?? ? 2a 3 3

32 19 ? m ? ? ?????12 分 3 2

22,

72 度

23 试题解析:(1)由曲线 C 1 :

? x ? 3 cos? ? ? y ? sin ?

? x ? cos? ? ? 3 ? y ? sin ? 得?

x2 ? y2 ? 1 C 即:曲线 1 的普通方程为: 3

由曲线 C 2 :

? ? sin(? ? ) ? 4 2
4

2 ? (sin ? ? cos? ) ? 4 2 得: 2

即:曲线 C 2 的直角坐标方程为: x ? y ? 8 ? 0 (2)由(1)知椭圆 C 1 与直线 C 2 无公共点, 椭圆上的点 P( 3 cos? , sin ? ) 到直线 x ? y ? 8 ? 0 的距离为

d?

3 cos? ? sin ? ? 8 2

2 sin(? ? ? 2

?
3

) ?8

sin(? ? ) ? 1 3 所以当 时, d 的最小值为 3 2
考点:参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的转化,点到直线的距离.

?

- 10 -

24. (1) {x | x ? ? } ; (2) {x | x ? ?2} 【解析】 试题分析: ( 1 ) 当 m ? 2 时 , 函 数 f ? x ? ? 2x ? 2 ? 4x , 由 不 等 式 f ? x ? ? 1 可 得 ①

1 2

?x ? 1 ?x ? 1 ,或 ② ? ,分别求出①②的解集,再取并集,即得所求. (2) ? ?2 x ? 2 ? 4 x ? 1 ?2 ? 2 x ? 4 x ? 1
m ? 6 x ? m , ? x ? ? ? 2 由 f ? x? ? ? ,可得连续函数 f ? x ? 在 R 上是增函数,故有 f ? ?2? ? 2 ,分当 m ? 2 x ? m, ?x ? ? ? 2

m m ? ?2 和当 ? ?2 两种情况,分别求出 m 的值,即为所求. 2 2
试题解析: ( 1 ) 当 m ? 2 时 , 函 数 f ? x ? ? 2x ? 2 ? 4x , 由 不 等 式 f ? x ? ? 1 可 得 ①

?x ? 1 ?x ? 1 1 ,或 ② ? .解①可得 x ? ? ,解②可得 x ? ? ,故不等式 ? 2 ?2 x ? 2 ? 4 x ? 1 ?2 ? 2 x ? 4 x ? 1
的解集为 {x | x ? ? } .

1 2

m ? 6 x ? m, ?x? ? ? 2 (2)∵ f ? x ? ? ? ,连续函数 f ? x ? 在 R 上是增函数,由于 f ? x ? ? 2 的解集 m ? 2 x ? m, ?x ? ? ? 2
为 {x | x ? ?2} ,故 f ? ?2? ? 2 ,

m ? ?2 时,有 2 ? ? ?2? ? m ? 2 ,解得 m ? 6 . 2 m 当 ? ?2 时,则有 6 ? ? ?2? ? m ? 2 ,解得 m ? ?14 . 2
当 综上可得,当 m ? 6 或 m ? ?14 时,f(x)≤2 的解集为 {x | x ? ?2} .

- 11 -


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