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吉林省东北师范大学附属中学净月校区2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试题

吉林省东北师范大学附属中学净月校区2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试题


2015---2016 学年(高二)年级上学 期

期中考试(数学文)学科试卷
命题人:赵乾 说明:1、此试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。 2、 满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个 正确选项) .... 1.直角坐标系中,点 (1 , ? 3 ) 的极坐标可以是

5? 11? ) ) D. (2 , 6 6 2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线的方程是()
A. ( 2 ,

4? 5? ) B. ( 2 , ) 3 3
2

C. ( 2 ,

A. y ? ?8 x B. y ? ?4 x C. y ? 8x D. y ? 4 x
2 2 2

3.已知椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 a ? 0 ? ? 1 有相同的焦点, 则 a 的值为 与双曲线 ? ? a2 4 9 3

A. 2 B. 10 C. 4 D. 10 4.下列有关命题的说法正确的是
2 2 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” 2 B.“ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件

C.若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题 D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题 5.极坐标方程 ? cos
2

? ? 4sin ? 所表示的曲线是()
? x' ? ? x(? ? 0) 错误!未找到引用源。 ,变换后得到圆 ? y' ? ? y( ? ? 0)

A.一条直线 B.一条抛物线 C.一个圆 D.一条双曲线 6. 将 椭 圆

x2 y2 ? ?1按? 9 4
). B.λ=3,μ=2

:?

x'2 ? y'2 ? 9 ,则(
A.λ=3, μ=4 引用源。

C.λ=1, μ=错误!未找到引用源。 D.λ=1,μ=错误!未找到

7.过抛物线的焦点 F 的直线交该抛物线于点 A.若|AF|=3,则点 A 的坐标为() A. (2, 2 2 ) B. (2, ? 2 2 )C. (2, ? 2 2 ) D. (1,?2)

8.下面四个条件中,使 a> b 成立的充分而不必要的条件是() A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1 C. a 2 ? b 2 D. a 3 ? b3 9.直线 y ? kx ? k ? 1 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的位置关系为( 9 4



A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 10.已知 p : ?x ? R , x2 ? x ? 1 ? 0 , q : ?x ? ? 0, ?? ? , sin x ? 1 ,则下列命题为真命题 的是() A. p ? q 11.椭圆 围是() A. ?1, 4? B. ?1,3? C. ? ?2,1? D. ??1,1? 12.已知 F1 , F2 是双曲线 B. ? p ? q C. p ? ? q D. ? p ? ? q

???? ???? ? x2 ? y 2 ? 1两个焦点分别是 F1 , F2 ,点 P 是椭圆上任意一点,则 PF1 ? PF2 的取值范 4

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,若双曲线右支上存在一点 a 2 b2

(

a 2 ab bx , ? ) 与点 F1 关于直线 y ? ? 对称,则该双曲线的离心率为() a c c
5 C.2 2
D. 2

A . 5 B.

第 II 卷(非选择题)
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)
2 13.命题“ ?x ? R , x ? 1 ? 0 ”的否定是.

14.“ m ? ?1 ”是“方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线”的一个条件. 2 ? m 1? m

2 15.已知命题 p : ?x ? R , x ? 2 x ? a ? 0 ,若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围是.

16. 已知 P 为抛物线 x 2 ? 4 y 上的动点,点 P 在 x 轴上的射影为 M,点 A 的坐标是 (2, 0) ,则
| PA | ? | PM | 的最小值为__________.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 )

17. (本小题满分 10 分) 在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已 知点 M 的极坐标为 (4 2,

?

? ? x ? 1 ? 2 cos ? , ( ? 为参数) . ) ,曲线 C 的参数方程为 ? 4 ? ? y ? 2 sin ? ,

(I)求直线 OM 的直角坐标方程; (II)求点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值.

18. (本小题满分 12 分) 设 p : 4x ? 1 ? 1 ; q : x2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 .若 ? p 是 ? q 的必要而不充分条件 , 求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分)

(2, 0) 已知中心在原点的椭圆 C 的左焦点 F ,右顶点 A . (- 3, 0)
(I)求椭圆 C 的标准方程; (II)斜率为 线方程.

1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,求弦长 AB 的最大值及此时 l 的直 2

20. (本小题满分 12 分) 已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? 2 cos 2? ? 8 , 曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 相交于 A 、 B 两点. ( ? ? R ) (Ⅰ)求 A 、 B 两点的极坐标;
? 3 x ?1? t ? ? 2 ( t 为参数)分别相交于 M , N 两点,求线段 MN 的长 (Ⅱ)曲线 C1 与直线 ? ?y ? 1 t ? 2 ?

? , 曲线 C1 、C 2 6

度.

21. (本小题满分 12 分)

已知曲线 C 上任意一点 M 满足 | MF1 | ? | MF2 |? 4 , 其中 F 1 : ( 0,- 3), F 2 : ( 0,3 ), (I)求曲线 C 的方程; (II)已知直线 l : y ? kx ? 3 与曲线 C 交于 A,B 两点,是否存在实数 k 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理 由.

22. (本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆

x2 y2 2 的离心率为 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、 ? ? 1( a > b > 0) a2 b2 2

右焦点 F1 , F2 为顶点的三角形的周长为 4( 2 ? 1) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦 点, 设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点, 直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A 、B 和 C 、D . (Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k2 ,证明 k1· k2 ? 1 ; (Ⅲ)探究

1 1 ? 是否是个定值,若是,求出这个定值;若不是,请说明理由. AB CD

2015---2016 学年(高二)年级上学 期

期中考试(数学文)学科答案
第 I 卷(选择题)
一、选择题 1. 【答案】B 【解析】略 2. 【答案】C 【解析】 试题分析:准线方程为 x ? ?2 ? 考点:抛物线方程与性质 3. 【答案】C 【解析】 试题分析:根据题意可知 a 2 ? 4 ? 9 ? 3 ? 12 ,结合 a ? 0 的条件,可知 a ? 4 ,故选 C. 考点:椭圆和双曲线的性质. 4. 【答案】D 【解析】 试题分析:对于 A 命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为:“若 x2≠1,则 x≠1”,故不正确. 对于 B 由“x=-1” ? “x2-5x-6=0”但“x2-5x-6=0”不能推出“x=-1”,故“x=-1” 是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件,故不正确. 对于 C 若 p ? q 为假命题,则 p, q 至少有一个为假命题. 对于 D 命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为“若 sin x=sin y,则 x=y”显然是真命 题,故正确. 故选:D. 5. 【答案】B 【解析】 试题分析:由已知得 ? cos
2 2

p ? 2 ? 2 p ? 8 ,抛物线为 y2 ? 8x 2

? ? 4? sin ? ,故 x2 ? 4 y ,故表示一条抛物线.

考点:圆的极坐标方程. 6.【答案】D

? x' x ? 2 2 ? ? x' ? ? x(? ? 0) x2 y2 x' y' ? ? ? ? 1 【解析】 因为 ? , 所以 ? , 将其代入 , 得 ? ? 1; 2 2 ' 9 4 9 ? 4 ? y ? y' ? ? y( ? ? 0) ?y ? ? ? ?

2 2 2 2 ?? ? 1 ??2 ? 1 x' y' x' y' ? ? 因为 2 ? ,即 ? ? ? 1 相同,所以 ? 2 ? 1与 3. 2 9 9 9? 4? ? ?? ?4 ? ? 9 ? 2 ?

考点:曲线方程的变换. 7. 【答案】C 【解析】 试题分析:由题根据抛物线定义不难得到所求点 A 的横坐标,进而得到点 A 的坐标即可; 由题根据抛物线定义可得 A 点横坐标为 2,所以纵坐标为 ? 2 2 ,故选 C. 考点:抛物线的性质 8. 【答案】A 【解析】 试 题 分 析 : a ? b ? 1 ? a ? b, 而 a ? b ? a ? b ? 1 ; a ? b ? 1 ? a ? b , 而 - a ? b ? a ? b ?1;

a 2 ? b 2 ? a ? b ,且 a ? b ? a 2 ? b 2 ; a 3 ? b3 ? a ? b, 因此选 A.
考点:充要关系 9. 【答案】A 【解析】 试题分析:直线 y ? kx ? k ? 1 ? k ? x ? 1? ? 1 过定点 ?1,1? ,该点在椭圆内部,因此直线与椭 圆相交 考点:直线与椭圆的位置关系 10. 【答案】C 【解析】
2 2 试 题 分 析 : 因 为 x ? x ?1 ? (x ? ) ?

1 2

3 ? 0 恒成立,所以命题 p 为真命题,因为 4

?1 ? sin x ? 1 恒成立,所以 q 为假命题,根据复合命题的真值表,可知 p ? ? q 为真命题,
故选 C. 考点:复合命题真值表. 11. 【答案】C 【解析】 试 题 分 析 : 椭圆

x2 ? y 2 ? 1 两 个 焦 点 分 别 是 F1 (? 3,0), F2 ( 3,0) , 设 P( x , y ), 则 4

PF1 ? ( ? 3 ? x , ?y ),
PF2 ? ( 3 ? x ,?y ), PF1 ? PF2 ? (? 3 ? x )( 3 ? x ) ? y 2 ? x 2 ? y 2 ? 3 ,因
为y
2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

? 1?

x2
4



代入可得 PF1 ?

??? ? ??? ?

PF2 ?

???? ???? ? 3 2 x ? 2, 而 ?2 ? x ? 2 ,PF 的取值范围是[?2,1] , 选 C; 1 ? PF2 4

考点:椭圆的几何性质 12. 【答案】A 【解析】 试题分析: 由题意过 F1 (c, 0) 且垂直于 y ? ?

bx bx a 的直线方程为 y ? ( x ? c ) , 它与 y ? ? a a b

a 2 ab 2a 2 2ab ) ,所以点 P 的坐标为 ( ? c, ? ) ,因为点 P 在双曲线上, 的交点坐标为 ( , ? c c c c

2a 2 2ab 2 ( ? c) 2 ( ? ) c2 c 2 2 2 2 2 c c c ? 5 a , ? ? 5,? e ? ? 5 , , 可得 所以选 ? ? 1, ? a ? b ? c 2 2 2 a a a b
A. 考点:双曲线的性质的应用.

第 II 卷(非选择题)
二、填空题 13. 【答案】 ?x ? R , x2 ? 1 ? 0 【解析】

x2 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , 试题分析: 由全称命题的否定是特称命题, 可得“ ?x ? R , x2 ? 1 ? 0 ”.
考点:全称命题的否定. 14. 【答案】充分不必要条件 15. 【答案】 ?1 , ? ?? 【解析】
2 试 题 分 析 : ∵ 命 题 p : ?x ? R , x ? 2 x ? a ? 0 , 当 命 题 p 是 假 命 题 时 , 命 题

?p:?x ? R,x2 ? 2x ? a ? 0 是真命题;即 V? 4 ? 4a ? 0 ,∴ a ? 1 ;∴实数 a 的取值范
围是 ?1 , ? ?? . 考点:特称命题. 16.【答案】 5 ? 1 【解析】 试题分析:由抛物线的定义得 | PA | ? | PM |?| PF | ?1? | PA |?| AF | ?1 ? 5 ?1 .

考点:抛物线. 三、解答题 17. 【答案】 (1) y ? x ; (2) 5 ? 2 . 【解析】 试题分析: (1)将点 M 极坐标 (4 2,

?
4

) ,化为直角坐标,然后在直线坐标系中求直线 OM

的方程; (2)由曲线 C 的参数方程化为普通方程为 (x ? 1) 2 ? y 2 ?

2 ,再数形结合考虑点

M 到曲线 C 上的点的距离的最小值.
试题解析:(1)∵点 M 的极坐标为 (4 2, 角坐标为 (4,4),∴直线 OM 的直角坐标方程 y ? x ;
? ? x ? 1 ? 2 cos ? , (2) 由曲线 C 的参数方程 ? ( ? 为参数), 化成普通方程为: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 , ? ? y ? 2 sin ?

?
4

) ,∴ x ? ? cos? ? 4, y ? ? sin ? ? 4 ,点 M 的直

表示以 A( 为圆心,半径为 2 的圆,由于点 M 在曲线 C 外,故点 M 到曲线 C 上的点 1,0) 的距离最小值为 | MA | ? r ? 5 ? 2 .

y

M

x A

考点:1、极坐标和直角坐标的转化;2、参数方程和普通方程的互化. 18. 【答案】 ?? 【解析】 试 题 分 析 : 由

? 1 ? ,0 . ? 2 ? ?

4x ? 1 ? 1 得 , ? 1 ? 4 x ? 1 ? 1

,

故 0? x?

1 , 由 2

a) ? x 1 ,若 ? ? p 是 ? q 的必要而不充分条件, 即 q 是 x2 ? ( 2a ? 1 x ) ? a (a ? ? 1? 0 ?a

p 的必要而不充分条件, 即 ?0, ? ? ?a, a ? 1? ,列出不等式,即可求出结果. 2
试题解析:解:由 4x ? 1 ? 1 得, ? 1 ? 4 x ? 1 ? 1 , 故0 ? x ?

? 1? ? ?

1 2

3分

由 x2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 ? ? x ? a ? ? ? x ? ? a ? 1? ? ? ? 0 ? a ? x ? a ?1

6分

? 若 ? p 是 ? q 的必要而不充分条件,
? 1? ? q是p 的必要而不充分条件, 即 ?0, ? ? ?a, a ? 1? ? 2?
9分

?a ? 0 1 ? ?? 1 ?? ?a?0 2 a ?1 ? ? 2 ?
故所求 a 的取值范围是 ??

11 分

? 1 ? ,0 ? 2 ? ?

12 分.

考点:充分必要条件的判断. 19. 【答案】 (1) 【解析】 试题解析: (1)以题意可知: c ? 3, a ? 2 ,∴ b ? a ? c ? 1
2 2

x2 1 ? y 2 ? 1; (2)直线方程为 y ? x 时,弦长 AB 的最大值为 10 . 2 4

∵焦点在 x 轴上∴椭圆 C 的方程为;

x2 ? y2 ? 1 4

(2)设直线 l 的方程为 y ?

1 ? 1 y ? x?b 2 2 x ? b ,由 ? 可得 x ? 2bx ? 2b ? 2 ? 0 ? 2 ? 2 x2 ? ? y2 ? 1 ? ?4

2 2 2 2 ∵ l 与椭圆 C 交于 A、B 两点∴△= (2b) ? 4(2b ? 2) ? 8 ? 4b ? 0 即 b ? 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ?
2

? x1 ? x2 ? ?2b 2 ? x1 ?x2 ? 2b ? 2
2 2 2

∴弦长 AB = 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? k ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x2 ? 10 ? b
2 ∵ 0 ? b ? 2 ∴ AB ? 10 ? b ? 10 ,

2

∴当 b ? 0 即 l 的直线方程为 y ?

1 x 时,弦长 AB 的最大值为 10 . 2

考点:1.椭圆方程的几何性质;2.直线与椭圆的综合问题.
7? ? ? 20. 【答案】 (Ⅰ) : A(4, ), B(?4, ) 或 B(4, ) ; (Ⅱ) 2 17 . 6 6 6 【解析】
?? 2 cos 2? ? 8 ? ? 试题解析: (Ⅰ)由 ? 得: ? 2 cos ? 8 ?? 2 ? 16 ,即 ? ? ?4 ? 3 ?? ? 6 ?

3分

7? ? ? 所以 A 、 B 两点的极坐标为: A(4, ), B(?4, ) 或 B(4, ) 6 6 6

5分 6分

(Ⅱ)由曲线 C1 的极坐标方程得其普通方程为 x 2 ? y 2 ? 8
? 3 x ?1? t ? ? 2 代入 x 2 ? y 2 ? 8 ,整理得 t 2 ? 2 3t ? 14 ? 0 将直线 ? ?y ? 1 t ? 2 ?

8分

所以 | MN |?

(2 3 ) 2 ? 4 ? (?14) 1

? 2 17

考点:1、点的极坐标和直角坐标的互化;2、参数方程化成普通方程.

21. 【答案】 (1) 过坐标原点 O. 【解析】

y2 11 ? x 2 ? 1; (2)存在实数 k ? ? 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经 4 2

试题解析: (1)由题意知 a ? 2, c ? 3 ,焦点在 y 轴上

y2 ? x 2 ? 1. 故所求椭圆 C 的方程为 4
(2)存在实数 k 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O. 理由如下: 设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 将直线 l 的方程 y ? kx ? 3 代入

y2 ? x 2 ? 1, 4

并整理,得 (k 2 ? 4) x2 ? 2 3kx ?1 ? 0 . (*) 则 x1 ? x2 ? ?

1 2 3k , x1 x2 ? ? 2 . 2 k ?4 k ?4

因为以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O, 所以 OA ? OB ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 又 y1 y2 ? k x1x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 3 ,
2

??? ? ??? ?

于是 ?

1? k 2 6k 2 11 ? ? 3 ? 0 ,解得 k ? ? , 2 2 k ?4 k ?4 2

经检验知:此时(*)式的 Δ>0,符合题意. 所以当 k ? ?

11 时,以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O. 2

考点:椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系. 22. 【答案】 (Ⅰ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,由题意知:

x2 y 2 x2 y 2 1 1 3 2 ? ? 1, ? ? 1 ;(Ⅱ) k1k2 ? 1;(Ⅲ) . ? ? 8 4 4 4 AB CD 8

c 2 , 2a ? 2c ? 4( 2 ? 1) ,以及 ? a 2

a 2 = b 2 ? c 2 ,即可求出椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,由题意设等轴双曲线的标准方程为 8 4

x2 y 2 ? ? 1 ? m ? 0? ,因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点,所以 m=2,即可求出双曲线 m2 m2
的标准方程; (Ⅱ)设 P( x0 , y0 ) ,F 1 ? ?2, 0? , F 2 ? 2, 0? ,则 k1 =
2 2

y0 y0 , k2 ? ,因 x0 ? 2 x0 ? 2

2 2 为点 P 在双曲线 x ? y ? 4 上, 所以 x0 化简即可得到 k1k 2 的值; (Ⅲ) 设A ( x1 , ? y0 ?4,

, B ( x2 , y2 ) , 由 于 PF1 的 方 程 为 y ? k y1 ) ? 2? , 将 其 代 入 椭 圆 方 程 得 1? x

? 2k

2 1

? 1 x 2 ? 8k12 x ? 8k12 ? 8 ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? ?

?

8k12 8k12 ? 8 ,根据弦长 , x ? x ? 1 2 2k12 ? 1 2k12 ? 1

公式

AB ? 1 ? k12

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 , 带 入 值 即 可 求 出 AB 和 CD , 进 而 可 求

1 1 3 2 为定值. ? ? AB CD 8
试题解析:解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,由题意知:

c 2 ,2a+2c=4( 2 +1)所以 ? a 2

a=2 2 ,c=2, 又 a 2 = b 2 ? c 2 ,因此 b=2。故椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 8 4

由题意设等轴双曲线的标准方程为 焦点。 所以 m=2, 因此双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ? m ? 0? ,因为等轴双曲线的顶点是椭圆的 m2 m2

x2 y 2 ? ?1 4 4

(Ⅱ)设 P( x0 , y0 ) ,F 1 ? ?2, 0? , F 2 ? 2, 0? 则 k1 =

y0 y0 , k2 ? 。 x0 ? 2 x0 ? 2
2 2

2 2 因为点 P 在双曲线 x ? y ? 4 上,所以 x0 ? y0 ?4。

因此 k1k2 ?

y0 y y2 ? 0 ? 2 0 ? 1 ,即 k1k2 ? 1 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4

(Ⅲ)设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,由于 PF1 的方程为 y ? k1 ? x ? 2? ,将其代入椭圆方程 得

? 2k

2 1

? 1 x 2 ? 8k12 x ? 8k12 ? 8 ? 0

?

所以 x1 ? x2 ? ?

8k12 8k12 ? 8 ,所以 , x ? x ? 1 2 2k12 ? 1 2k12 ? 1

AB ? 1 ? k12
? 1? k
2 1

? x1 ? x2 ?
2

2

? 4 x1 x2

? 8k12 ? 8k12 ? 8 ? 4 ? ? 2 ? 2k12 ? 1 ? 2k1 ? 1 ?

k12 ? 1 ?4 2 2 2k1 ? 1
同理可得 CD ? 4 2

k2 2 ? 1 . 2k 2 2 ? 1



1 1 1 2k12 ? 1 2k22 ? 1 ? ? ( ? ), AB CD 4 2 k12 ? 1 k22 ? 1

又 k1k2 ? 1,

2 ?1 1 1 1 2k ? 1 k12 2 2k12 ? 1 k12 ? 2 3 2 ? ? ( ? )? 所以 . ( ? )? 1 AB CD 4 2 k ? 1 8 k12 ? 1 k12 ? 1 8 k12
2 1 2 1



1 1 3 2 恒成立. ? ? AB CD 8

考点:1.椭圆与双曲线的标准方程;2.直线与

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