9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学100个热点问题(三): 排列组合中的常见模型

高中数学100个热点问题(三): 排列组合中的常见模型


第十章

第 80 炼 排列组合的常见模型

排列组合, 二项式定理

第 80 炼 排列组合的常见模型
一、基础知识: (一)处理排列组合问题的常用思路: 1、特殊优先:对于题目中有特殊要求的元素,在考虑步骤时优先安排,然后再去处理无要 求的元素。 例如:用 0,1,2,3,4 组成无重复数字的五位数,共有多少种排法? 解:五位数意味着首位不能是 0,所以先处理首位,共有 4 种选择,而其余数位没有要求,
4 只需将剩下的元素全排列即可,所以排法总数为 N ? 4 ? A4 ? 96 种

2、寻找对立事件:如果一件事从正面入手,考虑的情况较多,则可以考虑该事的对立面, 再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。 例如:在 10 件产品中,有 7 件合格品,3 件次品。从这 10 件产品中任意抽出 3 件,至少有 一件次品的情况有多少种 解:如果从正面考虑,则“至少 1 件次品”包含 1 件,2 件,3 件次品的情况,需要进行分 类讨论,但如果从对立面想,则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可,列式较为简
3 3 单。 N ? C10 ? C7 ? 85 (种) m 3、先取再排(先分组再排列) :排列数 An 是指从 n 个元素中取出 m 个元素,再将这 m 个元

素进行排列。 但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素, 所以此时就要将过程拆 分成两个阶段,可先将所需元素取出,然后再进行排列。 例如:从 4 名男生和 3 名女生中选 3 人,分别从事 3 项不同的工作,若这 3 人中只有一名女 生,则选派方案有多少种。 解:本题由于需要先确定人数的选取,再能进行分配(排列) ,所以将方案分为两步,第一
2 1 3 步:确定选哪些学生,共有 C4 。所以共有 C3 种可能,然后将选出的三个人进行排列: A3 2 1 3 C4 C3 A3 ? 108 种方案

(二)排列组合的常见模型 1、捆绑法(整体法) :当题目中有“相邻元素”时,则可将相邻元素视为一个整体,与其他 元素进行排列,然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。 例如:5 个人排队,其中甲乙相邻,共有多少种不同的排法

本书由作者独家授权“学易书城” ,其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载

第十章

第 80 炼 排列组合的常见模型

排列组合, 二项式定理

4 解:考虑第一步将甲乙视为一个整体,与其余 3 个元素排列,则共有 A4 种位置,第二步考 4 2 2 虑甲乙自身顺序,有 A2 种位置,所以排法的总数为 N ? A4 ? A2 ? 48 种

2、插空法:当题目中有“不相邻元素”时,则可考虑用剩余元素“搭台” ,不相邻元素进行 “插空” ,然后再进行各自的排序 注: (1)要注意在插空的过程中是否可以插在两边 (2)要从题目中判断是否需要各自排序 例如:有 6 名同学排队,其中甲乙不相邻,则共有多少种不同的排法
2 解: 考虑剩下四名同学 “搭台” , 甲乙不相邻, 则需要从 5 个空中选择 2 个插入进去, 即有 C5 2 4 2 种选择,然后四名同学排序,甲乙排序。所以 N ? C5 ? A4 ? A2 ? 480 种

3、错位排列:排列好的 n 个元素,经过一次再排序后,每个元素都不在原先的位置上,则 称为这 n 个元素的一个错位排列。例如对于 a, b, c, d ,则 d , c, a, b 是其中一个错位排列。3 个元素的错位排列有 2 种,4 个元素的错位排列有 9 种,5 个元素的错位排列有 44 种。以上 三种情况可作为结论记住 例如: 安排 6 个班的班主任监考这六个班, 则其中恰好有两个班主任监考自己班的安排总数 有多少种?
2 解:第一步先确定那两个班班主任监考自己班,共有 C6 种选法,然后剩下 4 个班主任均不 2 监考自己班,则为 4 个元素的错位排列,共 9 种。所以安排总数为 N ? C6 ? 9 ? 135

4、依次插空:如果在 n 个元素的排列中有 m 个元素保持相对位置不变,则可以考虑先将这

m 个元素排好位置,再将 n ? m 个元素一个个插入到队伍当中(注意每插入一个元素,下
一个元素可选择的空 ? 1 ) 例如:已知 A, B, C , D, E , F 6 个人排队,其中 A, B, C 相对位置不变,则不同的排法有多少 种 解: 考虑先将 A, B, C 排好, 则 D 有 4 个空可以选择,D 进入队伍后,E 有 5 个空可以选择, 以此类推, F 有 6 种选择,所以方法的总数为 N ? 4 ? 5 ? 6 ? 120 种 5、不同元素分组:将 n 个不同元素放入 m 个不同的盒中 6、相同元素分组:将 n 个相同元素放入 m 个不同的盒内,且每盒不空,则不同的方法共有
m ?1 ,因为元素相同,所以只需考虑每个盒子里 Cn ?1 种。解决此类问题常用的方法是“挡板法”

本书由作者独家授权“学易书城” ,其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载

第十章

第 80 炼 排列组合的常见模型

排列组合, 二项式定理

所含元素个数,则可将这 n 个元素排成一列,共有 ? n ? 1? 个空,使用 ? m ? 1? 个“挡板”进 入空档处,则可将这 n 个元素划分为 m 个区域,刚好对应那 m 个盒子。例如:将 6 个相同 的小球放入到 4 个不同的盒子里,那么 6 个小球 5 个空档,选择 3 个位置放“挡板” ,共有
3 C5 ? 20 种可能

7、涂色问题:涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色” ,在处理涂色问题时,可按照选择颜 色的总数进行分类讨论, 每减少一种颜色的使用, 便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的 颜色(还要注意两两不相邻的情况) ,先列举出所有不相邻区域搭配的可能,再进行涂色即 可。例如:最多使用四种颜色涂图中四个区域,不同的涂色方案有多少种? 解:可根据使用颜色的种数进行分类讨论
4 (1)使用 4 种颜色,则每个区域涂一种颜色即可: N1 ? A4

(2)使用 3 种颜色,则有一对不相邻的区域涂同一种颜色,首 先要选择不相邻的区域:用列举法可得: ?I , IV ? 不相邻
3 所以涂色方案有: N2 ? A4

(3)使用 2 种颜色,则无法找到符合条件的情况,所以讨论终止
4 3 总计 S ? A4 ? A4 ? 48 种

二、典型例题: 例 1:某电视台邀请了 6 位同学的父母共 12 人,请 12 位家长中的 4 位介绍对子女的教育情 况,如果这 4 位中恰有一对是夫妻,则不同选择的方法种数有多少 思路:本题解决的方案可以是:先挑选出一对夫妻,然后在挑选出两个不是夫妻的即可。
1 第一步:先挑出一对夫妻: C6 2 第二步:在剩下的 10 个人中选出两个不是夫妻的,使用间接法: C10 ?5
1 2 所以选择的方法总数为 N ? C6 C10 ? 5 ? 240 (种)

?

?

答案: 240 种 例 2:某教师一天上 3 个班级的课,每班上 1 节,如果一天共 9 节课,上午 5 节,下午 4 节, 并且教师不能连上 3 节课(第 5 节和第 6 节不算连上) ,那么这位教师一天的课表的所有不 同排法有( A. ) B.

474 种

77 种

C.

462 种

D.

79 种

本书由作者独家授权“学易书城” ,其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载

第十章

第 80 炼 排列组合的常见模型

排列组合, 二项式定理

思路:本题如果用直接法考虑,则在安排的过程中还要考虑两节连堂,并且会受到第 5,6 节课连堂的影响,分类讨论的情形较多,不易求解。如果使用间接法则更为容易。首先在无
3 3 任何特殊要求下,安排的总数为 A9 。不符合要求的情况为上午连上 3 节: A4 和下午连上三 3 3 3 3 节: A3 ,所以不同排法的总数为: A9 ? A4 ? A3 ? 474 (种)

答案:A 例 3:2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有 两位女生相邻,则不同排法的种数是( A. ) C.

60

B.

48

42

D.

36

思路: 首先考虑从 3 位女生中先选中相邻的两位女生, 从而相邻的女生要与另一女生不相邻, 则可插空, 让男生搭架子, 因为男生甲不站两端, 所以在插空的过程中需有人站在甲的边上, 再从剩下的两个空中选一个空插入即可。
2 第一步:从三位女生中选出要相邻的两位女生: C3

第二步: 两位男生搭出三个空, 其中甲的边上要进入女生, 另外两个空中要选一个空进女生,
1 所以共有 C2 种选法。 2 2 第三步:排列男生甲,乙的位置: A2 ,排列相邻女生和单个女生的位置: A2 ,排列相邻女 2 生相互的位置: A2 2 1 2 2 2 所以共有 N ? C3 ? C2 ? A2 ? A2 ? A2 ? 48 种

答案:B 例 4:某班班会准备从甲,乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言,要求甲,乙两名同学至少有 一人参加, 且若甲乙同时参加, 则他们发言时不能相邻, 那么不同的发言顺序种数为 ( A. 360 B. 520 C. 600 D. 720 )

思路:因为选人的结果不同会导致安排顺序的不同,所以考虑“先取再排” ,分为“甲乙” 同时选中和“甲乙只有一人选中”两种情况讨论:若甲乙同时被选中,则只需再从剩下 5
2 2 人中选取 2 人即可: 在安排顺序时, 甲乙不相邻则 “插空” , 所以安排的方式有:A3 , C52 , ? A2

从而第一种情况的总数为: N1 ? C5 ? A3 ? A2 ? 120(种) ,若甲乙只有一人选中,则首先先
2 2 2 1 3 从甲乙中选一人,有 C2 ,再从剩下 5 人中选取三人,有 C5 ,安排顺序时则无要求,所以第

本书由作者独家授权“学易书城” ,其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载

第十章

第 80 炼 排列组合的常见模型

排列组合, 二项式定理

1 3 4 二种情况的总数为: N2 ? C2 ,从而总计 600 种 ? C5 ? A4 ? 480 (种)

答案:C 例 5:从单词“equation”中选取 5 个不同的字母排成一排,含有“qu”(其中“qu”相连 且顺序不变)的不同排列共有________种 思路:从题意上看,解决的策略要分为两步:第一步要先取出元素,因为“qu”必须取出,
3 所以另外 3 个元素需从剩下的 6 个元素中取出,即 C6 种,然后在排列时,因为要求“qu” 4 相连,所以采用“捆绑法” ,将 qu 视为一个元素与其它三个元素进行排列: A4 ,因为“qu” 3 4 顺序不变,所以不需要再对 qu 进行排列。综上,共有: C6 ? A4 ? 480 种

答案: 480 例 6:设有编号 1, 2,3, 4,5 的五个茶杯和编号为 1, 2,3, 4,5 的五个杯盖,将五个杯盖盖在五个 茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有( A. 30 种 B. 31 种 C. 32 种 ) D. 36 种

思路:本题可按照相同编号的个数进行分类讨论,有两个相同时,要先从 5 个里选出哪两个
2 2 相同,有 C5 种选法,则剩下三个为错位排列,有 2 种情况,所以 N1 ? C5 ? 2 ,有三个相同 3 时,同理,剩下两个错位排列只有一种情况(交换位置) ,所以 N2 ? C5 ? 1,有四个相同时 2 3 则最后一个也只能相同,所以 N3 ? 1 ,从而 S ? C5 ? 2 ? C5 ?1 ? 1 ? 31(种)

答案:B 例 7:某人上 10 级台阶,他一步可能跨 1 级台阶,称为一阶步,也可能跨 2 级台阶,称为 二阶步; 最多能跨 3 级台阶, 称为三阶步, 若他总共跨了 6 步, 而且任何相邻两步均不同阶, 则此人所有可能的不同过程的种数为( A. 6 B. 8 ) C. 10 D. 12

答案:A 思路:首先要确定在这 6 步中,一阶步,二阶步,三阶步各有几步,分别设为 x, y, z ? N ,
?

?x ? 4 ?x ? 3 ?x ? 2 ?x ? y ? z ? 6 ? ? ? 则有 ? ,解得: ? y ? 0, ? y ? 2, ? y ? 4 ,因为相邻两步不同阶,所以符合 ? x ? 2 y ? 3z ? 10 ?z ? 2 ?z ? 1 ?z ? 0 ? ? ?

本书由作者独家授权“学易书城” ,其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载

第十章

第 80 炼 排列组合的常见模型

排列组合, 二项式定理

?x ? 3 ? 要求的只有 ? y ? 2 ,下面开始安排顺序,可以让一阶步搭架子,则二阶步与三阶步必须插 ?z ? 1 ?
入一阶步里面的两个空中,所以共有 2 种插法,二阶步与三阶步的前后安排共有 3 种(三二 二,三二三,二三三) ,所以过程总数为 N ? 2 ? 3 ? 6 答案:A 例 8:某旅行社有导游 9 人,其中 3 人只会英语,2 人只会日语,其余 4 人既会英语又会日 语,现要从中选 6 人,其中 3 人负责英语导游,另外三人负责日语导游,则不同的选择方法 有_______种 思路:在步骤上可以考虑先选定英语导游,再选定日语导游。英语导游的组成可按只会英语 的和会双语的人数组成进行分类讨论, 然后再在剩下的人里选出日语导游即可。 第一种情况:
3 没有会双语的人加入英语导游队伍,则英语导游选择数为 C3 ,日语导游从剩下 6 个人中选 3 3 3 择,有 C6 中,从而 N0 ? C3 ,第二种情况:有一个会双语的人加入英语导游队伍,从 ? C6
1 2 3 而可得 N1 ? C4C3 ? C5 ,依次类推,第三种情况。两个会双语的加入英语导游队伍,则 2 1 N 2 ? ? C4 ? C3 ? ? C43 ,第四种情况,英语导游均为会双语的。则 N3 ? C43 ? C33 ,综上所述, 3 3 1 2 3 2 1 3 3 3 不同的选择方法总数为 S ? C3 ? C6 ? C4C3 ? C5 ? C4 ? C3 ? C4 ? C4 ? C3 ? 216 (种)

?

?

?

?

?

?

答案:216 种 例 9:如图,用四种不同颜色给图中 A, B, C, D, E, F 六个点涂色,要求每个点涂一种颜色, 且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法有( A. D. )

288 种 168 种

B.

264 种

C.

240 种

思路:如果用四种颜色涂六个点,则需要有两对不相邻的点涂相同的 颜色。所以考虑列举出不相邻的两对点。列举的情况如下:

?A, C??B, D? , ?A, C??B, E? , ? A, C??D, F? , ? A, F??B, D? , ?A, F??B, E? , ?A, F??C, E? , ?B, D??C, E? , ?B, E??D, F? , ?C, E??D, F? 共九组,
4 所以涂色方法共有 9 ? A4 ? 216

如果用三种颜色涂六个点,则需要有三对不相邻的点涂相同的颜色,列举情况如下:
本书由作者独家授权“学易书城” ,其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载

第十章

第 80 炼 排列组合的常见模型

排列组合, 二项式定理

?A, C??B, E??D, F? , ?A, F??C, E??B, D? 共两组,所以涂色方法共有 2 ? A43 ? 48
综上所述,总计 264 种 答案:B 例 10:有 8 张卡片分别标有数字 1,2,3,4,5,6,7,8 ,从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列,要求 3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5,则不同的排法共有( A. 1344 种 B. 1248 种 C. 1056 种 ) D. 960 种

思路:中间行数字和为 5 只有两种情况,即 1, 4 和 2,3 ,但这两组不能同时占据两行,若按 题意思考,以 1, 4 占中间行为例,则在安排时既要考虑另一组 2,3 是否同时被选中,还要考 虑同时被选中时不能呆在同一行,情况比较复杂。所以考虑间接法,先求出中间和为 5 的所 有情况,再减去两行和为 5 的情形 解:先考虑中间和为 5 的所有情况:
1 第一步:先将中间行放入 1, 4 或 2,3 : C2 2 第二步:中间行数字的左右顺序: A2 4 第三步:从剩下 6 个数字中选择 4 个,填入到剩余的四个位置并排序: A6 1 2 4 所以中间和为 5 的情况总数为 S ? C2 ? A2 ? A4 ? 1440

在考虑两行和为 5 的情况:
1 第一步: 1, 4 , 2,3 两组中哪组占用中间行: C2 1 第二步:另一组可选择的行数: C2 2 2 第三步: 1, 4 , 2,3 在本行中的左右顺序: A2 A2 2 第四步:从剩下 4 个数中选取 2 个填入所剩位置并排序: A4

所以两行和为 5 的情况: N ? C2 ? C2 ? A2 ? A2 ? A4 ? 192
1 1 2 2 2

从而仅有中间行为 5 的情况为 S ? N ? 1248 (种) 答案:B

本书由作者独家授权“学易书城” ,其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载

第十章

第 80 炼 排列组合的常见模型

排列组合, 二项式定理

本书由作者独家授权“学易书城” ,其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载


推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com