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《创新设计-课堂讲义》2016-2017学年高中数学(人教版必修5)配套课件第一章解三角形1.1.2(一)_图文

《创新设计-课堂讲义》2016-2017学年高中数学(人教版必修5)配套课件第一章解三角形1.1.2(一)_图文

第一章 § 1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.2 余弦定理(一)

学习 目标
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.

栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测

自主学习 重点突破 自查自纠

知识梳理
知识点一 余弦定理及其证明 1.余弦定理的表示及其推论

自主学习

三角形中任何一边的 平方等于其他两边的 平方 的 和减去 文字语言
这两边与它们的夹角的余弦的 积的倍两

a2= b2+c2-2bccos A , 符号语言 b2= a2+c2-2accos B ,
c2=a2+b2-2abcos C

答案

cos A= b2+c2-a2 , 2bc
推论 cos B= a2+c2-b2 , 2ac
cos C= a2+b2-c2 2ab
答案

2.余弦定理的证明

(1)课本上采用的证明方法:

如图,设 a=C→B,b=C→A,c=B→A,则 c= b-a ,

∴|c|2=c·c=(b-a)2=a=2-2a·b,+b2 ∴c2=a2+b2-2abcos C.

a2-2abcos C+b2

答案

(2)利用坐标法证明 如图,建立直角坐标系,则A (、0,B0) 、(cCcos A(,写c出si三n A点) 的坐(标b,0).)

∴a=BC=





∴a2=b2+c2-2bccos A.

答案

2π 思考1 在△ABC中,若a2=b2+bc+c2,则A= 3 . 解析 由题意知,cos A=b2+2cb2c-a2=-2bbcc=-12, 又 A∈(0,π),∴A=23π.
解析答案

思考2 勾股定理和余弦定理的联系与区别? 答案 二者都反映了三角形三边之间的平方关系,其中余弦定理 反映了任一三角形中三边平方间的关系,勾股定理反映了直角三 角形中三边平方间的关系,是余弦定理的特例.
答案

知识点二 用余弦定理解三角形的问题 利用余弦定理可以解决以下两类问题: (1)已知两边及夹角解三角形; (2)已知三边解三角形.

思考 已知三角形的两边及一边的对角解三角形,有几种方法? 答案 不妨设已知a、b、A, 方法一 由正弦定理sina A=sinb B可求得 sin B,进而得 B,角 C,最后得 边 c. 方法二 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得边c,而后由余弦或正弦定 理求得B、C.

答案

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题型探究

重点突破

题型一 已知两边及夹角解三角形

例 1 在△ABC 中,已知 a=2,b=2 2,C=15°,求角 A,B 和边 c 的

6+ 2

6- 2

值(cos 15°= 4 ,sin 15°= 4 ).

反思与感悟

解析答案

D 解析 由三角形内角和定理可知 cos C=-cos(A+B)=-13,又由余弦定 理得 c2=a2+b2-2abcos C=9+4-2×3×2×(-13)=17,所以 c= 17.
解析答案

题型二 已知三边(或三边的关系) 例 2 在△ABC 中,已知 a=2 6,b=6+2 3,c=4 3,求 A、B、C.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练 2 将例 2 中的条件改为“a∶b∶c=2 6∶(6+2 3)∶4 3”, 求 A、B、C. 解 ∵a∶b∶c=2 6∶(6+2 3)∶4 3, 即2a6=6+b2 3=4 c 3, 不妨设2a6=k,则 a=2 6k,b=(6+2 3)k,c=4 3k, 下同例题解法.
解析答案

题型三 已知两边及其中一边的对角解三角形 例 3 在△ABC 中,已知角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=2 3, b= 6,A=45°,求边 c.

反思与感悟

解析答案

解析答案

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当堂检测

12345
A

解析 由余弦定理及其推论知只有A正确.

解析答案

12345

2.在△ABC中,已知a=4,b=6,C=120°,则边c的值是( D )

A.8

B.2 17

C.6 2

D.2 19

解析 由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C =42+62-2×4×6×(-12)=76, ∴c=2 19.

解析答案

A

解析 cos 120°=a2+2ba2b-c2=a2+2ba2-b 2a2=-12,

∴b=

5-1 2 a<a.

12345
解析答案

12345
π 4.在△ABC中,若a2+b2-c2=ab,则角C的大小为 3 . 解析 cos C=a2+2ba2b-c2=2aabb=12, 又 B∈(0,π),∴B=π3.
解析答案

12345

5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,b= 7, 5
c= 3,则 B= 6π .

解析

cos

a2+c2-b2 1+3-7 B= 2ac =2×1× 3=-

23,

又 B∈(0,π),∴B=56π.

解析答案

课堂小结
1.余弦定理与勾股定理的关系:余弦定理可以看作是勾股定理的推广, 勾股定理可以看作是余弦定理的特例. (1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方,那么第三边所对 的角是锐角. (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方,那么第三边所对 的角是钝角. (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对 的角是直角.

2.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题: (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形. (2)若已知两边和一边的对角,既可以用正弦定理又可以用余弦定理解 三角形,但用正弦定理时要注意不要漏解或多解.
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