9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

2.3 不等式的解法_图文

2.3 不等式的解法_图文

2.3 不等式的解法
【复习目标】 1.掌握一元一次不等式(组),一元二次不等式,分式不等式,
含绝对值的不等式,简单的无理不等式的解法. 2.会在数轴上表示不等式或不等式组的解集. 3.培养运算能力.

【知识回顾】

1.一元一次不等式的解法
(1)一元一次不等式 ax>b(a≠0)的解集情况是 ①当 a>0 时,解集为{x|x>}

②当 a<0 时,解集为{x|x<}

(2)两个一元一次不等式所组成的一元一次不等式组的解集情况,可以归结
为以下四种基本类型:

类型(设 a<b) 解集

>

x>b

>

数轴表示

< <
> <

x<a a<x<b

<

?

>

2.一元二次不等式的解法

一般的一元二次不等式可利用一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)与二次函数

y=ax2+bx+c的有关性质求解,具体见下表:

a>0,Δ=b2-4ac

Δ>0

Δ=0

Δ<0

二次函数 y=ax2+bx+c
的图象

一元二次方程 ax2+bx+c=0

的根

一元

不等式

二次 ax2+bx+c>0

不等

的解集

式的 解集

不等式 ax2+bx+c<0
的解集

有两实根 x=x1或 x=x2

有两个相等的实根 x=x1=x2=-

{x|x<x1或 x>x2} {x|x≠x1}

{x|x1<x<x2}

?

无实根
R
?

注:1.解一元二次不等式的步骤: (1)把二次项的系数a变为正的. (如果a<0,那么在不等式两边都乘以-1,把系数变为正) (2)解对应的一元二次方程.(先看能否因式分解,若不能, 再看Δ,然后求根) (3)求解一元二次不等式.(根据一元二次方程的根及不 等式的方向) 2.当a>0且Δ>0时,一元二次不等式的解集的口诀:“小于 号取中间,大于号取两边”.

3.含有绝对值的不等式的解法

(1)绝对值的概念
|a|= (a>0)
? (2)含绝对值不等式的解:

①|x|<a(a>0)?-a<x<a

②|x|≥a(a>0)?x≤-a 或 x≥a

③|f(x)|≤a(a>0)?-a≤f(x)≤a?

() ≥ ? () ≤

④|f(x)|>a(a>0)?f(x)<-a 或 f(x)>a

注:当 a≤0 时,|x|<a 无解,|x|>a 的解集为全体实数.

4.分式不等式的解法

将原分式不等式通过移项、通分整理成 f (x) ? 0(? 0) g(x)

或 f (x) ? 0(? 0)的形式,再转化为整式不等式求解. g(x)

(1) f (x) ? 0 ? f (x) g(x) ? 0 g(x)

(2) f (x) ? 0 ? f (x) g(x) ? 0 g(x)

(3)

f (x) g(x)

?

0

?

? ? ?

f

(x) g(x) ? g(x) ? 0

0

(4)

f (x) g(x)

?

0

?

? ? ?

f

(x) g(x) ? g(x) ? 0

0

5.无理不等式的解法

(1)

f (x) ?

?

g

(

x)型

?

? ?

f (x) ? 0 } ? 定义域 g(x) ? 0

?? f (x) ? g(x)

(2)

f

(x)

?

a(a

?

0)型

?

? ? ?

f (x) ? 0 f (x) ? a2

(3)

f (x)

?

a(a

?

0)型

?

? ? ?

f (x) ? 0 f (x) ? a2

?

f (x) ? a2

【例题精解】

【例 1】 解下列不等式组,并在数轴上表示出它们的解集:

(1)

? > ? +





( ? ) > ( + ) ?

? > (2) ? >
? <

(2)【(分析1)】【由解三】个一元一次不? 等 >式组1 成?的不+ 等 式组,经①过整理后,至少有两个不等

式的不等号是同向的,因此,在(求 它?们的)解>集(的 交+集时),可?先将这两个不等式化成一个不等

式. 由不等式①,得 x>-


由不等式②,得x><1

【解】 经过整理得 >
所以原不等式组 <化成



>

?



将这个不等式组化成两个不等式组 成<的1不等式组



>



即得即5<原x<不8 等式的解集为{x|-<x<1}(或记作 <(-,1))(在数轴上如

上∴图原所不等示式) 组的解集为{x|5<x<8}(右图)

【例2】 解下列不等式 (1)(3x-4)(2x+1)>0 (2)-x2-x+12>0

(1(2)【)【分分析析】】 将两不个等式式子的的两积边大同时于乘0以,那-么1,再,这因两式个分式解为子(或x-者3)(都x+大4)<于0,两0,个或式者子都的小积于 0;

小于【【0解,解则法法这一一两】个】式两子解边的原同值不乘的等以符式-号1等相,得价反x.于2+x(-11)2<0,化?+为 (>>x-3)或(x+(24))<0

? +



< <



不原等不式等组式可(1)等的价解于集(1是) x?>;不> 等或式(2组) (2?)的 解< 集 是 x<-

+ < + >



∴(1原)的不解等集式是?组;(2的)的解解集集为是{-x4|<xx><3或 x<-}(或记作(-∞,-)∪(,+∞)).

【∴分原析不】等式组如的果解按集照为分{x解|-4因<x式< 3转}(或化记为作不(-等4,3式))组解,比较 麻烦 ,可以利用函数

y=(3x-4)(2x+1)的图象,找出这条抛物线与 x 轴的交点(即(3x-4)(2x+1)=0 的根),

进而得到不等式的解集(或直接用数轴标根法).

【解法二】 两边同乘以-1,得 x2+x-12<0,化为(x-3)(x+4)<0

∵(x-3)(x+4)=0 的根是-4,3,将根标在数轴上

(数轴标根法)(如图)

【∴解原法不二等式】组的因解为集(3为x{-x4|-)(42<xx+<13)}=0 的根是,-,将根标在数轴上,

二注次:若函将数第(y1=)题(3换x-成4)((32xx-+41)()2的x+草1)≥图0为,则(如解图集为) {x|x≥或

x≤-}


乘以∴【-1原点,使不评二等】次式项在组系解的数一变解元成集二正为次数{不x,并|等x把>式不或时等,x如号<果-改二}变. 次方项向系,然数后是再负求数解,一. 般先在不等式两边同

【例3】 解不等式-3x2≥-6x+2

【解】 原不等式化为 3x2-6x+2≤0

∵3x2-6x+2=0 的根是 x1=1- ,x2=1+ ,





∴原不等式组的解集为[1- ,1+ ]



【例 4】 解下列不等式

(1)?<0 (2)?<1

?

+

【分析】 当分式不等式化为()>0(或<0)时,与不等式 f(x)· g(x)>0(或<0)同解.
()

【解(2】)移项(1,)通原分不得等式等?价<0于(2即x-3?)(2<-03x)<0,

+

+

即((2xx--33))((x3x+-12)<)>00

∵(∵2x(-x3-)(33)x(-x2+)1=)0=的0 的根根是是,,-将1,根3(标如在图数),轴上(如图) ∴原∴不原等不式等的式解的集解为集(-∞为,(-)∪1,(3),.+∞).


【例 5】 解不等式+≤2.
?

【解】 移项,通分得?≤0,即?≥0

?

?

转化为 ( ? )( ? ) ≥ ? ≠

由数轴标根法得,所求不等式的解集为

{x|x>3 或 x≤1}(或记作(-∞,1]∪(3,+∞))

【例6】 解下列不等式

(1)|x-2|>3

(2)|3x-5|<8

(3)|1-2x|≤5

【解】 (1)原不等式等价于x-2>3或x-2<-3即x>5或x<-1 ∴原不等式的解集是{x|x>5或x<-1}

(2)原不等式等价于-8<3x-5<8 即-1<x<

∴原不等式的解集是(-1,)

(3)原不等式等价于-5≤1-2x≤5即-6≤-2x≤4 -2≤x≤3,综上所述,原不等式的解集是[-2,3]
【点评】 第(3)题中注意除以负数要改变方向,此题也 可先把|1-2x|≤5化为|2x-1|≤5形式再求解,这样就避免了除 以负数.

【例 7】 解不等式 ? - ? >0.
【解】 ∵根式有意义 ∴必须有: ??≥≥?x≥3 又有∵原不等式可化为 ? > ? 两边平方得:3x-4>x-3 解之得 x>

∴原不等式的解集是{x|x≥3}∩{x|x>}={x|x≥3}

【点评】 解无理不等式——关键是把它同解变形为有理
不等式组.

【例8】解不等式 x2 ? 2x ? 8 ? 4.

【解】原不等式等价于

? x2 ? 2x ?8 ? 0

? ?

x2

?

2x

?

8

?

16

?

?x ? ?

? ?2或x ?4 ? x ?

? 6

4

?

?4

?

x

?

?2或4

?

x

?

6,

原不等式的解集为{x | ?4 ? x ? ?2或4 ? x ? 6}.

【同步训练一】
一、选择题 1.不等式-8≤x<15写成区间形式是 ( )
A.(15,-8) B.(-8,15] C.[-8,15)

D.[-8,15]

【答案】C

2.不等式-2x<-6的解集是 ( ) A.{x|x>3} B.{x|x>-3} C.{x|x<3} D.{x|x<-3}
【答案】A

3.不等式(2x+1)(5-x)>0 的解集是 ( )

A.(-,5)

B.(-,-5)





C.(-∞,-)∪(5,+∞) D.(-∞,-5)∪(-,+∞)





【答案】A

4.不等式x2+12x+36>0的解集是 ( )

A.?

B.R

C.{x|x≠-6} D.{x|x<-6或x>6}

【答案】C

5.不等式-2x2-5x+3<0 的解集是

()

A.R

B.?

C.{x|-3<x<} D.{x|x<-3 或 x>}





【答案】D

6.在下列不等式中,解集为空集的是

()

A.x2-2x-3>0

B.x2-2x+3<0

C.x2+2x-3<0

D.x2+2x+3>0

【答案】B

7.不等式2x2-3x+5>0的解集是 ( ) A.R B.? C.{x|x>0} D.{x|x<0}
【答案】A

8.不等式-2x2+4x-5>0的解集是 ( ) A.R B.? C.(0,+∞) D.(-∞,0)
【答案】B

9.设集合M={x|1≤x≤3},N={x|2≤x≤4},则M∩N= ( )

A.{x|1≤x≤4}

B.{x|2≤x≤3}

C.{x|1≤x≤2}

D.{x|3≤x≤4}

【答案】B

10.设P={x|x2-4x+3<0},Q={x|x(x-1)>2},则P∩Q=

()

A.{x|x>3}

B.{x|-1<x<2}

C.{x|2<x<3}

D.{x|1<x<2}

【答案】C

二、填空题

11.不等式x2-2x+1>0解集是 {x|x≠1} ,不等式x2-2x+1≥0的解

集是 R

.

12.已知函数y=-2x2+12x-18,那么当x∈ {x|x≠3} 时,y<0.

当x∈ ?

时,y>0;当x∈ {x|x=3} 时,y=0.

13.不等式2x2+4>x2+6的解集是 (-∞,- )∪( ,+∞) . 14.若不等式x2 ? bx ? 1 ? 0的解集为空集,则b的取值范围是 [-1,1]
4 15.如果以x为未知数的方程mx2-(1-m)x+m=0没有实数根,那么m 的取值范围是 (-∞,-1)∪(,+∞).

三、解答题
16.解不等式 2(x-2)-+>+1.


【解】 原不等式两边同乘以 6,得

12x-24-3x-3>4x+6 整理得 5x>33

∴x>


∴原不等式解集为{x|x>}.

17.解下列不等式组,并把解集在数轴上表示

≤ +

(1)


? ≤ +





+ < 4 + 2 (2) ? < 4 ?
+ > 6 + 3

【解】

(1)原不等式组等价于







≥ ?

∴原不等式组解集为{x|-7≤x≤}(如图)


> ? (2)原不等式组等价于 <
<
∴原不等式组的解集为{x|-1<x<1}(如图)

18.解下列不等式,并把解集在数轴上表示. (1)(7x+3)(4-3x)>0 (2)(x-3)(x-4)>-1
【解】 (1)原不等式等价于(7x+3)(3x-4)<0 ∵方程(7x+3)(3x-4)=0 的根为-,.

∴原不等式的解集为(-,)

(2)原不等式等价于x2-7x+13>0
∵Δ=(-7)2-4×13=-3<0
∴原不等式的解集为R.

【同步训练二】

一、选择题

1.不等式+≤0 的解集是 ( )

?

A.[-1,1]

B.(-1,1]

C.[-1,1)

D.(-∞,-1]∪(1,+∞)

【答案】C

2.不等式?>1 的解集是

()

+

A.(-2,+∞) B.(-2,3)

C.(-∞,-2) D.(-∞,-2)∪(3,+∞)

【答案】C

3.不等式?≥-1 的解集为 ( )

?

A.[-,2]

B.(-∞,-]∪(2,+∞)





C.(-∞,2)

D.[-,2)



【答案】D

4.已知集合A ? {x | x ? 2 ? 0},则A ? ? ?
3? x A.(??, ?2] B.(3, ??) C.[?2,3) D.[-2,3]
【答案】C

5.不等式1? x ? 1的解集是? ?
1? x A.(??, 0] B.[0,1) C.(1, ??)

D.(-?, 0] ? (1,+?)

【答案】D

6.不等式 5x ? 4 ? 2的解集是? ?
x?4 A.[?4, 4] B.(?4, 4] C.(??, ?4] ?[4,+?)

D.(??, ?4) ?[4,+?)

【答案】B

7.不等式 2 ? 1的解集是? ?
x ?1 A.{x | -1 ? x ? 1} B.{x | x ? 1} C.{x | x ? -1} D.{x | x ? 1或x ? -1}
【答案】A

8.已知关于x的不等式x2-ax+a>0的解集为实数集R,则a

的取值范围是

()

A.(0,4)

B.[2,+∞)

C.[0,2)

D.(-∞,0)∪(4,+∞)

【答案】A

9.x>3是x>5的 ( ) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B

10.若函数y=x2+(a-2)x+(5-a)对任意实数x恒取正值,则实数a

的取值范围 ( )

A.(-4,4)

B.(-∞,-4)∪(4,+∞)

C.[-4,4]

D.(-∞,-4]∪[4,+∞)

【答案】A

二、填空题

11.不等式 2 1? 2x

?

0的解集是

{x

|

x

?

1} 2

12.不等式 2x ? 4 ? 0的解集是{x | x ? 2或x ? 4} 12 ? 3x

13.不等式 1 ? 1的解集是(??, 0) ?[1, ??)

14. 2 ? x

x ? 6的解集是

(?1, ? 4) 7

1? x

15.已知f (x) ? kx - 2,且f (2) ? 8,则使f (x) ? 0的x的取值 范围是 ( 2 , ??)
5

三、解答题

16.解不等式

?

+

+

>

4

?

+

( ? ) + ( ? ) < 11 ? 5( ? 3)

【解】 原不等式组等价于

? + + > ? ?

? + ? < ? +



>


∴原不等式组解集为?

<

17.解下列分式不等式,并把解集在数轴上表示

(1)?>0 (2)?≤1

+

?

【解】 (1)原不等式等价于(2x-5)(5x+8)<0

∵(2x-5)(5x+8)=0 的根为-,.



∴原不等式解集为(-,)



(2)原不等式化为??+≤0 即 ? ≤0

?

?

等价于(x-1)(2x-1)≤0

∴原不等式解集为(,1]


18.设实数a使方程x2+(a-1)x+1=0有两个不等实根x1,x2,求a的 取值范围.
【解】 依题意可知Δ>0 即(a-1)2-4>0 解得a<-1或a>3 ∴a的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞)

【同步训练三】

一、选择题 1.不等式|x|>5的解集是
A.{x|x>5} C.{x|x<-5或x>5}

() B.{x|x>±5}
D.{x|-5<x<5}

【答案】C

2.不等式|x|<2的解集是
A.{x|-2<x<2} C.{x|x<±2}

()
B.{x|x<2} D.{x|x<-2或x>2}

【答案】A

3.不等式|x+3|>5的解集是 ( ) A.{x|x>2} B.{x|x<-8或x>2} C.{x|x>0} D.{x|-8<x<2}
【答案】B

4.不等式|5x+3|>0 的解集是 A.R B.(-,+∞)


()
C.(-∞,-)


D.{x|x≠-}


【答案】D

5.已知|x-a|<b的解集是(-2,6),则a,b分别是

A.-2,-4

B.2,4

C.-2,4

() D.2,-4

【答案】B

6.在下列不等式中,解集为空集的是

()

A.|x-1|+1>0

B.|1-x|+1<0

C.1-|1-x|<0

D.|x-1|-1<0

【答案】B

7.不等式|-2x+1|≤4 的解集是 ( )

A.(-,)

C.[-,)


B.[-,]

D.(-,]


【答案】B

8.不等式 4x ? 7 ? x ? 5的解集是? ?
A.{x | x ? 4} B.{x | ?5 ? x ? 4} C.{x | 7 ? x ? 4}
4 D.{x | 7 ? x ? 4}
4
【答案】C

9.不等式 6x ? 5 ? 4的解集是? ?
A.{x | x ? 3} 2
B.{x | x ? ? 1} 6
C.{x | x ? 7} 2
D.{x | x ? 13} 6
【答案】C

10.不等式 3x ? 2 ? 5的解集是? ?
A.{x | x ? 9} B.{x | 2 ? x ? 9}
3 C.{x | 2 ? x ? 9}
3 D.{x | x ? 2 或x ? 9}
3
【答案】B

二、填空题 11.不等式 | 5x

?

3

|?

2的解集是

(??,

?1)

?

(?

1 5

,

??)

不等式 | 3 - 2x | -7 ? 0的解集是 [?2,5]

12.不等式 | x -1|? -3的解集是 R 13.不等式 | x2 - x -12 |? 0的解集是{x | x ? ?3或x ? 4}

14.不等式 2x ? 3 ? 5的解集是{x | x ? 14}

15.不等式

7

x

?

5

?

3的解集是{x

|

5 7

?

x

?

2}

三、解答题

16.解下列绝对值不等式,并把解集在数轴上表示.

(1)3≤|5-2x|

(2)2|x+1|-3<0

【解】 (1)原不等式化为|2x-5|≥3 等价于2x-5≥3或2x-5≤-3 解得x≥4或x≤1 ∴原不等式解集为{x|x≥4或x≤1}
(2)原不等式化为|x+1|<等价于-<x+1< 得-<x< ∴原不等式解集为(-,)

17.解不等式: ? - ? >0.

【解】 原不等式化为 ? > ?

? ≥




等价于 ? ≥ 即 ≥

? > ?
解得 x≥4

>


∴原不等式解集为[4,+∞).

18.解不等式:x2 ? 6x ? 4

【解】原不等式等价于

? x2 ? 6x ? 0 ?x ? 0或x ? 6

? ?

x2

?

6x

?

16

?

? ?

?2 ? x ? 8

? ?2 ? x ? 0或6 ? x ? 8

原不等式的解集为{x | ?2 ? x ? 0或6 ? x ? 8}.


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com