9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

[推荐学习]高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.4组合2课堂导学案新人教A版选修2_3

[推荐学习]高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.4组合2课堂导学案新人教A版选修2_3

生活的色彩就是学习

1.2.4 组合(2)
课堂导学 三点剖析 一、求解组合问题的等价转化方法 【例 1】 有 10 级台阶,一个人每步上一级、两级或三级,共 7 步上完,则不同的走法共有 多少种? 解析: 要首先确定每步一上级、 两级或三级的步数, 这可将问题等价转化为方程的解的问题. 设每步上一级的步数为 x,每步上两级的步数为 y,每步上三级的步数为 z,则

?x ? 2 y ? 3z ? 10, (x、y、z∈N). ? ?x ? y ? z ? 7.
易知 0≤z≤1,可解得

? x ? 4, ? x ? 5, ? ? ? y ? 3, 或 ? y ? 1, ? z ? 0 ? z ? 1. ? ?
4 当 x=4,y=3,z=0 时,它等价于将 4 个相同的黑球、3 个相同的白球排成一列,共有 C 7 =35

种排法,则有 35 种走法.
1 1 当 x=5,y=1,z=1 时,同理可知有 C7 =42 种走法. C6

由分类计数原理,共有 35+42=77 种走法. 二、注意排列组合应用题中的形同实异问题 【例 2】 (1)把 6 本不同的书平均分放在三只抽屉里,有多少种不同的放法? (2)把 6 本不同的书平均分放在甲、乙、丙三只抽屉里,有多少种不同的放法? 解析: (1)和(2)的主要区别在于对三只抽屉有没有编号,(1)中对三只抽屉没有编号,所 以说哪一只抽屉是第一只、第二只或第三只都是可以的.而(2)中对三只抽屉已经编了号.
3 2 2 2 问题 1 有 C 6 · C4 · C2 / A3 =15 种放法; 2 2 2 问题 2 有 C 6 · C4 · C2 =90 种放法.

温馨提示 在排列组合应用题中,有不少问题形同实异,在学习中容易发生混淆.对这样的题目, 如果能经常注意对照、类比、辨析,对提高分析问题和解决问题的能力无疑是很有好处的. 三、立体几何中的组合问题的解法 【例 3】 (2005 全国高考卷Ⅲ,11)不共面的四个定点到平面 α 的距离都相等,这样的平面 α 共面( ) A.3 个 B.4 个 C.6 个 D.7 个 解析:事实上,平面 α 可以分为两类:一类是在平面 α 的两侧各有两个点;另一类是在平 面 α 的两侧分别有一个点和三个点.不共面的四个定点可以构成三棱锥(如图) ,设 E、F、 G、H、M 分别是 AB、AC、AD、CD、BD 的中点,过 E、F、G 三点的平面 α 满足题意,这样的 平面有四个;又过 E、F、H、M 的平面 α 也满足题意,这样的平面有三个.

K12 的学习需要努力专业专心坚持

生活的色彩就是学习

故适合题设的平面 α 共有七个,应选 D. 温馨提示 在近几年的高考试题中出现了以立体几何的点、 线、 面的位置关系为背景的排列、 组合、 概率问题,这类问题情景新颖,多个知识点交汇在一起,综合性强,能力要求高,解决这类 问题的关键是明确形成几何图形的元素, 并与排列组合形成对应关系, 转化为排列组合问题, 同时要注意避免重复和遗漏.本例中,根据立体图形的几何特点,选取恰当的分类标准,从 而使问题得以解决. 各个击破 【类题演练 1】8 个不加区别的小球放入四个不同的盒子中,每个盒子至少放一个,共有多 少种放法? 解析:将 8 个球摆成一列,设法分成四部分,则每种分法对应一种放法.要想分成四部分,
3 只需用 3 个隔板将它们隔开.8 个球共有 7 个空隙,选其中 3 个空隙插隔板,共有 C7 =35 种

分法,故共有 35 种放法. 【变式提升 1】圆周上有 n(n≥4)个点,每两个点连一条弦,这些弦在圆内最多有多少个交 点?

解析:如图所示,P 是圆上四点 A、B、C、D 所引的弦在圆内的惟一交点,即圆内接四边形 ABCD 对角线的交点,易知,当没有三弦交于圆内一点(端点除外)时,弦在圆内的交点个 数最多, 且这时弦在圆内的交点与相应的圆内接四边形可以建立一一映射, 所以这些弦在圆
4 内最多有 C n 个交点.

【类题演练 2】 (1)把 7 个不同的玻璃球放在两个布袋中,有多少种不同的放法? (2)把 7 个玻璃球放在甲、乙两个布袋中,有多少种不同的放法? (必须两个布袋里都有玻璃球)
2 解析: (1)共有 C7 + C 7 + C7 =63(种) ; 2 (2)共有 2( C7 + C 7 + C7 )=126(种). 1 3 1 3

【变式提升 2】十件奖品全部赠给九位先进工作者,每人至少得一件.如果十件奖品都相同, 有多少种不同的赠送方法? 解析:如果 10 件奖品都相同,那么得奖方法只有得 2 件与 1 件的区别,赠 2 件的方法有 9 种,也就是赠送的方法一共有 C9 种,即 9 种. K12 的学习需要努力专业专心坚持
1

生活的色彩就是学习 【类题演练 3】 (2005 江苏高考,12)四棱锥的 8 条棱分别代表 8 种不同的化工产品,有公 共点的两条棱所代表的化工产品在同一仓库存放是危险的, 没有公共点的棱所代表的化工产 品在同一仓库存放是安全的, 现在编号①②③④的四个仓库存放这 8 种化工产品, 则安全存 放的不同方法总数为( ) A.96 B.48 C.24 D.0

解析:如图分别用 1—8 标号的棱表示 8 种不同的化工产品,易知可以两两放入同一仓库的 情况如下: (实质就是异面直线配对)

故 8 种产品安全存放有“(1,5) 、 (2,6) 、 (3,7) 、 (4,8)”和“(1,8) 、 (2,5) 、 (3,
1 6) 、 (4,7)”两种可能,故所求的方法种数为 2 A4 =48(种) ,故选 B.

【变式提升 3】 在四棱锥 P—ABCD 中,顶点为 P,从其他的顶点和各棱的中点中任取 3 个, 使它们和点 P 在同一平面上,不同的取法有_______________种.( ) A.40 B.48 C.56 D.62

解析:如图满足题设的取法可分为三类:
3 ①在四棱锥的每个侧面上除 P 点外任取 3 点,有 4× C5 =40 种取法;
3 ②在两个对角面上除点 P 外任取 3 点,共有 2× C 4 =8 种不同取法; 1 ③过点 P 的每一条棱上的三点和与这条棱异面的棱的中点也共面,共有 4× C 2 =8 种不

同的取法. 故不同的取法共有 40+8+8=56 种. 答案:C

K12 的学习需要努力专业专心坚持


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com