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浙江大学2007-2008学年春季学期微积分2试卷

浙江大学2007-2008学年春季学期微积分2试卷


浙江大学 2007-2008 学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷 微积分Ⅱ 课程期末考试试卷
一 ,填空题(每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上) 1.点 M(1,-1, 2)到平面 x 2 y + 2 z 1 = 0 的距离 d = 2.已知 a = 2 , b = 3 , a b = 3 ,则 a + b = 3.设 f (u , v) 可微, z = f ( x y , y x ) ,则 dz = . . .

4.设 f ( x ) 在[0,1]上连续,且 f ( x ) > 0 , a 与 b 为常数. D =

{( x, y ) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} ,则

∫∫
D

af ( x) + bf ( y ) dσ = f ( x) + f ( y )

.
2 0
x2 2 x

5.设 f ( x, y ) 为连续函数,交换二次积分次序



dx ∫

0

f ( x, y )dy =

.

二 ,选择题(每小题 5 分,共 20 分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的,把所选字母填入题后的括号内) 6.直线 l1:

x y = 6 x 1 y 5 z + 5 = = 与直线 l2: 的夹角为 1 1 2 2 y + z = 3
. (B)

(A)

π
2

π
3

. (C)

π
4

. (D)

π
6

.

[

]

7.设 f ( x, y ) 为连续函数,极坐标系中的二次积分



π
2 0

dθ ∫

cosθ 0

f (r cos θ , r sin θ )rdr 可以写成直角坐标中的二次积分为
y y2 0 1 x 2 0

(A) (C)

∫ ∫

1 0 1 0

dy ∫ dx ∫

f ( x, y )dx f ( x, y )dy

(B)



1 0

dy ∫

1 y 2 0 x x2 0

f ( x, y )dx f ( x, y )dy
[ ]

(D)



1 0

dx ∫

1 0≤ x≤ x, 5 2 8.设 f ( x ) = S ( x) 为 f ( x) 的以 2 为周期的余弦级数,则 S ( ) = 2 2 2 x, 1 <x ≤ 1 2
(A)

1 . 2

(B)

1 . 2

(C)

3 . 4

(D)

3 . 4

[

]

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xy , ( x, y ) ≠ (0, 0), 9.设 f ( x, y ) = x 4 + y 4 则 f ( x, y ) 在点 O (0, 0) 处 0, (x, y ) = (0, 0),
(A)偏导数存在,函数不连续 (C)偏导数存在,函数连续 三,解答题 10.(本题满分 10 分)求曲线 L: 与法平面方程. 11. (本题满分 10 分) F 可微, 是由 F( x y , y z , z x ) = 0 确定的可微函数, 设 z 并设 F2′ ≠ F3′ , 求 (B)偏导数不存在,函数连续 (D)偏导数不存在,函数不连续 [ ]

2 2 2 2 x + 3 y + z = 9 在其上点 M(1,-1,2)处的切线方程 2 2 2 z = 3x + y

z z + . x y
3 12.(本题满分 10 分)设 D 是由曲线 y = x 与直线 y = x 围成的两块有界闭区域的并集,



x ∫∫ [e + sin( x + y)]dσ .
2

D

13.(本题满分 10 分)求空间曲线 L: 最小值.

x2 + 9 y 2 2 z 2 = 0 上的点到 xOy 平面的距离最大值与 x + 3 y + 3z = 5

14. ( 本 题 满 分 10 分 ) 设 平 面 区 域 D= {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} , 计 算 二 重 积 分

∫∫
D

x 2 + y 2 1 dσ .

15.(本题满分 5 分)设当 y>0 时 u ( x, y ) 可微,且已知

du ( x, y ) = (

y x + xy 2 )dx + ( 2 + x 2 y + 2 y )dy . 求 u ( x, y ) . 2 x +y x + y2
2

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浙江大学 2007-2008 学年春季学期
《微积分 II》课程期末考试试卷答案
一,填空题(每小题 5 分,共 25 分) 1. d =

1+ 2 + 4 1 3

= 2.
a + b + 2a b = 4 + 9 + 6 = 19 .
2 2

2. a + b =

(a + b ) (a + b ) =

3. dz = f 1′ yx y 1 + f 2′ y x ln y dx + f1′ x y ln x + f 2′xy x 1 dy 4. I =

(

)

(

)

∫∫ f (x ) + f ( y ) dσ = ∫∫ f ( y ) + f (x ) dσ ,
D D D

af ( x ) + bf ( y )

af ( y ) + bf ( x )

∴ 2 I = ∫∫ (a + b )dσ = a + b , I =
5.

1 (a + b ) . 2



2 0

dx ∫


x2 2 x 0

f ( x, y ) dy = ∫ dy ∫
0 1

1 1+ y 1+ 1+ y

f ( x, y ) dx

∫ dy ∫
1

0

1+ 1+ y 1 1+ y

f ( x, y ) dx



∫ dy ∫
0

1

1+ 1+ y 1 1+ y

f ( x, y ) dx .

二,选择题(每小题 5 分,共 20 分) 6 . 选 ( B ) . l1 的 方 向 向 量 { ,2,1} , l2 的 方 向 向 量 1

{ 1,1,2}

,

cos θ =

{1,2,1} { 1,1,2} = 3 = 1 , θ = π .
6 6 6 2 3

7.选(D). 积分区域 D = ( x, y ) x 2 + y 2 ≤ x, y ≥ 0 ,化成直角坐标后故知选(D).

{

}

1 1 1 1 1 1 1 3 ( f ( 0) + f ( + 0)) = ( + 1) = . 2 2 2 2 2 2 2 4 00 9.选(A). f x′ ( 0, 0 ) = lim = 0 , f y′ ( 0, 0 ) = 0 ,偏导数存在. x →0 x
8.选(C). S ( ) = S ( ) = S ( ) = 取 y = kx , lim f (x, kx ) = lim
x →0 x →0

5 2

k 1+ k 4

=

k 1+ k 4

随 k 而异,所以不连续. 三,解答题(10~14 每题 10 分,15 题 5 分,共 55 分) 10.由 L,视 x 为自变量,有
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dy dz 4 x + 6 y dx + 2 z dx = 0, dy dz 6 x + 2 y 2z = 0. dx dx
以 ( x, y, z ) = (1,1,2 ) 代入并解出

dy dz , ,得 dx dx

dy 5 dz 7 = , = , dx 4 dx 8
所以切线方程为

x 1 y +1 z 2 = = , 5 7 1 4 8
法平面方程为

( x 1) + ( y + 1) + ( z 2 ) = 0 ,即 8 x + 10 y + 7 z 12 = 0 .
11.

5 4

7 8

F′ F ′ F ′ z = x = 1 3 , x F2′ + F3′ Fz′

F′ F ′ + F2′ z = y = 1 , y F2′ + F3′ Fz′

z z F3′ F2′ + = =1. x y F3′ F2′

12.D 在第一象限中的一块记为 D1,D 在第三象限中的一块记为 D2,

∫∫ (e
D

x2

+ sin ( x + y ) dσ = ∫∫ e x dσ + ∫∫ e x dσ + ∫∫ sin ( x + y )dσ + ∫∫ sin ( x + y )dσ .
2 2

)

D1

D2
x3

D1

D2

x x x x ∫∫ e dσ + ∫∫ e dσ = ∫ dx ∫ 3 e dy + ∫ dx ∫ e dy
2 2 2 2

1

x

0

0

x

D1

D2
1 0

1

x

=∫

(x x )e
3 1 0 3

x2

dx + ∫
x2

0 1

(x
1 0

3

x )e x dx = ∫
2

1 0

(x x )e
3

x2

dx + ∫

0 1

(x

3

x )e x dx
2

= 2∫

(x x )e

dx = ∫ eu du ∫ ueu du = e 1 (ueu eu ) 0 = e 1 1 = e 2
1 0 1 x 0 x3

1

∫∫ sin ( x + y )dσ + ∫∫ sin ( x + y )dσ = ∫ dx ∫ 3 sin ( x + y ) dy + ∫ dx ∫ sin ( x + y ) dy
0 x D1 1 D2 0 1 x

= ∫ cos ( x + x ) cos ( x + x3 ) dx ∫ cos ( x + x3 ) cos ( x + x ) dx 0 1 = ∫ cos ( x + x ) cos ( x + x3 ) dx + ∫ cos ( x + x3 ) cos ( x + x ) dx = 0 0 1
1 0

所以,原式 = e 2 . 13.L 上的点到平面 xoy 的距离为 z ,它的最大值点,最小值点与 z 2 的一致,用拉格朗日乘数 法,设 F ( x, y , z , λ , ) = z 2 + λ x 2 + 9 y 2 2 z 2 + ( x + 3 y + 3 z 5) , 求偏导数,并令其为零有:

(

)

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F F = 2λ x + = 0 , = 18λ y + 3 = 0 , x x F F = 2 z 4λ z + 3 = 0 , = x2 + 9 y 2 2 z = 0 , z x

F = x + 3 y + 3z 5 = 0 .
解之得两组解 ( x, y, z )1 = (1, ,1); 当 x = 5 ,

1 3

( x, y, z )2 = (5,

5 ,5) . 所以当 x = 1, 3

y=

1 时,z = 1 最小; 3

5 y = 时, z = 5 最大. 3 1 14.将分成如图的两块, 的圆记为 D1,另一块记为 D2 4 2 2 2 2 2 2 ∫∫ x + y 1 dσ = ∫∫ (1 x y )dσ + ∫∫ (x + y 1)dσ
D

= ∫∫ (1 x y )dσ + ∫∫ (x 2 + y 2 1)dσ ∫∫ (x 2 + y 2 1)dσ
2 2 D1 D D1

D1

D2

= 2 ∫∫ (1 x 2 y 2 ) dσ + ∫∫ ( x 2 + y 2 1)dσ
D1 D

= 2 ∫ 2 dθ ∫ (1 r 2 ) rdr + ∫ dy ∫
1 1 0 0 0

π

1 0

(x

2

+ y 2 1)dx

=
15.由 du ( x, y ) = (

π

2 1 π 1 + ( + ) = 4 3 3 4 3

y x u y + xy 2 )dx + ( 2 + x 2 y + 2 y )dy ,有 = 2 + xy 2 , 2 2 2 x +y x +y x x + y
2

从而知 u ( x, y ) = arctan

u x 1 2 2 x + x y + ( y ) ,又由 = 2 + x 2 y + 2 y ,推知 2 y 2 y x +y

x x y2 + x2 y + ′( y ) = 2 + x2 y + 2 y , x 2 x + y2 1+ ( ) y

′( y ) = 2 y , ( y ) = y2 + C
所以, u ( x, y ) = arctan

x 1 2 2 + x y + y2 + C . y 2

注:若用凑的办法亦可:

(

y x + xy 2 )dx + ( 2 + x 2 y + 2 y )dy 2 x +y x + y2
2

第 5 页 共 6 页

=

ydx xdy 1 ydx xdy 1 2 + xy ( ydx + xdy ) + 2 ydy = + d ( xy ) + dy 2 2 2 2 x 2 x +y y 1 + ( )2 y

= d (arctan

x 1 2 + ( xy ) + y 2 ) y 2 x 1 2 2 + x y + y2 + C . y 2

所以, u ( x, y ) = arctan

F ′(u ) = f (u ) .

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