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2013-2014(2) 概率统计(A卷)2答案

2013-2014(2) 概率统计(A卷)2答案


(勤奋、求是、创新、奉献)

2013~ 2014 学年第二学期考查试卷
课程代码

219104

班级

学号

姓名 ____________

《概率论与数理统计》课程试卷(A 卷)
(本卷考试时间 90 分钟)

题号 题分 得分

一 21

二 24

三 10

四 12

五 10

六 8

七 10

八 5

总 分 100

一、单项选择题(本题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分,将答案填在下面对应的空格中)

1.

D



2.

A



3. C



4.

B



5.

C

; 6.

A



7.

C .

1.某学生参加两次抽奖活动,设事件 Ai={第 i 次抽中} ( i=1,2 ),则事件 {两次抽奖至少 有一次没抽中} 可以表示为 ( (A) A 1 D ) .

A2

(B) A1 A2

A1 A2

(C) A 1

A2
,则系数 c=(

(D) A 1 A ) . (D) 9

A2

?cx 2 ? x, 2.随机变量 X 的分布函数 f ( x) ? ? ? 0,
(A) 21 (B) 3

0 ? x ? 0.5 其他
(C) 7

3. 一个学生宿舍有 3 名学生,问 3 个人中恰好有 1 人生日在星期四的概率是( (A)
C 73 73

C

) .

(B)

1 C3 ? 6?5 73

(C)

1 C3 ? 62 73

(D)
共 8页

62 73

概率论与数理统计 (A 卷) 第 1 页

4.设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ?
1 ? (1 ? 4 y 2 ) 1 ? (1 ? y 2 )

1 ,则 Y ? 2 X 的概率密度为( ? (1 ? x 2 )

B

) .

(A) f ( y ) ?

(B) f ( y ) ?

2 ? (4 ? y 2 )
1 arctan y

(C) f ( y ) ?

(D) f ( y ) ?

?

5. 设 X1 , X 2 , X 3 是取自总体是服从正态分布 N (? ,1) 的样本,则下列统计量中哪一个是 ? 的 无偏估计量( (A). C ). (B)
1 1 4 X1 ? X 2 ? X 3 ; 3 9 9 1 1 7 (D) X 1 ? X 2 ? X 3 . 3 4 12

2 3 1 X1 ? X 2 ? X 3 ; 5 10 2 1 1 1 (C) X 1 ? X 2 ? X 3 ; 3 6 2

6.两个相互独立的随机变量 X 、 Y 的方差分别是 4 和 2,则 D ? 2 X ? 3Y ? ? ( (A) 34 (B) 14 (C) 28 (D) 2

A

).

7. 设总体 X 的分布中未知参数 ? 的置信度 1 ? ? 的置信区间是 [T1 , T2 ] ,则下列正确的是 ( C ). (A) 对 T1 , T2 的观测值 t1、t2 , ? ?[t1 , t2 ] (C) 区间 [T1 , T2 ] 以 1 ? ? 的概率包含 ? (B) ? 以 1 ? ? 的概率落入区间 [T1 , T2 ] (D) ? 的期望 E (? ) 必属于 [T1 , T2 ]

二、填空题(本题共 7 小题,每空格 3 分,共 24 分,将答案填在下面对应的空格中) 1. 5. 0.65 21/800 ; 2. ; 0.3 20/21 ; 3. . 6. -1 ;4. ;7. 2/25 ; .

2 X ?1

g3

1.设事件 A, B 相互独立, P( A) ? 0.3, P( B) ? 0.5 ,则 P( A B) ? 2.设随机变量 X 的分布律如右表, F ( x) 是 X 的 分布函数, 则 F (0.5) ? 0.3 .

0.65 1 0.3 2



X p

-1 0.1

0 0.2

0.4

3.设 X , Y 是直角三角形的两个锐角,则 X , Y 的相关系数 ? XY ?
概率论与数理统计 (A 卷) 第 2 页 共 8页

-1

.

4.设随机变量 X 服从参数为 5 的指数分布,则 E ( X 2 ) ?

2 . 25

5. 已知男人中有 5%是色盲患者,女人中有 0.25%是色盲患者,今从男女人数相等的人群 中随机地挑选一人,发现是色盲患者的概率是 则该色盲患者是男性的概率为 6.设总体 X 的分布律为 P( X ? k ) ? 20/21
1 , k ? 1, 2, N

21/800 .

;若已知一个人患色盲,

, N , 其中 N 为未知参数, X1 , X 2 ,

, Xn 来

自总体的样本,则 N 的矩估计量 N =

2 X ?1

.
1 1 1 1 1 X 1 ? X 2 , g2 ? X1 ? X 2 ? X 3 , 2 2 3 3 3

7 . 设 X1 , X 2 , X 3 , X 4 是 来 自 总 体 X 的 样 本 , g1 ?
g3 ?

1 1 1 1 X1 ? X 2 ? X 3 ? X 4 为 总 体 均 值 ? 的 无 偏 估 计 量 , 则 其 中 最 有 效 的 是 4 4 4 4

g3

. .

三、 (10 分)某电子计算机主机有 100 个终端,每个终端有 80%的时间被使用,若各个终 端是否被使用是相互独立的,试用中心极限定理估算同时被使用的终端数在 75 到 85 之间的概率. 解:设 X 为 100 个终端中同时被使用的终端数,则
X B(100, 0.8) ………………………………(2 分)

E( X )? 1 0?0 0 ?. 8 , 8 0D( X ) ? 100 ? 0.8 ? 0.2 ? 16 ……………………(3 分)

故由中心极限定理知 所求概率为

X ~ N (80 , 16) 即

近似

X ? 80 4

近似

N (0,1) ………………(5 分)

75 ? 80 X ? 80 85 ? 80 P{75 ? X ? 85}? P{ ? ? } …………(7 分) 4 4 4
? ?(1.25) ? ?(?1.25) ? 2?(1.25) ?1
? 2 ? 0 . 8 9 4? 4 ? 1 0.7 888 ……………………( 10 分)

概率论与数理统计 (A 卷) 第 3 页

共 8页

四、 (12 分)设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度函数为
?3 ? , ( x, y ) ? G f ( x, y ) ? ? 4 ,其中 G ? {( x, y) | 0 ? x ? 1, y 2 ? x} ? 其他 ? 0,

(1) 求关于 X 、 Y 的边缘概率密度 f X ( x) 、 fY ( y) ,并由此判断 X 与 Y 是否相互独立? (2) 求 E ( X ) , E (Y ) , E ( XY ) ,并由此判断 X 与 Y 是否互不相关? 解:(1) x ? (0,1) 时,

f X ( x) ? ?

??

??

f ( x, y)dy ? ?

x

?

3 3 dy ? x; x 4 2

y ? (?1, 1) 时,

fY ( y ) ? ?

??

??

f ( x, y)dx ? ?

1 y
2

3 3 dx ? (1 ? y 2 ); ……………………(4 分) 4 4

?3 x, 0 ? x ? 1 ? 所以, f X ( x) ? ? 2 , ? 其他 ? 0,

?3 2 1y? 1 ? ( 1? y ) , ? ? ………(5 分) fY ( y ) ? ? 4 ? 0, 其他 ?
3 3 x ? (1 ? y) ? f ( x, y) , 2 4

当 x ? (0,1) , y ? (?1, 1) 时, f X ( x) fY ( y) ?

故 X , Y 不相互独立. …………………………(7 分) (2) E ( X ) ?

? ?
??
?? ??

??

??

??

xf ( x, y)dxdy ? ? dx ?
0
1

1

x

?

13 3 3 3 x ? dy ? ? x xdx ? x5/2 ? , x 0 4 2 5 5

E (Y ) ? ?

?

??

??

yf ( x, y )dxdy ? ? dx ?
0 1

x

? x

3 y ? dy ? 0, 4
x

E ( XY ) ? ?

??

??

?

??

??

xyf ( x, y)dxdy ? ? dx ?
0

?

3 xy ? dy ? 0. ………………(10 分) x 4

因为 E( XY ) ? E( X ) E(Y ) ,所以 X 与 Y 是互不相关的.………………(12 分)

概率论与数理统计 (A 卷) 第 4 页

共 8页

1 ? 1 ? x? ? e x ?1 ? 五、 (10 分)设总体 X 的概率密度为 f ( x) ? ? ? (? ? 0 ) ,求参数 ? 的极大 ? 0 , 其他 ?

似然估计. 解:

L(? ) ? ?
i ?1

n

1

?
n

e

?

xi ?1

?

………………………………(2 分)

?

1

?

n 2

e

? i ?1

? xi ? n
?

……………………(4 分)

n 1 n ln L ?? ? ? ? ln ? ? (? xi ? n), ……………………(6 分) 2 ? i ?1


d l nL ? ( ) n 1 1 n ?? ? (? xi ? n )? 0 d? 2? 2 ? ? i ?1

得 ? ?(

1 n ? xi ?1)2 ? (x ?1)2 , n i ?1

故 ? 的极大似然估计量为

? ? ( X ?1)2 . …………………………(10 分)
N (? , ? 2 ) ,现随机地抽取 10 个试件进行抗压试

六、 (10 分)已知某种材料的抗压强度 X 验,测得数据如下:

482,493,457,471,510,446,435,418,394,469. (1)求平均抗压强度 ? 的置信度为 95% 的置信区间。 (2)若已知 ? ? 30 ,求平均抗压强度 ? 的置信度为 95% 的置信区间。 解: (1) ? 的 1 ? ? 的置信区间为 ( X ? t? (n ?1)S / n );
2

…………(2 分)

) ? 2.2622 , ……(3 分) x ? 457.5, s ? 35.2176, n ? 10, ? ? 0.05 ,得 t0.025(10 ? 1
35.2176 t?(n ? 1 ) S / n ? 2.2622 ? 10 2 ?25.1936 ………………(4 分)

从而 ? 的置信度为 95%的置信区间为(432.3064,482.6936)……(5 分) (2) ? 已知时 ? 的 1 ? ? 的置信区间为 ( X ? z? /2? / n ); …………(7 分)

z? /2 ? z0.025 ? 1.96 ,……………………(8 分)
所求 ? 的置信度为 95%的置信区间为(438.9058,476.0942).…………(10 分)
概率论与数理统计 (A 卷) 第 5 页 共 8页

七、 (8 分)已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布,且标准差为 0.048,从某天产品 中抽取 5 根纤维, 测得其样本标准差 s ? 0.088 , 问这一天纤度的总体标准差是否正常? (取 ? ? 0.05 )
2 2 解:原假设 H0 : ? 2 ? ? 0 ? 0.0482 , H1 : ? 2 ? ? 0 ? 0.0482 ………………(2 分)

检验统计量, ? 2 ?

(n ? 1)s 2
2 ?0



2 (n ? 1) } 拒绝域, W ? { ? 2 ? ?12? ? (n ? 1) ,? 2 ? ? ?
2 2

( 3 分)

2 ? 2 ? ( n ? 1) ? ? 0.975 (4) ? 0.484 1? 2

2 ? ?2 (n ? 1)? ?0.025 (4) ? 11.143
2

W ? { ? 2 ? 0.484,? 2 ? 11.143} …………(5 分) s2 ? 0.007744, ………………………………(6 分)

?2 ?

(n ? 1)S 2

?

2

?

4 ? 0.007744 ? 13.4444 ? 11.143 ……………………(7 分) 0.0482

因为 ? 2 ?W ,故拒绝 H 0 .………………………………(8 分) 即在显著性水平 ? ? 0.05 下,认为纤度的总体标准差不正常.
? X ? X2 ? 八、 (5 分)设 X1 , X 2 来自 N (0, ? ) 的样本,试证明: ? 1 ? ? X1 ? X 2 ?
2
2

F (1,1)

证明: Y1 ?

X1 ? X 2 X ? X2 , E(Y1 ) ? E(Y2 ) ? 0, D(Y1 ) ? D(Y2 ) ? 1 , …………(1 分) , Y2 ? 1 2? 2?

所以, Y1

N (0,1), Y2
1 2?
2

N (0,1) , ……………………(2 分)

并且 E (Y1Y2 ) ?

2 E ( X 12 ? X 2 ) ? 0 , E(Y1 ) ? E(Y2 ) ? 0 ,………………(3 分)

E(Y1Y2 ) ? E(Y1 ) E(Y2 ) , 所以 Y1 , Y2 独立. ……………………(4 分)

Y2 从而 12 Y2

? X ? X2 ? F (1,1) , 即 ? 1 ? ? X1 ? X 2 ?

2

F (1,1) .………………(5 分)

概率论与数理统计 (A 卷) 第 6 页

共 8页

数理统计公式表及数据 一.正态总体均值、方差置信水平为 1 ? ? 的双侧置信区间 待估参数 其他参数 置信区间
(X ?

? ?

? 2 已知 ? 2 未知
? 未知

?
n

z? )
2

S (X ? t? (n ? 1) n 2

?2

(

(n ? 1) S 2 (n ? 1) S 2 , ) 2 ?? (n ? 1) ? 2 ? (n ? 1)
2 1? 2

二.两个正态总体均值差、方差比的置信水平为 1 ? ? 的置信区间 待估参数 其他参数 置信区间

?12 ,? 22 已知
?1 ? ?2

( X ? Y ? Z?
2

? 12
n1

?

2 ?2

n2

)

?12 ,? 22 未知,但 ?12 ? ? 22 ? ? 2

( X ? Y ? t? (n1 ? n2 ? 2) SW
2

1 1 ? ) n1 n2

2 ?12 / ? 2

μ1,μ2 未知

2 S12 / S2 S12 ( , 2 F? (n2 ? 1, n1 ? 1) ) F? (n1 ? 1, n2 ? 1) S2 2 2

2 其中 SW ?

2 (n1 ? 1)S12 ? (n2 ? 1)S2 n1 ? n2 ? 2

概率论与数理统计 (A 卷) 第 7 页

共 8页

三:正态总体均值、方差的检验法(显著性水平为 ? ) 原假设 H 0 备择假设 H1 检验统计量 拒绝域

? ? ?0 ? ? ?0 ? ? ?0 ( ? 2 未知)
2 ? 2 ? ?0

? ? ?0 ? ? ?0 ? ? ?0

T?

X ? ?0 S n

T ? t? (n ? 1) T ? ?t? (n ?1)

T ? t? (n ?1)
2
2 ? 2 ? ?? ? n ?1? 或

2 ? 2 ? ?0

? ??
2

2 2

2 ? 2 ? ?0 2 ? 2 ? ?0

2 ? 2 ? ?0 2 ? 2 ? ?0

?2 ?

(n ? 1) S
2 ?0

2

1?

?
2

? n ?1?

2 ? 2 ? ?? ? n ?1?

( ? 未知)

? 2 ? ?12?? ? n ?1?
T ? t? (n1 ? n2 ? 2) T ? ?t? (n1 ? n2 ? 2)

?1 ? ?2 ?1 ? ?2 ?1 ? ?2 2 ( ?12 ? ? 2 ??2 未
知)
2 ?12 ? ? 2

?1 ? ?2 ?1 ? ?2 ?1 ? ?2
2 w

T?

X ?Y 1 1 Sw ? n1 n2

2 (n1 ? 1) S12 ? (n2 ? 1) S2 S ? n1 ? n2 ? 2

T ? t? (n1 ? n2 ? 2)
2

2 ?12 ? ? 2

F ? F? ? n1 ? 1, n2 ? 1?
2



2 ?12 ? ? 2 2 ?12 ? ? 2 ( ?1 , ?2 未知)

2 ?12 ? ? 2 2 ?12 ? ? 2

S2 F ? 12 S2

F?F

1?

?
2

? n1 ?1, n2 ?1?

F ? F1?? ? n1 ?1, n2 ?1?

F ? F? ? n1 ?1, n2 ?1?

四:数据:
?(1.645) ? 0.95 , ?(1.96) ? 0.975 , ?(2) ? 0.9772 , ?(1.25) ? 0.8944,

t0.025 (9) ? 2.2622 ,

t0.025 (10) ? 2.2281,

t0.05 (9) ? 1.8331 , t0.05 (10) ? 1.8125 ,

2 2 2 2 (5) ? 0.831, ?0.975 (4) ? 11.143 , ?0.975 ?0.025 (5) ? 12.833 , ?0,025 (4) ? 0.484
2 2 (4) ? 9.488 , ?0.05 (5) ? 11.071 , ?0.05 2 2 (4) ? 0.711 ?0.95 (5) ? 1.141 , ?0.95

概率论与数理统计 (A 卷) 第 8 页

共 8页


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