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数学PPT课件之高中数学(人教版A版必修一)配套课件:第二章 2.1.1指数与指数幂的运算(二)_图文

数学PPT课件之高中数学(人教版A版必修一)配套课件:第二章 2.1.1指数与指数幂的运算(二)_图文

数学PPT课件之高中数学(人教版A版必修一)配套课件:第二章 2.1.1指数与指数幂的运算(二)

第二章 2.1 指数函数

2.1.1 指数与指数幂的 运算(二)

学习目标
1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化; 2.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值; 3.了解无理数指数幂的意义.

问题导学

题型探究

达标检测

问题导学

新知探究 点点落实

知识点一 分数指数幂

思考 根据n次方根的定义和数的运算,得出以下式子,你能从中总结

出怎样的规律?

①5 a10=5 ?a2?5=a2=

10
a5

(a>0);



a8=

?a4?2=a4=

8
a2

(a>0);

③4

a12=4

?a3?4=a3=

12
a4

(a>0).

答案 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为

分数指数幂的形式.

答案

一般地,分数指数幂定义:

m
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是:a n

n =

am (a>0,m,n∈N*,且

n>1);

1

m

(2)规定正数的负分数指数幂的意义是:

a

?

m n



an

(a>0,m,n∈N*,且

n>1);

(3)0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂 没有意义

.

答案

知识点二 有理数指数幂的运算性质 思考 规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到 了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还 适用? 答案 由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,有理数指数幂 是有意义的.
答案

整数指数幂的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即: (1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q); (2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q); (3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).

知识点三 无理数指数幂
一般地,无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的 实数 . 有 理 数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.

答案

返回

题型探究

重点难点 个个击破

类型一 根式与分数指数幂之间的相互转化

例1 用分数指数幂形式表示下列各式(式中a>0,x>0,y>0):

(1)a2· a;



a2·

a=a2·

1
a2

?

2? 1
a2

?

5
a2



(2)a3·3 a2;



a3·3

2
a2=a3·a 3

3? 2
?a 3

11
?a3



解析答案

(3) a a;

11

31

3

解 a a= (a ? a 2 )2 ? (a 2 )2 ? a 4 ;

解析答案

y2

x3 3 y6

(4)

x

y x3.

解 方法一 从里向外化为分数指数幂

y2 x

x3 3 y6 y x3

= y2

x3

(

y6

1
) 3=

x y x3

y2 x

x3 y2 y ·x



y2

1
(x2 ? y)2

? ( y2

11
? xy 2 )2

?

5
y4.

x

x

方法二 从外向里化为分数指数幂.

y2 x

x3 3 y

yx63=(yx2

x3 3

y6 1

y x3)2

=[yx2(xy3 3

y6 x3)

1 2

]

1 2

={yx2[xy3(yx63)

1 3

]

1 2

}

1 2

=(yx2)

1 2

x3 ·( y )

1 4

y6 ·(x3)

1 12

=y

5 4

.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练1 把下列根式化成分数指数幂:

(1)

6 8

2;



6 8

2=

6

23

1
?22

71

7

= (22 )6=212;;

(2) a a(a>0);

1

3

31

3



a a ? a ? a2= a2=(a2 )2=a4;

解析答案

(3)b3·3 b2;

2

11

解 b3·3 b2=b3·b3=b 3;

1

(4)

.

3

x?5 x2?2



3

1 x( 5 x2 )2


3

1
2
x ?(x5 )2


3

1
4
x ? x5


3

1
9
x5

=1 91 (x5 )3

=1 3 x5

=x?

3 5

.

解析答案

类型二 用指数幂运算公式化简求值 例2 计算下列各式(式中字母都是正数):

2
?1? ? 0.027 ? 3

+(

27

?
)

1
3-(2

7 )0.5;

125

9



2
? 0.027 ? 3

+(

27

?
)

1 3

-(2

7 )0.5

125

9

=(3 0.027)2+ 3 12275- 295=0.09+53-53=0.09;

解析答案

21

11

15

?2?(2a3b2 )(-6a2b3 ) ? (-3a6b6 );



原式

=[2

?

(-6)

?

(-3)]a

2 3

?

1 2

?

1 6

b

1 2

?

1 3

?

5 6

=4ab0=4a;

?

3?

m

?
?

m?1
1

?2
1

.

m 2 ? m2



m

? m?1
?1

?2
1

?

?1
(m 2 ?
?1

1
m2 )2
1

m 2 ? m2

m 2 ? m2

=m?

1
2+m

1 2

.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练 2

(1)化简:(

1

)

?1 3

? (- 7 )0+80.25

?

4

2+(3



3)6;

8

6

? ? 解

原式=

(-1)?(-1

8

3

)

?1+

23

11

1

1

4 ? 24+(23 )6 ? (32 )6

=2+2

3 4

?

1
4+22

?

33=112;

解析答案

?2 1
5x 3 y2

(2)化简:

(?

1

x?1

1
y2

)(?

5

1
x3

?1
y6

)



4

6

?2 1



5x 3 y2

(?

1

x?1

1
y2

)(?

5

1
x3

?1
y6

)

4

6

=5

?

(-4)

?

(-

6

)

?

(-2 )-(-1)-1

x3

3

?

y

1-1-(-1 22 6

)

5

1

1

=24x0 y 6=24y 6;

解析答案

(3)已知

x

1
2+x

?

1

x2+1

2=5,求 x 的值.





x

12+x-

1
2=5,两边同时平方得

x+2+x-1=25,

整理得:x+x-1=23,则有x2+x 1=23.

解析答案

类型三 运用指数幂运算公式解方程

例3 已知a>0,b>0,且ab=ba,b=9a,求a的值.

解 方法一 ∵a>0,b>0,又ab=ba,

? ? ? ? 1

1

a

1

? ab b = ba b ? a=bb ? a=?9a?9 ,

81
?a9=99 ? a8=32 ? a=4 3.

方法二 因为ab=ba,b=9a,所以a9a=(9a)a,

即(a9)a=(9a)a,所以 a9=9a,a8=9,a=4 3.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练 3 已知 67x=27,603y=81,求3x-4y的值.

3

4

解 由 67x=33,得 67=3x, 603y=81 得 603=3 y,

?

3

4 y

?

3
x=

603

=9=32,

67

∴4y-3x=2,故3x-4y=-2.

解析答案

返回

达标检测

2
1.化简 83 的值为( B )

A.2

B.4 C.6 D.8

1 23 45

答案

2.

?1
25 2

等于(

D

)

A.25

1

1

B.25

C.5

D.5

1 23 45

答案

3.用分数指数幂表示 ?a-b?3(a>b)为( C )

1
A.(a-b) 2

1
B.(b-a) 2

3
C.(a-b) 2

2
D.(a-b) 3

1 23 45

答案

3 4.( 6 a9)4 等于( D )

A.a16

B.a8

C.a4

D.a2

1 23 45

答案

5.计算 4 2+1 ? 22-2 2 的结果是( B )

A.32

B.16

C.64 D.128

1 23 45

答案

规律与方法
1.指数幂的一般运算步骤是:有括号先算括号里的;无括号先做指数 运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数,先确定符号,底数是 小数,先要化成分数,底数是带分数,先要化成假分数,然后要尽可 能用幂的形式表示,便于用指数运算性质. 2.根据一般先转化成分数指数幂,然后再利用有理数指数幂的运算性 质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中,一般采用由内到外逐 层变换为指数的方法,然后运用运算性质准确求解.
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