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指数与对数函数讲义

指数与对数函数讲义


杰中杰教育

先做人,后做事

指数与对数函数部分
1、 在指数函数 f ? x ? ? a x 中,其定义域 x 为 画出如下函数的图像

Ⅰ复习提问

,值域为

,a 的范围为

;横过点

。用描点法

1? ?1? f ? x ? ? 2 , ? 2? f ? x ? ? ? ? ? , ? 2?
x

x

1? ? 3? f ? x ? ? 3 , ? 4 ? f ? x ? ? ? ? ? ? 3?
x

x

2、在函数 f ? x ? ? a x 中,当 0 ? a ? 1 时,函数的单调性为 3、 a ? a ?
x y

,当 a ? 1 时,函数的单调性为





ax ? ay

, a

? ?

x y

?
, 值域为

。 。f ? x ? ? loga x

4、 在指数函数 f ? x ? ? loga x 中, 其定义域 x 为 的图像与 f ? x ? ? a x 的图像关于 5、loga m ? loga n ? 5、计算下列各式的值:

, a 的范围为 。 ,loga mn ?

; 横过点

对称,他们的关系为 ,loga m ? loga n ?

,logan m ?



log2 4 ? ____,log 1 4 ? ____,log4 2 ? ____.
2

6、用描点法画出如下函数的图像:

?1? f ? x ? ? log2 x, ? 2? f ? x ? ? log 1 x ?3? f ? x ? ? log3 x ? 4? f ? x ? ? log 1 x
2 3

7、在函数 f ? x ? ? loga x 中,当 0 ? a ? 0 时,函数的单调性为 8、若 lg 2 ? a, lg 3 ? b, 则 log 2 3 ? ___, log 3 2 ? ____, lg 6 ? ___, lg 。 log 1 8 ? ___,log 1 27 ? ___ (用 a , b 表示)
9 8

,当 a ? 1 时,函数的单调性为



2 ? ____, lg 36 ? ___ 3

9、已知函数 y1 ? a1 , y2 ? a2 , y3 ? a3 , y4 ? a4 的图像分别为 c1 , c2 , c3 , c4 ,
x x x x

如右图,则 a1 , a2 , a3 , a4 的大小关系为 10、已知 loga 2 ? logb 2 ,则 a 与 b 的大小关系为

。 。

11、零点定理的定义什么?怎么用?

1

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先做人,后做事

Ⅱ 题型与方法归纳
? ?单调性与不等式:根据指对数函数单调性 ? 解不等式。 ?1、单调性: ? ?复合函数单调性:同增异减 ? 求单调性。 ? ? ?1、形如y ? a x,y ? log a :1)画图 ? 2)标定义域。 ? ? o ?2、值域: ? ? ?1 :1)先求内层函数值域即外层函数的定义域 ? 2)再求外层函数值域。 ? 2 、复合函数: ? o ? ? ? ?2 :1)利用复合函数单调性画图象 ? 2)标定义域。 ? ? ? 题型与方法 ?3、反函数:利用反函数求解反函数。 ? ?1、直接比较:1)先同底 ? 2)利用函数的单调性比较。 ? ? 4 、比较大小: ? ? 1 2、取中间值:常取的中间值:0,1, ? ? ? 2 ? ? ? ?二分法:求零点所在的区间? 零点定理 ?。 ?5、方程与零点: ? ? ? ?图像法:求函数零点和方程根的个数。 ? ?

一、单调性: ?

?单调性与不等式:根据指对数函数单调性 ? 解不等式。 ?复合函数单调性:同增异减 ? 求单调性。
?2 x

1、单调性不等式问题:先同底,将其转化成一次或二次不等式或方程。 例一:解不等式 2x 解析: 2
x2 ? 2 x
2

?8。

? 23 , 函数y ? 2x 是定义域R上的增函数 ,只须 x2 ? 2 x ? 3 , 解 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 得, x ? 3或x ? ?1

所以不等式的解集为: x | x ? 3或x ? ?1 练习 1、解不等式 log 2 ? 2 x ? 1? ? log 1 ?

?

?

? 2? x ? ?。 2 ? x?3?

?1? 练习 2.若 2ax ?3ax ?1 ? ? ? ?4?
2

x2 ?3

恒成立,求实数 a 的取值范围。

2、复合函数单调性:同增异减。
x 例二、已知函数 f ? x ? ? 2
2

?2 x

在区间 ? a ?1, 2a ? 上单调递减,求 a 的取值范围。

解析: 已知函数 y ? 2 在R上单调递增, , 所以只须 g ? x ? ? x ? 2x在区间? a ?1,2a ? 上单调递减 , 只须 ?
x

2

? a ? 1 ? 2a , ? 2a ? 1

2

杰中杰教育 1 得 ?1 ? a ? 。 2

先做人,后做事

练习 1.已知函数 f ? x ? ? log 1 x2 ? 2ax ?1 在区间? ?2,3? 上单调递增,求实数a的取值范围。
2

?

?

x 练习 2、若函数 f ? x ? ? 2

2

? ax ? 2

在区间? 2,5 ? 上单调递增,求实数a的取值范围。

2 练习 3、已知函数 f ? x ? ? log 2 x ? 2 x ? 3 ,求函数 f ? x ? 的单调递减区间。

?

?

?1、形如y ? a x,y ? log a :1)画图 ? 2)标定义域。 ? o 二、值域: ? ? ?1 :1)先求内层函数值域即外层函数的定义域 ? 2)再求外层函数值域。 ? o ?2、复合函数: ? ?2 :1)利用复合函数单调性画图象 ? 2)标定义域。 ?
x 例二、已知函数 f ? x ? ? 2
2

?2 x

,求函数 f ? x ? 的值域。
2

t 解析: 令t ? x ? 2 x ,先求 t ? x ? 2 x 的值域,画图标定义域即可求出 t ?? ?1, ??? ,再求 f ?t ? ? 2 , t ???1, ??? 的
2

值域,只须画图,标定义域即可。

?1? 练习 1、已知函数 f ? x ? ? ? ? ?3?

x2 ? 4 x ? 2

x ? ? ?1,3? ,求函数 f ? x ? 的值域。

2 2、已知函数 f ? x ? ? ln 4 ? 3 x ? x ,求函数 f ? x ? 的值域。

?

?

三、反函数问题:根据指数函数与对数函数互为反函数的性质来求解。
3

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注:求反函数的问题,一定要注意要标明反函数定义域。 例三.已知函数 f ? x ? ? 22 x?1 ? 3 ,求函数 f ? x ? 的反函数。

先做人,后做事

练习: 1、 已知函数 f ? x ? ? log2 ? x ? 2? ?1,求函数 f ? x ? 的反函数。

2、 已知函数 f ? x ? ? e1? x ? 2 ,求函数 f ? x ? 的反函数。

?1、直接比较:1)先同底 ? 2)利用指数和幂函数的单调性比较。 四、比较大小: ? ? 1 2、取中间值:常取的中间值:0,1, ? ? 2
? 3 ?3 例四、已知 a ? 2 , b ? ? ? , c ? 2 5 ,比较 a, b, c 的大小。 ?2?
1 2 解析: 先比较同底数的 a , c 的大小, 由函数 y ? 2x 单调递增, 又 ? , 所以 a ? c , 再比较相同指数的 a , b 3 5
1 3 1 2

的大小,又函数 y ? x 3 单调递增,所以 b ? a ,所以 b ? a ? c 。 练习: 1、已知 a ? log2 3, b ? log3 2, c ? log 1 2
3

1

比较 a, b, c 的大小。 ,

? 2 ?2 2、已知 a ? 2 , b ? ? ? , c ? 2 2 比较 a, b, c 的大小。 ?3? ,

2 3

1

1

3、已知 a ? log2 3.2, b ? log4 3.6, c ? log2 3.6 ,比较 a, b, c 的大小。

五、零点与方程: ? ?

?二分法:求零点所在的区间? 零点定理 ?。 ? ?图像法:求函数零点和方程根的个数。

例五、函数 f ( x) ? log2 x ? 2x ? 1 的零点必落在区间(



4

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?1 1? A. ? , ? ?8 4?

先做人,后做事 B.
?1 1? ? , ? ?4 2?
1 4

?1 ? C. ? ,1? ?2 ?
1 2

D. ?1, 2 ?

解析:确定零点所在的区间,选择二分法。 1 0 8

1

2

f ? x?

f ? x? ? 0

f ? x? ? 0

f ? x? ? 0

f ? x? ? 0

?1 ? 所以零点在区间 ? ,1? 所以选择 C ?2 ?,

练习: 1、函数 f ( x) ? log2 x ? 2x ? 6 的零点必落在区间( A. ) D. ) D. (1.75,2)

? 0,1?

B.

?1, 2?

C.

? 2,3?

? 3, 4?

2、若 x0 是方程式 lg x ? x ? 2 的解,则 x0 属于区间( A. (0,1). B. (1,1.25).
x 1

C. (1.25,1.75) )

?1? 3.若 x0 是方程 ? ? ? x 2 的解,则 x0 属于区间( ?2?
?2 ? A. ? ,1? ?3 ?

B.

?1 2? ? , ? ?2 3?

?1 1? C. ? , ? ?3 2?

? 1? D. ? 0, ? ? 3?

?x 2 例六、方程 2 ? x ? 3 的实数解的个数为

.

解析:求零点与方程解的个数选择图像法,将方程整理为 2? x ? 3 ? x2 ,转化为求 y ? 2? x 与y ? 3 ? x2 的交 点问题,分别画出函数图象,很直观的可以看出有 3 个交点。 练习: 1、函数 y ? 2x ? x 2 零点的个数为 。

2、函数 y ?

ln x 2 与函数 y ? x ? 2ex ? 2 交点的个数为 x



Ⅱ趁热打铁
3 1、计算 3(? 8) =

? 16 ? 4 2、计算 ? ? = ? 81 ?
5

?

3

3、计算 4 (3 ? ? ) 4 =

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1 1 1 1 5 ? 2 ?? ? 3 2 ?? 2 3? ? 4、计算 ? 2 a b ? ? ? 6 a b ? ÷(-3 a 6 b 6 )= ? ?? ?

先做人,后做事

5、计算 lg 2 5 ? lg 2 ? lg 50 = 6、 log8 9 等于(
log2 3

) (B)1 ( ) (C) –3a (D)
3 a

(A) 2

3

(C) 3
2

(D)2

7、设 log35=a,则 log527 等于 (A)
a 3

(B) 3a

8.若 log9 x ? log4 3 ? (log3 4 ? log4 3) 2 ? ( A.4 B.16

log4 3 log3 4 ? ) ,则 x ? log3 4 log4 3
C.256 D.81





9、计算: (log 4 3 ? log 8 3)(log 3 2 ? log 9 2) ? log 1 4 32
2

10、 (1) a ? log 3 tg 60o , b ? log2 sin30o , c ? log3 tg 45o (2) a ? log2 3, b ? log3 2, c ? log 1 2
3

(3) a ? 30.3 , b ? log3 2, c ? 20.3 11.函数 y ? ? a 2 ? 1? 在 ? ??, ??? 上是减函数,则 a 的取值范围是(
x

)

A、 a ? 1

B、 a ? 2

C、 a ? 2

D、 1 ? a ? 2

12、已知函数 f ? x ? ? log 2 ? x 2 ? 2 x ? 3? ,求函数 f ? x ? 的单调递减区间。

13、若函数 f ? x ? ? 2 x

2

? ax ? 2

在区间? 2,5 ? 上单调递增,求实数a的取值范围。

14、已知函数 f ? x ? ? log 1 ? 2x2 ? 3ax ?1? 在区间 ? ?2,1? 上单调递增,求实数 a 的取值范围
3

6

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15.若函数 f ( x) ? log1 ( x 3 ? ax)在(?3,?2) 上单调递减,则实数 a 的取值范围是(
2



A.

[9,12]

B.[4,12]

C.[4,27]

D.[9,27] . )

16.若 log(1?k ) (1 ? k ) ? 1 ,则实数 k 的取值范围是

17.函数 y ? f (2 x ) 的定义域为[1,2],则函数 y ? f (log2 x) 的定义域为 ( A.[0,1] B.[1,2] C.[2,4] D.[4,16]

18 . 已 知 函 数 f ( x) ? log a ( x ? 是 .
? x2 ? 2 x ? 2

a x

? 4)(a ? 0, 且a ? 1) 的 值 域 为 R , 则 实 数 a 的 取 值 范 围

?1? 19、已知函数 f ? x ? ? ? ? ?3?

x ? ? ?2,3? ,求函数 f ? x ? 的值域。

20、已知函数

f ? x ? ? a2x

2

? 3 x ?1

,

g ? x? ? ax

2

? 2 x ?5

? a ? 0且a ? 1? ,若 f ? x? ? g ? x?

,求 x 的取值范围。

?1? 21、函数 f ? x ? ? ? ? ?2?

2 x ? x2



求:(1) f ? x ? 的值域.(2)当 x ?? ?1, 2? ,求 f ? x ? 的值域。

22、已知函数 f ? x ? ? log 2 ? 3 ? 2 x ? x 2 ? ,求: (1)函数 f ? x ? 的定义域。 (2)函数 f ? x ? 的值域。

2 23、已知函数 f ? x ? ? log 2 ? ?? m ? 1? x ? 2 x ? 3m ? ?

(1)若函数 f ? x ? 在区间 ? ?1,1? 上单调递增,求实数 m 的取值范围。

7

杰中杰教育 (2)若函数 f ? x ? 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围。 (3)若函数 f ? x ? 的值域为 R,求实数 m 的取值范围。

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Ⅲ温固?强化
1、化简
x
2 3

y 1? 2 x
3

÷

x ? 2 xy ? 4 y
3

2 3

2 3

8 yx ? x

1 3

4 3

=

2、计算 lg14-21g

7 ? lg 7 ? lg18 = 3

3、设 a,b,c 都是正数,且 3a=4b=6c,那么( (A) 1 ? 1 ? 1 (B) 2 ? 2 ? 1 (C) 1 ? 2 ? 2
c a b c a b c a b

) (D) 2 ? 1 ? 2
c a b

4、已知 lg m ? b ? 2lg n ,那么 m 值为 (A)
b 2n

(

) (C)b-2n (D)

(B)

b n2

10b n2

5、已知 log5 2 ? a, 则 2 log5 10 ? log5 0.5 的值为
1 1 ? n n a ? b 6、将 ? ? ?

?3 ? 表示成根式的形式是( ? ?
1 n

1



(A) a ? b

3

1 n

(B)

?

n

a? b
n

?

1 3

(C) 3

n

a ?n b

(D)

?

n

a ?n b

?

3

7、当 0 ? a ? 1 时, a, a a , a a 的大小关系是
a a A、 a ? a ? a
a

a


aa



B. a a ? a a ? a

a

C、 a

? a ? aa

D. a a ? a ? a a .

a

8、方程 log4 ?3x ?1? ? log4 ? x ?1? ? log 4 ?3 ? x ? 的解是 9.指数方程 2 A. {2}
2 x ?1

? 9 ? 2x ? 4 ? 0 的解集是
B. {-1}
1 C. { } 2
8



) D. {-1, 2}

杰中杰教育 10. loga x ? x ? 2

先做人,后做事

? 0 ? a ? 1? 的实数解的个数是
C. 2



) D. 3

A. 0 B. 1 11、比较 a、b、c 的大小 (1) a ? 30.3 , b ? log0.2 0.5, c ? 0.33

(2) a ? 30.3 , b ? log0.2 0.5, c ? 0.33

(3) a ? 5

log2 3.4

,b ? 5

log 4 3.6

?1? ,c ? ? ? ?5?
2

log3 0.3

12、已知函数 f ? x ? ? a ?2 x

?3 x ? 2

,讨论函数 f ? x ? 的单调区间。

13、已知函数 f ? x ? ? a2 x ? 2a x ?1 ,求函数 f ? x ? 的单调区间和值域。

14.已知函数 f ? x ? ? log a ? ? x 2 ? ax ? 2 ? 在区间 ? ??,1? 上单调递减,求 a 的取值范围。

2 15、已知函数 f ? x ? ? log 2 ax ? 2 x ? 3a

?

?

(1)若函数 f ? x ? 在区间 ? ?1,1? 上单调递增,求实数 a 的取值范围。 (2)若函数 f ? x ? 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围。 (3) 若函数 f ? x ? 的值域为 R,求实数 a 的取值范围。

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