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金榜题数学试题一(文科附标准答案)

金榜题数学试题一(文科附标准答案)

五月金榜题数学试题一
文科数学

答案及解答

一.选择题 BAACACCBDBDD
二.填空题

13. 5 ;14. 27 :1;15.[ 2 ,1) ;16.② 2

三.解答题

17.解:(1)? S ? 1 | BA| ? | BC | sin B ,又由 BA? BC ?| BA| ? | BC | cosB 2

即| BA | ? | BC |? 6 ,得 S ? 3? sin B ? 3tan B ,┅┅2 分

cosB

cosB

又 3 ? S ? 3 ,所以 3 ? 3 tan B ? 3 ,即 3 ? tan B ? 1 3

而 0 ? B ? ? ,所以 ? ? B ? ? 。┅┅5 分

6

4

(2)f (? ) ? 2 cos? ? (sin ? ? cos? ) ?1 ? 2 cos? sin? ? 2 cos2 ? ?1 ? sin 2? ? cos 2? ? 2

? 2 sin(2? ? ? ) ? 2 ┅┅7 分 4

由题意可知? ? ? ? B

由(1)知 ? ? B ? ? ,所以 3? ? ? ? 5? ┅┅8 分

6

4

4

6

由正弦函数性质可知 f (? ) 在区间[3? , 5? ] 上为增函数。┅┅10 分 46

所以当?

?

3? 4

时,

f min (? ) ?

f (3? ) ? 4

2 sin 7? ? 2 ? 4

2 ? (? 2 ) ? 2 ? 1┅┅12 分 2

18.解:(I)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai (i ? 1,2,3,4) ,则

P( A1 )

?

4 5



P( A2 )

?

3 5



P( A3 )

?

2 5



P( A4 )

?

1 5

所以该选手进入第四轮才被淘汰的概率为

P4

?

P( A1 A2 A3

A4 )

?

P( A1)P( A2 )P( A3 )P( A4 )

?

4 5

?

3? 5

2 5

?

4 5

?

96 .…………6分 625

(II)该选手至多进入第三轮考核的概率为

P3 ? P(A1 ? A1 A2 ? A1A2 A3 ) ? P(A1) ? P(A1)P(A2 ) ? P(A1)P(A2 )P(A3 ) ? 1 ? 4 ? 2 ? 4 ? 3 ? 3 ? 101 .…………12分 5 5 5 5 5 5 125
19.解法一:(I)连接 B1C ,由题意知, AD// BC ,

∴ AD与 B1C 所成的角为 ?B1CB 。 ∵ ?B1CB ? 45 0 ,

F D

z
B1
x
C

∴ AD与 B1C 所成的角为 45°. ………………3 分

yA

E

B

(II)取 B1D 的中点 F ,连结 EF ,以 B 为原点, BC 、

BA、BB1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系。则 B1 (0,0,2a) ,

D(2a,2a,0) , E(0, a,0) , C(2a,0,0) , F(a, a, a)

所以 DB1 ? (?2a,?2a,2a) , DC ? (0,?2a,0) , EF ? (a,0, a)

EF ? DB1 ? ?2a2 ? 2a2 ? 0 , EF ? DC ? 0

所以 EF ? DB1 , EF ? DC

故 EF ? 平面 B1CD ,而 EF ? 平面 EB1D

所以平面 EB1D ? 平面 B1CD ………………8 分

(III)取 B1C 的中点 G ,连接 FG 、EG ,由条件知 DC ? 平面 B1BC ,可得 DC ? B1C ,

而 FG// DC ,所以 FG ? B1C ,由(II)知 EG ? B1C ,
所以 ?EGF 就是二面角 E ? B1C ? D 的平面角。 又 FG ? 1 DC ? a , EC ? 5a , GC ? 2a
2 所以 EG ? 3a

F D

z

B1

G

x

C

于是 cos?EGF ? a ? 3 3a 3

yA

E

B

即二面角 E ? B1C ? D 的余弦值为

3 . ………………………………12 分 3

20.解:(I)因为函数 f (x) , g(x) 的图象都过点( t ,0),所以 f (t) ? 0 , g(t) ? 0,.

即 t 3 ? at ? 0 , bt 2 ? c ? 0,. 因为 t ? 0, 所以 a ? ?t 2 . c ? ab.┅┅2 分

又因为 f (x) , g(x) 在点( t ,0)处有相同的切线,所以 f ?(t) ? g?(t).

而 f ?(x) ? 3x2 ? a, g?(x) ? 2bx,所以3t 2 ? a ? 2bt.

将 a ? ?t 2 代入上式得 b ? t. 因此 c ? ab ? ?t 3. 故 a ? ?t 2 , b ? t , c ? ?t 3. ┅┅6 分
(II)解法一
y ? f (x) ? g(x) ? x3 ? t 2 x ? tx2 ? t 3 , y? ? 3x2 ? 2tx ? t 2 ? (3x ? t)( x ? t) .

当 y? ? (3x ? t)(x ? t) ? 0 时,函数 y ? f (x) ? g(x) 单调递减.

由 y? ? 0 ,若 t ? 0,则 ? t ? x ? t ;若 t ? 0,则t ? x ? ? t . ┅┅9 分

3

3

由题意,函数 y ? f (x) ? g(x) 在(-1,3)上单调递减,则

(?1,3) ? (? t ,t)或(?1,3) ? (t,? t ).

3

3

所以 t ? 3或 ? t ? 3.即t ? ?9或t ? 3. 3

又当 ? 9 ? t ? 3时,函数 y ? f (x) ? g(x) 在(-1,3)上不是单调函数.

所以 t 的取值范围为 (??,?9] ?[3,??).┅┅12 分
解法二:
y ? f (x) ? g(x) ? x3 ? t 2 x ? tx2 ? t 3 , y? ? 3x2 ? 2tx ? t 2 ? (3x ? t)( x ? t)

因为函数 y ? f (x) ? g(x) 在(-1,3)上单调递减,且 y? ? (3x ? t)(x ? t) 是(-1,3)

上的抛物线,





? ? ?

y? y?

| |

x??1 ? 0, x?3 ? 0.



?(?3 ? t)(?1? t) ? ??(9 ? t)(3 ? t) ? 0.

0.

解得

t

?

?9或t

?

3.

又当

?

9

?

t

?

3时,函数

y ? f (x) ? g(x) 在(-1,3)上不是单调函数.

所以 t 的取值范围为 (??,?9] ?[3,??).

21.解:(I)设 an

?

21 ? (n ?1)d (d

?

0) ,则 Sn

?

21n ?

n(n ?1) d,? 1

2

n

Sn

?

21 ?

n ?1d 2

,

?1 10

S10

?

21 ?

9 2

d, 1 19

S19

?

21? 9d, 1 16

S16

?

21? 15 d.┅┅2 2



由题设可知:

(1 16

S16

)

2

?

(1 10

S10

)( 1 19

S19

)

,即

(21

?

15 2

d

)

2

?

(21 ?

9 2

d)(21? 9d)

解得 d ? ?2, ? an ? 21 ? 2(n ?1) ? 23 ? 2n ┅┅5 分

(II)由 an ? 23 ? 2n ? 0 ,得 n ? 12

所以当 n ? 10 时, bn ? an an a ?1 n?2 ? 0

当 n ? 11时, bn ? an an a ?1 n?2 ? 0 ,┅┅7 分

而 Tn ? Tn?1 ? bn ,所以当 bn ? 0 时, Tn ? Tn?1 ;当 bn ? 0 时,Tn ? Tn?1 ;

所以 n ? 10 时,{Tn } 递增;当 n ? 11时,{Tn } 递减。┅┅9 分

又 b10 ? a10a11a12 ? ?3 ,b11 ? a11a12a13 ? 3 ,?T9 ? T11 ,?n ? 9 或 11 时{Tn } 取最大值。
┅┅12 分
22.解:(I)由抛物线方程得焦点 F(1,0) 。

设椭圆

C1

的方程为

x a

2 2

?

y2 b2

? 1 (a ? b ? 0)

解方程组

? ?

y

2

?

4x

得 C(1,2) , D(1,?2) 。┅┅2



?x ? 1

由于 C1 , C2

都关于

x

轴对称,所以

| |

FC FA

| |

?

| CD | AB

| |

?

4 3

,|

FA |?

3 4

?

2

?

3 2

所以 A(1, 3) ┅┅4 分 2

? 1 ? 9 ? 1,又? a2 ? b2 ? c2 ? 1,则 1 ? 9 ? 1

a 2 4b2

b2 ? 1 4b2

解得 b2 ? 3 ,并推得 a2 ? 4

故椭圆 C1 的方程

x2 4

?

y2 3

? 1┅┅6 分

(II)设 l

:

x

?

ty

?

1

,解方程组

? ?

y

2

?

4x

,消元得 y 2 ? 4ty ? 4 ? 0 ┅┅8 分

?x ? ty ?1

?? ? 16t 2 ?16 ? 0

?| PQ |? 1? t 2 ? 16t 2 ?16 ? 4(t 2 ?1) ┅┅9 分

再解方程组

?3x 2 ?

?

4y2

? 12

?

0



(3t 2 ? 4) y 2 ? 6ty ? 9 ? 0 ┅┅11 分

?x ? ty ?1

? ? 36t 2 ? 36(3t 2 ? 4) ? 0

?| MN |?

1? t2

? 12 1 ? t 2 3t 2 ? 4

?

12(t 2 ? 1) 3t 2 ? 4

┅┅12



? | PQ | ? 5 ,即 4(t 2 ? 1) ? 5 | MN | 3 12(t 2 ? 1) 3 3t 2 ? 4

所以 t ? ? 3 ┅┅13 分 3
所以直线 l 的方程为 y ? 3x ? 3 或 y ? ? 3x ? 3 ┅┅14 分


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