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函数、极限与连续习题

函数、极限与连续习题

第一章 函数、极限与连续
1.求函数的定义域
(1)设函数 f ?x? ? ln?3x ? 1? ? 5 ? 2x ? arcsin x 的定义域是(
? 1 5? A. ? ? , ? ? 3 2? 5? ? B. ? ? 1, ? 2? ? ? 1 ? C. ? ? ,1? ? 3 ?

)

D. ?? 1,1?

y ? arcsin

(2)设函数

x ?1 1 ? 3 16 ? x 2 ,则函数的定义域为_________

(3)已知函数 y ? f ? x ? 的定义域是 ?0,1? ,则 f x 2 的定义域是
2 (3)函数 y ? 3 ? x ? log2 ( x ? 1) 的定义域为(

? ?

) D. [ 3,??)

A. [0, 3]

B. [?1, 3]

C. (?1, 3]

2.相同函数的判断
(1)下列各结函数中表示同一函数的是 ( A. f ( x) ? x与g ( x) ? tan(arctan x)
2 C. f ( x) ? x ? 1 g ( x) ? x ? 1



B. f ( x) ? lg( x ? 1) 2 与g ( x) ? 2 lg( x ? 1) D. f ( x) ? x ? 2 与g ( x) ? x ? 2
x?2

x ?1

x?2

3.求函数的表达式
(1)设 f(x+1)= x
2

? x ,则 f(x)为_________
1 )=x,x 为任意实数且 x 不等于 0,求 f(x) x

(2)已知 f(x)满足 2f(x)+f(

4.函数的奇偶性、有界性、周期性的判断
sin x (1) 设函数 f ( x) ? x ? tan x ? e , 则 f(x)是(

) (d) 单调函数

(a) 偶函数 (b) 无界函数 (2)下列函数中为奇函数的是( A.
y? sin x x2

(c) 周期函数 )
2 x ? 2?x sin x 2 C.

B. y ? xe

?

2 x

2 D. y ? x cos x ? x sin x

(3) (a) y ?| sin x | ; (b) y ? 1 ? sin πx ;

2 (c) y ? x tan x ; (d) y ? cos x .

5.反函数的求法
(1)函数 y ? 10x?1 ? 2 的反函数是( A. y ? lg
x x?2

) C. y ? log 2
1 x

B. y ? logx 2

D. y ? 1 ? lg?x ? 2?

6.无穷小量的比较
(1)当 x→0 时,x-sinx 是比 x 的(
2



A.低阶无穷小 B.高阶无穷小 C.等价无穷小 D.同阶但非等价无穷小

7.求函数的方法 (1) lim 3n
? n ?1 (2) xlim 3 ??? n?? n ? 4n2 ? 1
2
x

?

x2 ? x ? x2 ? 1

? (3) lim

x3 ? 1 x ?2 x 2 ? 5 x ? 3

? x ?5? (4) lim ? ? x ?? x ? 5 ? ?

1 ? cos 2 x (5) lim x ?0 x sin x

81 19 ? 4 x ? 7 ? ?5 x ? 8? (6) lim x ?? ?2 x ? 3?100

8.函数的连续性

? x2 ? (1)若 lim? ? ax ? b ? ? ? ? 0 , a , b 均为常数,则 a ? x ?? x ? 1 ? ?

,b ?

? x2 ? 2x ? b , x ? 1, ? f ( x) ? ? x ? 1 f ( x) ? A ? a, x ? 1 适合 lim x ?1 ? (2) 设 , 则以下结果正确的是 ( ) .
A. a ? 4, b ? ?3, A ? 4 ; B. a ? 4, A ? 4, b 可取任意实数;

C. b ? ?3, A ? 4, a 可取任意实数;D. a, b, A 都可取任意实数. 9.函数间断点的判断 (1)求下列函数的间断点,并判别间断点的类型
y? x

(a)

?1 ? x ?

2

,(b)

y?

x x ,

10.方程根的存在性(零点定理)
(1)证明方程 x ln x ? 2 在 (1, e) 内至少有一实根.
5 (2)证明方程 x ? x ? 1 有正实根.


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