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四川省南充高级中学高三考前模拟考试数学(文)试题+Word版含答案

四川省南充高级中学高三考前模拟考试数学(文)试题+Word版含答案

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南充高中 2018 届高三考前模拟考试

高三数学(文)试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考 试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题,60 分)

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项

中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合 A ? {x | ln x ? 1}, B ? {x | 2x ?1? 0},则 A B ? ( ) 2

(??, 1] A. 2

B. (??, e]

C. (0, e ]

(0, 1 ] D. 2

2.已知复数 z ? 3 ? bi ?b ? R? 的实部和虚部相等,则 z ? (

)

i

A. 2

B. 3 C. 2 2

D. 3 2

3.下列命题正确的个数是( )

①命题“ ?x0 ? R, x02 ?1 ? 3x0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ?1 ? 3x ”;

②函数 f ? x? ? cos2 ax ?sin2 ax 的最小正周期为? 是“ a ?1”的必要不充分条件;

? ? ③ x2 ? 2x ? ax 在 x??1,2? 上恒成立 ?

x2

? 2x

min

?

?

ax

? max



x

??1,

2?

上恒成立;

④“平面向量 a 与 b 的夹角是钝角” 的充分必要条件是“ a b ? 0 ”.

A.1

B.2

C.3

D.4

4.已知点 P 的坐标(x,y)满足

,过点 P 的直线 l 与圆 C:x2+y2=16 相

交于 A,B 两点,则|AB|的最小值为 (



A.

B.

C.

D.

5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行

健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔

细算相还.”其意思为:“有一个人走 378里路,第一天健步行走,从第二天起

脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6 天后到达目的地”,请问第 3 天比

第 5 天多走

A.12 里 B.24 里

C.36 里

D.48 里

6.设方程 2x|lnx|=1 有两个不等的实根 x1 和 x2,则(



A.x1x2<0

B.x1x2=1

C.x1x2>1 D.0<x1x2<1

7.某程序框图如右图所示,其中

g(x)

?

1 x2 ?

x

,若输出的

S ? 2016 ,则判断框内应填入的条件为(



2017

A. n ? 2017

B. n ? 2017

C. n ? 2017

D. n ? 2017

6.如图,小正方形的边长为1,粗线画出的是某空间几何体的三

视图,则该几何体的体积可能为( )

A. 8 3

B.16

C. 16 3

D. 32

9.为得到函数 y ? 2 cos2 x ? 3 sin 2x的图象,只需将函数 y ? 2 sin 2x ? 1的图像

()

A.向左平移 π 个长度单位 B.向右平移 π 个长度单位

12

12

C.向左平移 5π 个长度单位 D.向右平移 5π 个长度单位

12

12

10.已知双曲线的渐近线方程为 y ? ? 1 x ,则双曲线的离心率( )
2

A. 3
2

B. 5
2

C. 5 或 5
2

D. 3 或 3
2

11.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”,

设 ?ABC 三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,面积为 S ,则 “三斜求积”公

式为 S ?

1 4

? ?a2c2 ??

? ??
?

a2

?

c2 2

? b2

?2 ? ?? ? ??

.若

a2

sin C

?

4 sin

A,? a

?

c?2

? 12

?

b2

则用“三斜求积”

公式求得 ?ABC 的面积为( )

A. 3

B.2

C.3

D. 6

12.若存在 m ,使得关于 x 的方程 x ? a?2x? 2m? 4ex? ??ln? x? m? ? lnx?? ? 0成立,
其中 e 为自然对数的底数,则实数 a 的取值范围是( )

A. ???,0?

B.

? ??

0,

1 2e

? ??

C.

? ??,

0?

?

? ??

1 2e

,

??

? ??

第Ⅱ卷(非选择题,90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分)

D.

? ??

1 2e

,

??

? ??

13.曲线 f (x) ? x3 ? x ? 3在点 P(1, f (1)) 处的切线方程为_____________.

14.若| a |? 1,| b |? 2 , c ? a ? b ,且 c ? a ,那么 a 与 b 的夹角为



15.已知

sin

2?

?

1 4

,则

2 cos2

? ??

?

?

π 4

? ??

?

__________.

16.在正三棱锥 V-ABC 内,有一个半球,其底面与正三棱锥的底面重合,且与正

三棱锥的三个侧面都相切,若半球的半径为 2,则正三棱锥的体积最小时,其底

面边长为

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.)

17. (本小题满分 12 分)

在各项均不相等的等差数列?an? 中,已知 a4 ? 5 ,且 a3 , a5 , a8 成等比数列,

(1)求 an ;

(2)设数列?an? 的前 n 项和为 S n ,记 bn

?

n?3 2an ? Sn

,求数列?bn ?的前 n 项和Tn .

18. (本小题满分 12 分) 某中学高三年级有学生 500 人,其中男生 300 人,女生 200 人。为了研究学
生的数学成绩是否与性别有关,采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名学生, 统计了他们期中考试的数学分数,然后按照性别分为男、女两组,再将两组的分
数分成 5 组:?100,110?,?110,120?,?120,130?,?130,140?,?140,150?分别加以统计,
得到如图所示的频率分布直方图。
(I)从样本分数小于 110 分的学生中随机抽取 2 人,求两人恰为一男一女的概 率; (II)若规定分数不小于 130 分的学生为“数学尖子生”,请你根据已知条件完成 2×2 列联表,并判断是否有 90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”? 附表:
19.(本小题满分 12 分) 在矩形 ABCD所在平面? 的同一侧取两点 E 、 F ,使
DE ? ? 且 AF ? ? ,若 AB ? AF ? 3 , AD ? 4 , DE ?1 . (1)求证: AD ? BF (2)取 BF 的中点 G ,求证 DF // 平面AGC

(3)求多面体 ABF - DCE 的体积.

20. (本小题满分 12 分)已知抛物线 C : x2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F ,M、N 是 C 上 关于焦点 F 对称的两点, C 在点 M 、点 N 处的切线相交于点 (0 , ? 1) .
2 (1)求 C 的方程; (2)直线 l 交 C 于 A、B 两点,kOA ? kOB ? ?2 且 ?OAB 的面积为16 ,求 l 的方程。
21.(本小题满分 12 分) 设函数 f (x) ? ln x ? ax2 ? ax , a 为正实数. (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)求证: f (1) ≤0 ; a (3)若函数 f (x) 有且只有1个零点,求 a 的值.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,曲线

C1

的参数方程为

?x

? ?

y

? ?

2 cos? 2 ? 2sin?

(?

为参数).以

坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为

? ? 4cos? .

(1)求曲线 C1 的极坐标方程;

(2)射线 ?

?

? 3

??

?

0? 与曲线 C1 ,C2 分别交于

A , B 两点(异于原点 O ),定点

M ?2,0? ,求 △MAB 的面积.

23.(10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知|x1-2|<1,|x2-2|<1. (1)求证:2<x1+x2<6,|x1-x2|<2;

(2)若 f(x)=x2-x+1,求证:|x1-x2|<|f(x1)-f(x2)|<5|x1-x2|.

高三数学(文)参考答案

一、选择题: DDBA CBAB CCAC

二、填空题: 13. 2x ? y ?1 ? 0 14. 1200 .

15.5/4

16.6

三、解答题:

17. 解:(1)设?an ?的公差为 d (d ? 0) ,由题意得

?a1 ? 3d ? 5 ??(a1 ? 4d )2 ? (a1 ? 2d )(a1 ? 7d ) , ??d ? 0

解得

???da1

?2 ?1



…………2 分 …………4 分

所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? (n ?1) ?1 ? n ? 1

…………6 分

(2)由(1)知 Sn

?

n(n ? 2

3)

,所以

bn

?

n?3 2an ? Sn

? 1 ?1? 1 n(n ? 1) n n ? 1

…8 分

所以 Tn

? b1 ? b2 ?L

? bn

? (1? 1) ? (1 ? 1) ?L 2 23

?( 1 ? 1)?(1 ? 1 ) n ?1 n n n ?1

?1? 1 ? n n?1 n?1

故 Tn

?

n n ?1

…………12 分

18.解析:(Ⅰ)由已知得,抽取的 100 名学生中,男生 60 名,女生 40 名,

分数小于等于 110 分的学生中,男生人有 60×0.05=3(人),记为 A1,A2,A3;

女生有 40×0.05=2(人),记为 B1,B2;

………………2 分

从中随机抽取 2 名学生,所有的可能结果共有 10 种,它们是:

(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2), (A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2); 其中,两名学生恰好为一男一女的可能结果共有 6 种,它们是:

(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3B2);

………4 分

故所求的概率为 P= 6 = 3 . 10 5

………………6 分

(Ⅱ)由频率分布直方图可知,

在抽取的 100 名学生中,男生 60×0.25=15(人),女生 40×0.375=15(人);

…7 分

据此可得 2×2 列联表如下:

数学尖子生

非数学尖子生 合计

男生

15

45

60

女生

15

25

40

合计

30

70

100

(9 分)

所以得 ? 2 ? n(n11n22 ? n12n21)2

100(15? 25 ?15? 45)2 =

? 1.79 ;

n1? n2? n?1n? 2

60? 40? 30? 70

因为 1.79<2.706,

……11 分

所以没有 90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”

………………12 分

19.解:(1)证明:取 PD 中点 Q,连结 AQ、EQ.∵E 为 PC 的中点,∴EQ∥CD 且 EQ= CD.…

又∵AB∥CD 且 AB= CD,∴EQ∥AB 且 EQ=AB.…∴四边形 ABED 是平行四边形,
∴BE∥AQ.…又∵BE?平面 PAD,AQ?平面 PAD, ∴BE∥平面 PAD.…6 分 (2)解:棱 PD 上存在点 F 为 PD 的中点,使 CF⊥PA, ∵平面 PCD⊥底面 ABCD,平面 PCD∩底面 ABCD=CD,AD⊥CD, ∴AD⊥平面 PCD,∴DP 是 PA 在平面 PCD 中的射影, ∴PC=DC,PF=DF,∴CF⊥DP,∴CF⊥PA. 12 分 20.(本小题满分 12 分)

(1)解:依题意,由抛物线的对称性可知:





----1 分



得:



故 在点 、点 处的切线的斜率分别为 和

----------------2 分

则 在 处的切线方程为

,即

----------------3 分

代入

,得

所以抛物线的方程为

,故

-------------4 分 ----------------5 分

(2)解:直线 的斜率显然存在,设直线







得:

由 直线方程为:

, ,所以直线恒过定点

----------------7 分
---------------8 分 ------------9 分

,即 ,即
所以直线方程为:

----------11 分 -------------12 分

21.解: (1)当 a ? 2 时, f (x) ? ln x ? 2x2 ? 2x ,则 f '(x) ? 1 ? 4x ? 2, 所以 f '(1) ? ?1,又 x f (1) ? 0 ,所以曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ?1 ? 0 .

(2)因为 f (1) ? ln 1 ? 1 ?1 ,设函数 g(x) ? ln x ? x ?1 ,则 g '(x) ? 1 ?1 ? 1? x ,

a aa

x

x

令 g '(x) ? 0 ,得 x ?1,列表如下:

x

(0,1)

1

(1? ?)

g '(x)

?

0

?



g(x)









所以 g(x) 的极大值为 g(1) ? 0 .所以 f (1) ? ln 1 ? 1 ?1≤0 . a aa

(3) f '(x) ? 1 ? 2ax ? a ? ? 2ax2 ? ax ?1 , x ? 0 ,

x

x

令 f '(x) ? 0 ,得 a ? a2 ? 8a ? x ? a ? a2 ? 8a ,因为 a ? a2 ? 8a ? 0 ,

4a

4a

4a

所以 f (x) 在 (0, a ? a2 ? 8a ) 上单调增,在 ( a ? a2 ? 8a , ??) 上单调减.

4a

4a

所以 f (x) ≤ f ( a ? a2 ? 8a ) . 4a

设 x0 ? a ?

a2 ? 8a ,因为函数 f (x) 只有 1 个零点,而 f (1) ? 0 , 4a

所以1是函数 f (x) 的唯一零点.

当 x0 ? 1时, f (x) ≤ f (1) ? 0 , f (x) 有且只有1个零点,

此时 a ? a2 ? 8a ? 1,解得 a ?1. 4a
下证,当 x0 ? 1时, f (x) 的零点不唯一.

若 x0 ? 1,则 f (x0 ) ? f (1) ? 0 ,此时 a ?

a2 ? 8a ? 1,即 0 ? a ?1,则 1 ?1 .

4a

a

由(2)知,

f

(1) a

?

0

,又函数

f

(x)

在以

x0 和

1 a

为端点的闭区间上的图象不间断,

所以在

x0 和

1 a

之间存在

f

(x)

的零点,则

f

(x)

共有

2

个零点,不符合题意;

若 x0 ? 1 ,则 f (x0 ) ? f (1) ? 0 ,此时 a ?

a2 ? 8a ? 1 ,即 a ?1,则 0 ? 1 ?1.

4a

a

同理可得,在

1 a



x0

之间存在

f

(x)

的零点,则

f

(x)

共有

2

个零点,不符合题意.

因此 x0 ? 1,所以 a 的值为1.

22. 解:(1)解:曲线 C1 的直角坐标方程为:

x2 ? y2 ? 4y ? 0

----------------------------------------2 分

(有转化正确,但最终写错,可给 1 分)
由 ? 2 ? x2 ? y2 , ? sin? ? y 得:

曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4sin? . -------------------------------4 分

(没有给出转化公式扣 1 分,没有给出转化公式但有在做题中体现转化过程,可不扣分)

法一:

(2)解: M 点到射线? ? ? 的距离为 3

d ? 2sin ? ? 3 3

-----------------------------------------5 分

? ? AB

?

?B

?

?A

?

4 ???

s

i ?n 3

?

c?3o???s?

2? 3 1

----------------------8 分

(两个极径每求一个可得 1 分,两个 2 分,算对极径差值得 1 分)

则 S ? 1 AB ? d ? 3 ? 3 2

-------------------------------10 分

(如 S?MAB

?

1 2

??B

? ?A ?? 2?sin

? 3

? 3?

3 ,则距离 d 这步得分可算在这里.)

23.证明 (1)∵|x1-2|<1,∴-1<x1-2<1,即 1<x1<3,

同理

1<x2<3,∴2<x1+x2<6.∵|x1-x2|=|(x1-2)-( x2-2)|≤|x1-2|+|x2-2|,∴|x1-x2|<2.

(2)|f(x1)-f(x2)|=|

-x1+x2|=|x1-x2||x1+x2-1|,

∵2<x1+x2<6,∴1<x1+x2-1<5, ∴|x1-x2|<|f(x1)-f(x2)|<5|x1-x2|


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