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2018_2019学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2.1对数与对数运算第二课时对数的运算课件新人教A版必修_图文

2018_2019学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2.1对数与对数运算第二课时对数的运算课件新人教A版必修_图文

第二课时

对数的运算

目标导航
1.掌握对数的运算性质,并能运用运算性质化简、求值. 课标要求 2.了解对数的换底公式及其应用.

3.初步掌握对数在生活中的应用.
素养达成 通过本节内容的学习,使学生体会转化思想在对数中的 作用,提高学生数学运算能力.

新知探求
课堂探究

新知探求·素养养成
【情境导学】 导入一 问题1:指数运算有哪些性质? 答案:若a,b>0,且a≠1,b≠1,r,s∈R, 则a r · as=ar+s; arbr=(ab)r; (ar)s=ars.

问题2:指数式ax=b对应的对数式是什么?
答案:x=logab.

导入二 求下列对数的值:

①log24;②log28;③log232;④log832.
解:①设log24=x,则2x=4,所以x=2,即log24=2; ②设log28=x,则2x=8,所以x=3,即log28=3;

③设log232=x,则2x=32,所以x=5,即log232=5;
5 ④设 log832=x,则 8x=32,即 23x=25,所以 x= , 3 5 即 log832= . 3

想一想

导入二中①②③之间存在什么运算关系?
32 3 =log232-log28;log28=log22 =3log22=3,…) 8

(log232=log2(4×8)=log24+log28;log24=log2

知识探究
1.对数的运算性质

如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: (1)loga (M· N)= logaM+logaN ; (2)loga M = logaM-logaN ; (3)loga Mn= nlogaM
N

(n∈R).

探究1:loga(MN)=logaM+logaN是否成立? 答案:不一定,当M>0且N>0时,该式成立,当M<0,N<0时,该式不成立.

2.对数换底公式 logab=
log c b (a>0,且 a≠1,b>0,c>0,且 c≠1); log c a

探究 2:你能用对数定义证明对数换底公式吗?

答案:设 logbN=x,则 bx=N.两边取以 a 为底的对数,得 logabx=logaN,得 xlogab=logaN,所 以 x=
log a N log a N log a N ,即 logbN= .即换底公式:logbN= (a>0 且 a≠1,b>0 且 b≠ log a b log a b log a b

1,N>0).

【拓展延伸】

与对数有关的方程的求解
与对数有关的方程主要有三类: 第一类是形如关于x的方程logaf(x)=b(a>0,且a≠1),通常将其转化为指数 式f(x)=ab,这样解关于x的方程f(x)=ab即可,最后要注意验根. 第二类是形如关于x的方程logaf(x)=logag(x)(a>0,且a≠1),通常将其转 化为求方程f(x)=g(x)的解即可,最后要注意验根. 第三类是形如关于x的方程f(logax)=0(a>0,且a≠1),通常利用换元法,设 logax=t,转化为解方程f(t)=0得t=p的值,再解方程logax=p,化为指数式, 则x=ap,最后要注意验根.

自我检测
1.(运算性质)log42-log48等于( B (A)-2 (C)1 (B)-1 (D)2 ) )

2.(运算性质)log35-log345等于( D (A)1 (B)-1 (C)2 (D)-2
3.(运算性质)若 lg x-lg y=a,则 lg( (A)3a (B)
3 a 2

x 3 y 3 ) -lg( ) 等于( 2 2 a 2

A )

(C)a

(D)

4.(换底公式)log816=
答案:
4 3

.

5.(换底公式)log23· log34· log45· log52= 答案:1

.

课堂探究·素养提升
题型一 对数运算性质的应用
【例 1】 计算下列各式的值: (1)
1 32 4 lg - lg 49 3 2
8 +lg 245 ;

解:(1)法一 = =

原式=

1 4 3 1 (5lg 2-2lg 7)- · lg 2+ (2lg 7+lg 5) 2 3 2 2

1 1 1 5 lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+ lg 5= lg 2+ lg 5 2 2 2 2 1 1 1 (lg 2+lg 5)= lg 10= . 2 2 2

法二 原式=lg =lg
4 2 ?7 5 7?4
10

4 2 -lg 4+lg 7 5 7

=lg( 2 × 5 ) =lg =
1 . 2

(2)lg 52+

2 lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2; 3

解:(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2 =2lg 10+(lg 5+lg 2)2 =2+(lg 10)2=2+1=3.

(3)

lg 2+lg3 ? lg 10 . lg1.8

1 ? lg 2 ? lg9 ? lg10? 解:(3)原式= 2 lg1.8 18 = 10 2lg1.8 lg

=

lg1.8 1 = . 2 lg1.8 2

(1)本题主要考查对数式的化简与计算.解决这类问题一 方法技巧 般有两种思路:一是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性 质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;二是将式中对数的 和、差、积、商逆用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根 ,然

后化简求值.
(2) 对数计算问题中 , 涉及 lg 2,lg 5 时 , 常利用 lg 2+lg 5=1 及 lg 2=1lg 5,lg 5=1-lg 2等解题.

即时训练 1-1:(2018·武威高一月考)计算: (1) log 3 27+lg 4+lg 25; (2)lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg 2 3 )2+lg
1 +lg 0.06. 6

解:(1)原式= log 3 ( 3 )6+2lg 2+2lg 5=6+2(lg 2+lg 5)=8.

(2)原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6-2 =3lg 5· lg 2+3lg 5+3(lg 2)2-2 =3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2 =3lg 2+3lg 5-2=3(lg 2+lg 5)-2=1.

【备用例 1】 求下列各式的值. (1)2log32-log3 (2)lg 25+
32 +log38- 5 log 5 3 ; 9

2 2 lg 8+lg 5·lg 20+lg 2. 3

解:(1)原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3=2log32-5log32+2+3log323=-1.

(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg

10 ×lg(2×10)+lg22=2lg(5×2)+(1-lg 2)× 2

(lg 2+1)+lg22=2+1-lg22+lg22=3.

题型二 换底公式的应用 【例2】 计算:(1)log1627log8132;
解:(1)log1627log8132=
lg 27 lg32 × lg16 lg81

lg33 lg 25 3lg3 5lg 2 15 = × = × = . 4 4 4lg3 16 lg 2 lg 3 4lg 2

(2)(log32+log92)(log43+log83).

解:(2)(log32+log92)(log43+log83) =(log32+
log 3 2 log 2 3 log 2 3 )( + ) log 3 9 log 2 4 log 2 8
1 1 1 log32)( log23+ log23) 2 2 3

=(log32+ =

3 5 5 lg 2 lg 3 5 log32× log23= × × = . lg 3 lg 2 4 2 6 4

方法技巧

应用换底公式时,(1)一般都换成以10为底的对数.(2)根

据情况找一个底数或真数的因子作为底.

即时训练 2-1:(1)已知 log310=a,log625=b,试用 a,b 表示 log445;
解:(1)因为 log310=a,所以 a=
1 , lg 3

因为 log625=b=

2a ? b 2lg5 2 ? 2lg 2 2 ? 2lg 2 = = ,所以 lg 2= , 1 lg 2 ? lg3 lg 2 ? lg3 lg 2 ? a ?b ? 2? a

2 2a ? b ?1? a ? b ? 2 ? 3b ? ab ? 4 lg 45 2lg3 ? lg5 2lg 3 ? 1 ? lg 2 a 所以 log445= = = = = . 2a ? b 4 a ? 2 b 2lg 2 2lg 2 2lg 2 2? a ?b ? 2?

(2)已知log627=a,试用a表示log1816.
解:(2)因为 log627=a= 所以 lg 3=
a lg 2 , 3? a

lg 27 3lg3 = , lg6 lg 2 ? lg3

所以 log1816=

lg16 4lg 2 = lg18 2lg3 ? lg 2

=

12 ? 4a 4lg 2 = . 2a lg 2 a?3 ? lg 2 3? a

【备用例 2】 设 a,b 均为不等于 1 的正数,利用对数的换底公式证明: (1)logab=
1 ; log b a

证明:(1)因为 a,b 均为不等于 1 的正数, 所以 logab= 所以 logab=
log b b 1 = , log b a log b a 1 . log b a

(2) log a n bm=

m logab(m∈R,n∈R,n≠0). n

lg bm m lg b m 证明:(2)因为 log a n b = = = logab(m∈R,n∈R,n≠0), n n lg a n lg a
m

所以 log a n b =

m

m logab(m∈R,n∈R,n≠0). n

题型三 与对数有关的方程问题 【例3】 解方程:(1)log5(2x+1)=log5(x2-2);

(2)(lg x)2+lg x3-10=0.
解:(1)由log5(2x+1)=log5(x2-2)得2x+1=x2-2, 即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3. 检验:当x=-1时,2x+1<0,舍去; 当x=3时,2x+1>0,x2-2>0.故x=3. (2)原方程整理得(lg x)2+3lg x-10=0, 即(lg x+5)(lg x-2)=0,所以lg x=-5或lg x=2,

解得x=10-5或x=102,
经检验知,x=10-5,x=102都是原方程的解.

方法技巧 名称 基本型 同底型 需代换型

简单的对数方程及其解法 题型 logaf(x)=b 解法 将对数式转化成指数式f(x)=ab 转化成f(x)=g(x),需验根 换元,令t=logax,转化成关于t的方程

logaf(x)= logag(x)
F(logax)=0

即时训练 3-1:解下列方程: (1)
1 1 (lg x-lg 3)=lg 5- lg(x-10); 2 2

? x ? 0, 解:(1)由已知方程知 ? 故 x>10. ? x ? 10 ? 0.
原方程可化为 lg 所以
x = 3 x =lg 3
5 , x ? 10

5 2 ,即 x -10x-75=0. x ? 10

解得 x=15 或 x=-5, 经检验,x=15 是原方程的解.

(2)lg x+2log10xx=2.
解:(2)由已知方程知 10x>0 且 10x≠1. 即 x>0 且 x≠
1 . 10
2lg x =2, 1 ? lg x

原方程可化为 lg x+

即 lg2x+lg x-2=0.令 t=lg x,则 t2+t-2=0, 解得 t=1 或 t=-2,即 lg x=1 或 lg x=-2, 所以 x=10 或 x=
1 1 .经检验,x=10,x= 都是原方程的解. 100 100

【备用例3】 已知f(x)=x2+(lg a+2)x+lg b,f(-1)=-2,方程f(x)=2x至多
有一个实根,求实数a,b的值.
解:由 f(-1)=-2 得,1-(lg a+2)+lg b=-2, 所以 lg
1 b b 1 =-1=lg ,所以 = ,即 a=10b. a a 10 10

又因为方程 f(x)=2x 至多有一个实根, 即方程 x2+(lg a)x+lg b=0 至多有一个实根, 所以(lg a)2-4lg b≤0,即(lg 10b)2-4lg b≤0, 所以(1-lg b) ≤0,所以 lg b=1,b=10,从而 a=100, 故实数 a,b 的值分别为 100,10.
2

题型四

易错辨析——忽视对数的意义致误
x 的值. y

【例 4】 若 lg(x-y)+lg(x+2y)=lg 2+lg x+lg y,求

错解:因为 lg(x-y)+lg(x+2y)=lg[(x-y)(x+2y)]=lg(2xy), 所以(x-y)(x+2y)=2xy,即 x -xy-2y =0,
x x =2 或 =-1. y y 纠错:对数等式中,若含字母参数,要注意隐含条件,此题应有
2 2

所以(x-2y)(x+y)=0,所以

x-y>0,x+2y>0,x>0,y>0,由此可得 x>y>0,得

x x >1,故 =-1 应舍去. y y

正解:因为 lg(x-y)+lg(x+2y)=lg[(x-y)(x+2y)]=lg(2xy), 所以(x-y)(x+2y)=2xy,即 x2-xy-2y2=0, 所以(x-2y)(x+y)=0,得
x x =2 或 =-1. y y

因为 x-y>0,x+2y>0,x>0,y>0, 所以
x x x >1,故舍去 =-1,所以 =2. y y y

即时训练4-1:解方程lg(x+1)+lg x=lg 6.
解:因为lg(x+1)+lg x=lg[x(x+1)]=lg 6,所以x(x+1)=6,解得x=2或x=-3, 经检验x=-3不符合题意,所以x=2.


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