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内蒙古乌兰察布市集宁一中2016-2017学年高二上学期期末数学试卷文科 含解析 精品

内蒙古乌兰察布市集宁一中2016-2017学年高二上学期期末数学试卷文科 含解析 精品

2016-2017 学年内蒙古乌兰察布市集宁一中高二(上)期末数学试 卷(文科)
一、第Ⅰ卷(选择题共 60 分)选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分, 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. ) 1.命题“? x>0,x2+x>0”的否定是( )

A.? x0>0,x02+x0>0 B.? x0>0,x02+x0≤0 C.? x>0,x2+x≤0 D.? x≤0,x2+x>0 2.设复数 z 满足(1﹣i)z=2i,则 z=( A.﹣1+i B.﹣1﹣i C.1+i D.1﹣i 的值为( ) )

3.已知等比数列{an}的公比 q=2,则 A. B. C. D.1

4.在△ABC 中,若 sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 5.曲线 y=ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A.1 B.2 C.e D. )



6.命题“若 x>﹣3,则 x>﹣6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题有 ( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 7.双曲线 A. B.2 C. 的焦点到渐近线的距离为( D.1 )

8.用反证法证明命题:“已知 a,b 为实数,则方程 x2+ax+b=0 至少有一个实根”时, 要做的假设是( )

A.方程 x2+ax+b=0 没有实根 B.方程 x2+ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x2+ax+b=0 至多有两个实根

D.方程 x2+ax+b=0 恰好有两个实根 9 .一项研究要确定是否能够根据施肥量预测作物的产量,这里的解释变量是 ( )

A.作物的产量 B.施肥量 C.实验者 D.降雨量或其他解释产量的变量 10.已知函数 f(x)的定义域为(a,b) ,导函数 f′(x)在(a,b)上的图象如图 所示,则函数 f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4 )

11.设 a∈R,若函数 y=ex+ax,x∈R,有大于零的极值点,则( A.a<﹣1 B.a>﹣1 C. D. + )

12.已知点 P 在以 F1,F2 为焦点的椭圆 tan∠PF1F2= ,则该椭圆的离心率为( A. B. C. D.

=1(a>b>0)上,若

?

=0,

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. ) 13.抛物线 x2=4y 的焦点坐标为 14.设复数 a+bi(a,b∈R)的模为 15.点 P 的直角坐标为(1,﹣ 16.观察下列不等式 1+ 第五个不等式为 . . ,则(a+bi) (a﹣bi)= .

) ,求点 P 的极坐标. + < ,1+ + + < ,…照此规律,

< ,1+

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程

或演算步骤. ) 17. (1)椭圆 E: 椭圆 E 的方程; (2)求经过 M(2, ) ,N( ,1)两点的椭圆的标准方程. + =1(a>b>0)经过点 A(0,﹣1) ,且离心率为 ,求

18.等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2an﹣2+n,求 b1+b2+b3+…+b10 的值. 19.已知 f(x)=ax3+bx2+c 的图象经过点(0,1) ,且在 x=1 处的切线方程是 y=x. (1)求 y=f(x)的解析式; (2)求 y=f(x)的单调递增区间. 20.设△ABC 的内角 A,B,C 的内角对边分别为 a,b,c,满足(a+b+c) (a﹣b+c) =ac. (Ⅰ)求 B. (Ⅱ)若 sinAsinC= ,求 C. (t 为参数) ,圆 C 的参数方程为

21.已知直线 l 的参数方程为 (θ 为参数) . (1)求直线 l 和圆 C 的普通方程;

(2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围. 22.已知函数 f(x)=|x+a|+|x﹣2| (1)当 a=﹣3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围.

2016-2017 学年内蒙古乌兰察布市集宁一中高二(上)期 末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、第Ⅰ卷(选择题共 60 分)选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分, 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. ) 1.命题“? x>0,x2+x>0”的否定是( )

A.? x0>0,x02+x0>0 B.? x0>0,x02+x0≤0 C.? x>0,x2+x≤0 D.? x≤0,x2+x>0 【考点】命题的否定. 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题, 所以命题“? x>0,x2+x>0”的否定为:? x0>0,x02+x0≤0. 故选:B.

2.设复数 z 满足(1﹣i)z=2i,则 z=( A.﹣1+i B.﹣1﹣i C.1+i D.1﹣i



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】根据所给的等式两边同时除以 1﹣i,得到 z 的表示式,进行复数的除法运 算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,整理成最简形式,得到结果. 【解答】解:∵复数 z 满足 z(1﹣i)=2i, ∴z= 故选 A. =﹣1+i

3.已知等比数列{an}的公比 q=2,则 A. B. C. D.1

的值为(



【考点】等比数列的性质. 【分析】利用等比数列{an}的公比 q=2,可得 结论. 【解答】解:∵等比数列{an}的公比 q=2, ∴ 故选:A. = = , = = ,即可得出

4.在△ABC 中,若 sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 【考点】余弦定理的应用;三角形的形状判断.



【分析】由 sin2A+sin2B<sin2C,结合正弦定理可得,a2+b2<c2,由余弦定理可得 CosC= 可判断 C 的取值范围

【解答】解:∵sin2A+sin2B<sin2C, 由正弦定理可得,a2+b2<c2 由余弦定理可得 cosC= ∴ ∴△ABC 是钝角三角形 故选 C

5.曲线 y=ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A.1 B.2 C.e D.



【考点】直线的斜率;导数的几何意义. 【分析】由曲线的解析式,求出导函数,然后把切点的横坐标 x=0 代入,求出对 应的导函数的函数值即为切线方程的斜率. 【解答】解:由 y=ex,得到 y′=ex, 把 x=0 代入得:y′(0)=e0=1,

则曲线 y=ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为 1. 故选 A.

6.命题“若 x>﹣3,则 x>﹣6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题有 ( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】四种命题间的逆否关系;命题的真假判断与应用. 【分析】根据四种命题的关系以及互为逆否命题的等价性进行判断即可. 【解答】解:根据互为逆否命题的等价性只需判断原命题和逆命题的真假性即可. 原命题:若 x>﹣3,x>﹣6 成立,∴原命题正确,逆否命题也正确. 逆命题:若 x>﹣6,则 x>﹣3,不成立,∴逆命题错误,否命题也错误. 故四个命题中,真命题的个数为 2. 故选:B.

7.双曲线 A. B.2 C.

的焦点到渐近线的距离为( D.1



【考点】双曲线的简单性质. 【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程,再代入点到直线的距离公式 即可求出结论. 【解答】解:由题得:其焦点坐标为(﹣4,0) , (4,0) ,渐近线方程为 y=± 所以焦点到其渐近线的距离 d= 故选:A =2 . x

8.用反证法证明命题:“已知 a,b 为实数,则方程 x2+ax+b=0 至少有一个实根”时, 要做的假设是( )

A.方程 x2+ax+b=0 没有实根 B.方程 x2+ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x2+ax+b=0 至多有两个实根

D.方程 x2+ax+b=0 恰好有两个实根 【考点】反证法与放缩法. 【分析】直接利用命题的否定写出假设即可. 【解答】解:反证法证明问题时,反设实际是命题的否定, ∴用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x2+ax+b=0 至少有一个实根”时,要 做的假设是:方程 x2+ax+b=0 没有实根. 故选:A.

9 .一项研究要确定是否能够根据施肥量预测作物的产量,这里的解释变量是 ( )

A.作物的产量 B.施肥量 C.实验者 D.降雨量或其他解释产量的变量 【考点】回归分析. 【分析】根据研究的目标是:确定是否能够根据施肥量预测作物的产量,可得解 释变量为施肥量,预报变量为作物的产量. 【解答】解:∵研究的目标是:确定是否能够根据施肥量预测作物的产量, ∴解释变量为施肥量, 故选:B

10.已知函数 f(x)的定义域为(a,b) ,导函数 f′(x)在(a,b)上的图象如图 所示,则函数 f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】导函数 f′(x)在(a,b)上的图象如图所示,由函数取得极大值点 x0 的

充要条件是:在 x0 左侧的导数大于 0,右侧的导数小于 0,即可判断出结论. 【解答】解:导函数 f′(x)在(a,b)上的图象如图所示, 由函数取得极大值点 x0 的充要条件是: 在 x0 左侧的导数大于 0, 右侧的导数小于 0, 由图象可知:函数 f(x)只有在点 A,C 处取得最大值, 而在 B 点处取得极小值,而在点 O 处无极值. 故选:B.

11.设 a∈R,若函数 y=ex+ax,x∈R,有大于零的极值点,则( A.a<﹣1 B.a>﹣1 C. D.



【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】先对函数进行求导令导函数等于 0,原函数有大于 0 的极值故导函数等于 0 有大于 0 的根,然后转化为两个函数观察交点,确定 a 的范围. 【解答】解:∵y=ex+ax, ∴y'=ex+a. 由题意知 ex+a=0 有大于 0 的实根,令 y1=ex,y2=﹣a,则两曲线交点在第一象限, 结合图象易得﹣a>1? a<﹣1, 故选 A.

12.已知点 P 在以 F1,F2 为焦点的椭圆

+

=1(a>b>0)上,若

?

=0,

tan∠PF1F2= ,则该椭圆的离心率为( A. B. C. D.



【考点】椭圆的简单性质. 【 分 析 】 由 已 知 可 得 焦 点 三 角 形 为 直 角 三 角 形 , 再 由 tan ∠ PF1F2= |PF1|=2|PF2|,结合椭圆定义求出|PF1|,|PF2|,代入勾股定理得答案. 【解答】解:由 ? =0,可知△PF1F2 为直角三角形, , 得到

又 tan∠PF1F2= ,可得|PF1|=2|PF2|, 联立|PF1|+|PF2|=2a,解得:|PF1|= 由 ∴ . ,得 ,|PF2|= ,即 . .

故选:D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. ) 13.抛物线 x2=4y 的焦点坐标为 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】由抛物线 x2=4y 的焦点在 y 轴上,开口向上,且 2p=4,即可得到抛物线 的焦点坐标. 【解答】解:抛物线 x2=4y 的焦点在 y 轴上,开口向上,且 2p=4,∴ ∴抛物线 x2=4y 的焦点坐标为(0,1) 故答案为: (0,1) (0,1) .

14.设复数 a+bi(a,b∈R)的模为

,则(a+bi) (a﹣bi)=

3



【考点】复数代数形式的乘除运算;复数求模. 【分析】将所求利用平方差公式展开得到 a2+b2,恰好为已知复数的模的平方. 【解答】解:因为复数 a+bi(a,b∈R)的模为 所以 a2+b2= ,

=3,则(a+bi) (a﹣bi)=a2+b2=3;

故答案为:3.

15.点 P 的直角坐标为(1,﹣

) ,求点 P 的极坐标.

【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】利用 【解答】解: ∴P . , = 即可化为极坐标. =2, ,可得 θ= .

16.观察下列不等式 1+ 第五个不等式为 1+ 【考点】归纳推理. +

< ,1+ + + +

+

< ,1+ < .

+

+

< ,…照此规律,

【分析】由已知中不等式 1+

< , 1+

+

< , 1+

+

+

< ,…,分

析不等式两边的变化规律,可得答案. 【解答】解:由已知中:不等式: 1+ 1+ 1+ … 归纳可得:第 n 个不等式为:1+ 当 n=5 时,第五个不等式为 1+ 故答案为:1+ + + + + + < + + +…+ + + < < , , < , + + < , + < ,

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程 或演算步骤. ) 17. (1)椭圆 E: + =1(a>b>0)经过点 A(0,﹣1) ,且离心率为 ,求

椭圆 E 的方程; (2)求经过 M(2, ) ,N( ,1)两点的椭圆的标准方程.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)由题意可得:b=1, (2)由题意可设椭圆的标准方程为: ) ,N( ,1)代入可得: =1, ,a2=b2+c2,联立解出即可得出. ,其中 m,n>0,m≠n.把 M(2, + =1,联立解得即可得出. ,a2=b2+c2,联立解得 b=1,a2=2.

【解答】解: (1)由题意可得:b=1, ∴椭圆 E 的方程为 =1.

(2)由题意可设椭圆的标准方程为: 把 M(2, ) ,N( ,1)代入可得:

,其中 m,n>0,m≠n. =1, + =1,

联立解得 m=8,n=4. ∴经过 M(2, ) ,N ( ,1)两点的椭圆的标准方程为 =1.

18.等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2an﹣2+n,求 b1+b2+b3+…+b10 的值. 【考点】数列的求和;等差数列的通项公式. 【分析】 (1)利用等差数列的通项公式即可得出. (2)利用等差数列求和公式即可得出. a4+a7=15. 2a1+9d=15, 【解答】 解: (1) 设等差数列{an}的公差为 d, ∵a2=4, ∴a1+d=4, 解得 a1=3,d=1. ∴an=n+2.… (2)bn=2an﹣2+n=2(n+2)﹣2+n=3n+2. b1+b2+b3+…+b10= =185.…

19.已知 f(x)=ax3+bx2+c 的图象经过点(0,1) ,且在 x=1 处的切线方程是 y=x. (1)求 y=f(x)的解析式; (2)求 y=f(x)的单调递增区间. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)由 f(x)=ax3+bx2+c 的图象经过点(0,1) ,得 c=1,由导数的几何意 义得 f′(1)=3a+2b=1①,易求切点(1,1) ,代入函数解析式可得 a+b+1=1②,联 立可解; (2)解不等式 f′(x)>0 可得增区间,注意写成区间形式; 【解答】解: (1)f(x)=ax3+bx2+c 的图象经过点(0,1) ,则 c=1, f′(x)=3ax2+2bx,f′(1)=3a+2b=1①, 切点为(1,1) ,则 f(x)=ax3+bx2+c 的图象经过点(1,1) , 得 a+b+1=1②,联立①②解得 a=1,b=﹣1, ∴f(x)=x3﹣x2+1; (2)f′(x)=3x2﹣2x>0 得 x<0 或 x> , 单调递增区间为(﹣∞,0) , ( ,+∞) .

20.设△ABC 的内角 A,B,C 的内角对边分别为 a,b,c,满足(a+b+c) (a﹣b+c) =ac. (Ⅰ)求 B. (Ⅱ)若 sinAsinC= ,求 C.

【考点】余弦定理;两角和与差的正弦函数. 【分析】 (I)已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算,整理后得到关系式,利 用余弦定理表示出 cosB,将关系式代入求出 cosB 的值,由 B 为三角形的内角,利 用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数; (II)由(I)得到 A+C 的度数,利用两角和与差的余弦函数公式化简 cos(A﹣C) , 变形后将 cos(A+C)及 2sinAsinC 的值代入求出 cos(A﹣C)的值,利用特殊角的 三角函数值求出 A﹣C 的值,与 A+C 的值联立即可求出 C 的度数. 【解答】解: (I)∵(a+b+c) (a﹣b+c)=(a+c)2﹣b2=ac,

∴a2+c2﹣b2=﹣ac, ∴cosB= =﹣ ,

又 B 为三角形的内角, 则 B=120°; (II)由(I)得:A+C=60°,∵sinAsinC= ,cos(A+C)= ,

∴ cos ( A ﹣ C ) =cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC ﹣ sinAsinC+2sinAsinC=cos ( A+C ) +2sinAsinC= +2× = ,

∴A﹣C=30°或 A﹣C=﹣30°, 则 C=15°或 C=45°.

21.已知直线 l 的参数方程为 (θ 为参数) . (1)求直线 l 和圆 C 的普通方程;

(t 为参数) ,圆 C 的参数方程为

(2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围. 【考点】参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)消去参数,可得直线 l 和圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 有公共点,圆的圆心到直线 l 的距离 d= 数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)直线 l 的参数方程为 ﹣2a=0,… 圆 C 的参数方程为 (θ 为参数)的普通方程为 x2+y2=16… (t 为参数) ,普通方程为 2x﹣y ≤4,即可求实

(2)∵直线 l 与圆 C 有公共点, ∴圆的圆心到直线 l 的距离 d= 解得﹣2 ≤a≤2 , ,2 ].… ≤4,…

∴实数 a 的取值范围是[﹣2

22.已知函数 f(x)=|x+a|+|x﹣2|

(1)当 a=﹣3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;带绝对值的函数. 【分析】 (1)不等式等价于 出每个不等式组的解集, 再取并集即得所求. (2)原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在[1,2]上恒成立,由此求得求 a 的取值范 围. f(x) 【解答】 解: (1 ) 当 a=﹣3 时, ≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3,即① 或② 或③ , . , ,或 ,或 ,求

解①可得 x≤1,解②可得 x∈?,解③可得 x≥4. 把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1 或 x≥4}. (2)原命题即 f(x)≤|x﹣4|在[1,2]上恒成立,等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x 在[1, 2]上恒成立, 等价于|x+a|≤2,等价于﹣2≤x+a≤2,﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在[1,2]上恒成立. 故当 1≤x≤2 时,﹣2﹣x 的最大值为﹣2﹣1=﹣3,2﹣x 的最小值为 0, 故 a 的取值范围为[﹣3,0].

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