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高中数学第二章变化率与导数2导数的概念及其几何意义教学案北师大版选修2 2(数学教案)

高中数学第二章变化率与导数2导数的概念及其几何意义教学案北师大版选修2 2(数学教案)

§2 导数的概念及其几何意义 [对应学生用书P16] 导数的概念 一质点按规律 s=2t +2t 做直线运动(位移单位:米,时间单位:秒). 问题 1:试求质点在前 3 秒内的平均速度. 提示:8 米/秒. 问题 2:试求质点在 3 秒时的瞬时速度. Δs s 提示: = Δt +Δ t -s Δt Δs =14+2Δ t,当 Δ t→0 时, →14,故质点在 3 Δt 2 秒时的瞬时速度为 14 米/秒. 问题 3:对于函数 y=f(x),当 x 从 x0 变到 x1 时,求函数值 y 关于 x 的平均变化率. Δy f 提示: = Δx x0+Δ x -f x0 . Δx 问题 4:当 Δ x 趋于 0 时,平均变化率趋于一个常数吗? 提示:是. 导数的概念 1.定义:设函数 y=f(x),当自变量 x 从 x0 变到 x1 时,函数值从 f(x0)变到 f(x1),函 Δy f 数值 y 关于 x 的平均变化率为 = Δx x1 -f x0 f x0+Δ x -f x0 = ,当 x1 趋于 x1-x0 Δx x0,即 Δ x 趋于 0 时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数 y=f(x)在 x0 点的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数 y=f(x)在 x0 点的导数. 2. 记法: 函数 y=f(x)在 x0 点的导数, 通常用符号 f′(x0)表示, 记作 f′(x0)=lix1→ m x0 f x1 -f x0 f x0+Δ x -f x0 =liΔ x m . →0 x1-x0 Δx 导数的几何意义 1 Δy 问题 1:函数 y=f(x)在[x0,x0+Δ x]的平均变化率为 ,你 Δx 能说出它的几何意义吗? 提示:表示过 A(x0,f(x0))和 B(x0+Δ x,f(x0+Δ x))两点的直 线的斜率. 问题 2:当 Δ x 变化时,直线如何变化? 提示:直线 AB 绕点 A 转动. 问题 3:当 Δ x→0 时,直线变化到哪里? 提示:直线过点 A 与曲线 y=f(x)相切位置. 导数的几何意义 1.割线的定义: Δy 函数 y=f(x)在[x0,x0+Δ x]的平均变化率为 ,它是过 A(x0,f(x0))和 B(x0+Δ x, Δx f(x0+Δ x))两点的直线的斜率,这条直线称为曲线 y=f(x)在点 A 处的一条割线. 2.切线的定义: 当 Δ x 趋于零时, 点 B 将沿着曲线 y=f(x)趋于点 A, 割线 AB 将绕点 A 转动最后趋于直 线 l,直线 l 和曲线 y=f(x)在点 A 处“相切”,称直线 l 为曲线 y=f(x)在点 A 处的切线. 3.导数的几何意义: 函数 y=f(x)在 x0 处的导数,是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. 1. 函数 f(x)在点 x0 处的导数就是函数的平均变化率在当自变量的改变量趋于零时的极 限,若 liΔ m x→0 Δy 存在,则函数 y=f(x)在点 x0 处就有导数. Δx 2.f′(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在切点(x0,f(x0))处的切线的斜率. [对应学生用书P17] 2 求函数在某点处的导数 4 [例 1] 求函数 y= 2在 x=2 处的导数. x Δy Δy [思路点拨] 由所给函数解析式求 Δ y=f(Δ x+x0)-f(x0);计算 ;求 liΔ x m . →0 Δ x Δx 4 [精解详析] ∵f(x)= 2, x ∴Δ y=f(2+Δ x)-f(2)= = ∴ -4Δ x- Δ x 2 +Δ x 2 4 +Δ x 2 -1 , Δy -4-Δ x = 2, Δx +Δ x Δy =liΔ m x→0 Δx -4-Δ x 2=-1,∴f′(2)=-1. +Δ x ∴liΔ x m →0 [一点通] 由导数的定义,求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的方法: ①求函数的增量 Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0); Δy f ②求平均变化率 = Δx x0+Δ x -f x0 ; Δx Δy m ③取极限,得导数 f′(x0)=liΔ x . →0 Δx 1.函数 y=x 在 x=1 处的导数为( A.2x C.2 解析:y=x 在 x=1 处的导数为: 2 2 ) B.2+Δ x D.1 f′(1)=liΔ m x→0 答案:C +Δ x Δx 2 -1 =2. 2.设函数 f(x)=ax+b,若 f(1)=f′(1)=2,则 f(2)=________. →0 解析:函数 f(x)=ax+b 在 x=1 处的导数为 f′(1)=liΔ x m →0 =liΔ x m [a +Δ x +b]- a+b Δx →0 =liΔ x m f +Δ x -f Δx aΔ x =a,又 f′(1)=2,得 a=2, Δx 3 而 f(1)=2,有 a+b=2,于是 b=0,所以 f(x)=2x,有 f(2)=4. 答案:4 1 3.求函数 f(x)=x- 在 x=1 处的导数. x 1 Δx ? 1? 解:Δ y=(1+Δ x)- -?1- ?=Δ x+ , 1? 1+Δ x ? 1+Δ x Δx Δ x+ 1+Δ x Δy 1 = =1+ , Δx Δx 1+Δ x 1 Δ y li m ? m ∴liΔ x = Δ x→0 ?1+ →0 1 + Δ Δx ? 从而 f′(1)=2. x? ? ?=2, 求曲线的切线方程 [例 2] 已知曲线 y=3x -x,求曲线上的点 A(1,2)处的切线斜率及切线方程. [思路点拨] 利用导数的几何意义求出切线的斜率,进而求得切线方程. [精解详析] 因为 Δy = Δx +Δ x 2 2 - +Δ x - Δx 2 - =5+3Δ x, 2 当 Δ x 趋于 0 时,5+3Δ x

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