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第67题 立体几何中的最值问题 2018精品之高中数学(文)黄金100题系列 Word版 含解析

第67题 立体几何中的最值问题 2018精品之高中数学(文)黄金100题系列 Word版 含解析


第 67 题 立体几何中的最值问题 I.题源探究·黄金母题 【例 1 】 【 2016 高考新课标Ⅲ文数】在封闭的直三棱柱 【方法点睛】 由于三棱锥 O ? ABC 底面 AOB 面积 为定值,故高最大时体积最大,本题就是利用此结 ABC ? A1B1C1 内有一个体积为 V 的球,若 AB ? BC , AB ? 6 , BC ? 8 , AA1 ? 3 ,则 V 的最大值是( (A)4π 【答案】B 【解析】分析:要使球的体积 V 最大,必须球的半径 R 最 大.由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时,球的 半 径 取 得 最 大 值 (B) ) 论求球的半径 , 然后再求出球 O 的表面积 , 由于 9? 2 (C)6π (D) 32? 3 球与几何体的切接问题能很好的考查空间想象能 力,使得这类问题一直是高考中的热点及难点,提 醒考生要加强此方面的训练. 【例 3】 【2016 高考浙江文数】如图,已知平面四 3 边 形 ABCD , AB=BC=3 , CD=1 , AD= , 此 时 球 的 体 积 为 2 5 , 4 4 3 9 ? R 3 ? ? ( )3 ? ? ,故选 B. 3 3 2 2 【名师点睛】立体几何是的最值问题通常有三种思考方 向: (1) 根据几何体的结构特征,变动态为静态,直观判 断在什么情况下取得最值; (2 ) 将几何体平面化,如利用 展开图,在平面几何图中直观求解; (3) 建立函数,通过 求函数的最值来求解. ∠ADC=90°. 沿直线 AC 将△ACD 翻折成△ ?CD? , 直线 AC 与 ? D? 所成角的余弦的最大值是______. II.考场精彩·真题回放 【例 2】【2015 新课标 2 文 10】已知 A, B 是球 O 的球面 上两点 , ?AOB ? 90? , C 为该球面上的动点 . 若三棱锥 【答案】 6 9 【解析】分析:设直线 AC 与 BD ' 所成角为 ? . 设 O 是 AC 中点,由已知得 AC ? 6 ,如图, 以 OB 为 x 轴,OA 为 y 轴, 过 O 与平面 ABC 垂 直的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,由 O ? ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( A. 36π 【答案】C 【解析】分析:设球的半径为 R,则△AOB 面积为 B. 64π C. 144 π D. 256 π ) 棱锥 O ? ABC 体积最大时,C 到平面 AOB 距离最大且为 R, 此时V ? 1 2 R ,三 6 30 6 A(0, , 0) , B( ,0,0) , C (0, ? ,0) , 2 2 2 2 作 DH ? AC 于 H ,翻折过程中, D ' H 始终与 1 3 R ?3 6 ? R ?6 , 所 以 球 O 的 表 面 积 6 CD2 1 6 AC 垂直, , CH ? ? ? 2 S ? 4πR ? 144π .故选 C. CA 6 6 则 OH ? 6 1? 5 30 , DH ? , ? 3 6 6 30 6 30 cos ? , ? , sin ? ) , 6 3 6 因此可设 D '( 30 30 6 30 cos ? ? ,? , sin ? ) , 6 2 3 6 r uur 与 CA 平行的单位向量为 n ? (0,1,0) , 则 BD ' ? ( uuur 【答案】C 【解析】四棱锥的直观图如图所示: uuur r uuur r BD ' ? n 所以 c

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