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湖北省黄梅一中高二数学下学期综合适应训练试题(十)

湖北省黄梅一中高二数学下学期综合适应训练试题(十)

湖北省黄梅一中 2012-2013 学年高二数学下学期综合适应训练试题 (十)
(注意:请将答案填在答题卡上) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.复数 z ?

i 的共轭复数在复平面上对应的点位于 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

2.设全集 U ? R, A ? {x | 2x ( x?2) ? 1}, B ? {x | y ? ln(1 ? x)}, 则右图中阴影部分表示的集合为 ( A. {x | x ? 1}
2 3

) D. {x | x ? 1}

B. {x |1 ? x ? 2}
4 6

C. {x | 0 ? x ? 1}

3. “ a ? b 是“ a ? b ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 4.阅读右面的程序框图,则输出的 S 等于 ( B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

A. 40

B. 20

C. 32

D. 38

5. 等差数列 ?a n ? 中, S n 是其前 n 项和, a1 ? ?2011 ,

S 2009 S 2007 ? ? 2 ,则 S 2011 的值为( 2009 2007



A. ? 2010 B. 2010 C. ? 2011 D. 2011 6.若实数 x,y 满足条件 x+2y-5≤0 ,目标函数 z=x+y,则 2x+y-4≤0 x≥0 y≥1

A. zmax=0 C. zmin=

B. zmax=

5 2

第 5 题图

5 2

D. zmax =3

7 . 已 知 点 M 在 曲 线 x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 上 , 点 N 在 不 等 式 组

? x?2?0 ? ?3x ? 4 y ? 4 所表示的平面区域内,那么 MN 的最小值是( ? y ?3? 0 ?
A. 1 B. 2 C.

)

85 3

D.

85 ?1 3

8. 若一个螺栓的底面是正六边形,它的主视图和俯视图如图所示,则它的体积是第 B. 9 3 +12 π

A. 27 3 +12π 9.点 P 是双曲线 C1:

C. 27 3 +3π

D. 54 3 +3π

x2 y 2 - 2 =1(a>0,b>0)与圆C2:x2 +y2 =a 2 +b2的一个交点,且 2∠PF1F2=∠PF2F1, 2 a b

其中 F1、F2 分别为双曲线 C1 的左右焦点,则双曲线 C1 的离心率为 A. 3 ? 1 B.

3 ?1 2

C.

5 ?1 2

D.

5 ?1

10. 已知平面向量 a ? (m,1), b ? (m,1) ,c ? (n,0) ,d ? (1, n) , 满足 ? 仅有一组,则实数 ? 的值为 ( A. 4 B. ) C. 1 D.

? ?a ? c ? ? ? ?b ? d ? 1

的解 (m, n)

1 4

1 2

? x 2 ? x, 15. 已知函数 f ( x) ? ? ? 2 ? ? ln(x ? 1),
围为 .

?

1

x ? 0, 若函数 y ? f ( x) ? kx 有三个零点,则 k 的取值范 x ? 0,

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤) 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 sin x ? 2 sin( x ? (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c. 已知 f ( A) ? 3, a ? 3b , 证明: C ? 3 B .

?
3

).

17. (本小题满分 12 分)某工厂有甲、乙两个车间,每个车间各有编号为 1、2、3、4、5 的 5 名技工.在某天内每名技工加工的合格零件的个数如下表: 1号 甲车间 乙车间 4 5 2号 5 6 3号 7 7 4号 9 8 5号 10 9

(Ⅰ)分别求出甲、乙两个车间技工在该天内所加工的合格零件的平均数及方差,并由此 比较两个车间技工的技术水平; (Ⅱ)质检部门从甲、乙两个车间中各随机抽取 1 名技工,对其加工的零件进行检测,若 两人完成合格零件个数之和不小于 12 个, 则称该工厂“质量合格”, 求该工厂“质量合 格”的概率.

18. 在各项均为正数的数列 ?an ? 中,已知点 ? an?1 , an ? (n ? N * ) 在函数 y ? 2 x 的图像上,且

a2 ? a4 ?

1 . 64

(Ⅰ)求证:数列 ?an ? 是等比数列,并求出其通项; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,且 bn ? nan ,求 S n .

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 E1 :

x2 2 y 2 x2 y 2 ? ? 1, E2 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) . E1 与 E2 a b 10 5

有相同的离心率,过点 F (? 3,0) 的直线 l 与 E1 , E2 依次交于 A,C,D,B 四点(如图).当直线 l 过 E2 的上顶点时, 直线 l 的倾斜角为 (1) 求椭圆 E2 的方程; (2) 求证: AC ? DB ; (3) 若 AC ? 1,求直线 l 的方程.

?
6

.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

a ? (a ? 1) ln x (a ? R) . x

(Ⅰ)当 0 ? a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间;

(Ⅱ)是否存在实数 a ,使 f ( x) ? x 恒成立,若存在,求出实数 a 的取值范围;若不存 在,说明理由.

一、1—5 DB B DC 二、11.

参考答案与评分标准 6—10 DACAB

5 ? 6

? 7) ;12. 6 3 ;13. (??,

5 ?1 ? ( , ? ?) 14.41 ; 15. ? ,1? . 3 ?2 ?

17.解:(Ⅰ)依题意有:

x甲 ?

1 1 (4 ? 5 ? 7 ? 9 ? 10) ? 7 , x乙 ? (5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9) ? 7 5 5

……………2 分

1 26 2 s甲 ? [( 4 ? 7) 2 ? (5 ? 7) 2 ? (7 ? 7) 2 ? (9 ? 7) 2 ? (10 ? 7) 2 ] ? ? 5.2 5 5 1 2 s乙 ? [( 5 ? 7) 2 ? (6 ? 7) 2 ? (7 ? 7) 2 ? (8 ? 7) 2 ? (9 ? 7) 2 ] ? 2 5
2 2 因为 x甲 ? x乙 , s甲 ,所以乙车间技工的技术水平比甲车间好. ? s乙

…………3 分

…………4 分 ……6 分

(Ⅱ)记该工厂 “质量合格”为事件 A,则从甲、乙两车间中各抽取 1 名技工完成合格零 件个数的基本事件为: (4,5) , (4,6) , (4,7) , (4,8) , (4,9) , (5,5) , (5,6) , (5, 7) , (5,8) , (5,9) , (7,5) , (7,6) , (7,7) , (7,8) , (7,9) (9,5) , (9,6) , (9, 7) , (9,8) , (9,9) , (10,5) , (10,6) , (10,7) , (10,8) , (10,9)共 25 种…………8 分 事件 A 包含的基本事件为: (4,8) , (4,9) , (5,7) , (5,8) , (5,9) , (7,5) , (7,6) , (7,7) , (7,8) , (7,9) , (9,5) , (9,6) , (9,7) , (9,8) , (9,9) , (10,5) , (10,6) , (10,7) , (10,8) , (10,9)共 20 种 所以 P ( A) ? ………………………………10 分,

20 4 ? 25 5

答:即该工厂“质量合格”的概率为

4 5

……………………………… …………12 分

18. 【解】(Ⅰ)因为点 (an , an?1 )(n ? N* ) 在函数 y ? 所以 an ? 2an ?1 ,…………………………1 分 且 an ? 0 ,所以

1 x 的图像上, 2

an ?1 1 ? , an 2

1 的等比数列.……………………3 分 2 1 1 因为 a2 a4 ? ,所以 a 1 q ? a1q3 ? , 64 64 1 1 1 即 a12 ( )4 ? ,则 a1 ? ,……………… ……………4 分 2 64 2 1 所以 an ? n …………………………………6 分 2
故数列 ?an ? 是公比 q ?

19. (1)∵ PC ? AB, PC ? BC, AB

BC ? B

∴ PC ? 平面ABC ,又∵ PC ? 平面PAC ∴ 平面PAC ? 平面ABC (2)在平面 ABC 内,过 C 作 CD ? CB ,建立空间直角 坐标系 C ? xyz (如图)
3 1 ? ,设 P ? 0,0, z ?? z ? 0? , 由题意有 A ? ,? ,0? 0 0 ? ? ? ? 2 2 ?

? ? 则 M ? 0,1, z0 ? , AM ? ? 3 , ? 1 , z0 ? , CP ? ? 0, 0, z0 ? ? 2 ? 2 ? ?

由直线 AM 与直线 PC 所成的解为 60 ,得
2 AM ? CP ? AM ? CP ? cos 600 ,即 z0 ?

0

?
2

z0 2 ? 3 ? z0 ,解得 z0

?1

? ? ∴ CM ? ? 0, 0,1? , CA ? ? 3 , ? 1 , 0 ? ,设平面 MAC 的一个法向量为 n ? ?x1, y1 , z1? , ? 2 2 ? ? ?

? y1 ? z1 ? 0 ? 则? 3 ,取 x1 ? 1 ,得 n ? 1, 3, ? 3 1 y ? z ? 0 ? 1 1 ? 2 2

?

?

平面 ABC 的法向量取为 m ? ? 0,0,1? 设 m 与 n 所成的角为 ? ,则 cos ? ?

m?n m?n

?

? 3 7
21 7

显然,二面角 M ? AC ? B 的平面角为锐角,故二面角 M ? AC ? B 的余弦值为

2 20. 【解】(1) b ? 1, c ? 3 ,? a ? 2, b ? 1 ,因此椭圆 E2 的方程为 E : x ? y 2 ? 1 . 2 a 2 4

(2)当直线 l 垂直 x 轴时,易求得 A(? 3, ? 7 ), C (? 3, ? 1 ), D(? 3, 1 ), B(? 3, 7 ) 2 2 2 2 因此

AC ? DB ,

当直线 l 不垂直 x 轴时,设 l : y ? k ( x ? 3)

? y ? k ( x ? 3) ? (1 ? 4k 2 ) x 2 由? 2 ? x ? y2 ? 1 ? ? 4

? 8 3k 2 x ? 12k 2 ? 4 ? 0

①,

? y ? k ( x ? 3) 由? ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8 3k 2 x ? 12k 2 ? 10 ? 0 2 2 ?x 2y ? ?1 ? 5 ? 10

②,

设 A( x1, y1 )、B( x2 , y2 )、C( x3 , y3 )、D( x4 , y4 ) , 则 x3、x4 是方程①的解 ,

x1、x2 是

方程②的解.

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ?

? 3k 2 ,?线段 AB,CD 的中点重合,? 1 ? 4k 2

AC ? DB

(3).由(2)知, AB ? CD ? 2 ,当直线 l 垂直 x 轴时,不合要求; 当直线 l 不垂直 x 轴时,设 l :

y ? k ( x ? 3) ,由(2)知,

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ?

?8 3k 2 , 12k 2 ? 10 12k 2 ? 4 , x x ? , x x ? 1 2 3 4 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

? ?8 3k 2 2 48k 2 ? 16 ? 4(k 2 ? 1) CD ? (1 ? k 2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ? (1 ? k 2 ) ?( ) ? ?? 2 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k
? ?8 3k 2 2 48k 2 ? 40 ? ? AB ? (1 ? k ) ? ( x3 ? x4 ) ? 4 x3 x4 ? ? (1 ? k ) ?( ) ? ? 2 1 ? 4k 2 ? ? 1 ? 4k
2 2

8(1 ? k 2 )(14k 2 ? 5) 1 ? 4k 2
简 可

?

8(1 ? k 2 )(14k 2 ? 5) 4(k 2 ? 1) ? 2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
4

,



得: 8k

? 2k 2 ? 1 ? (4k 2 ? 1)(2k 2 ? 1) ? 0
2 2
,?l : y ? ? 2 ( x ? 3)

?k ? ?

2

(Ⅱ) f ? x ? ? x 恒成立可转化为 a ? ? a ? 1? x ln x ? 0 恒成立, 令 ? ? x ? ? a ? ? a ? 1? x ln x ,则只需 ? ? x ? ? 0 在 x ? ? 0, ??? 恒成立即可,………6 分

? ' ? x? ? ? a ?1??1? ln x ?
当 a ? 1 ? 0 时,在 x ? ? 0, ? 时, ? ? x ? ? 0 ,在 x ? ? , ?? ? 时, ? ? x ? ? 0
' '

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

, ? ? x ? 的最小值为 ? ? ? ,由 ? ? ? ? 0 得 a ? e ?1 e e 故当 a ?

?1? ? ?

?1? ? ?

1

1 时 f ? x ? ? x 恒成立, e ?1

……………………………………9 分

当 a ? 1 ? 0 时, ? ? x ? ? ?1 , ? ? x ? ? 0 在 x ? ? 0, ??? 不能恒成立,……………11 分 当 a ? 1 ? 0 时,取 x ? 1, 有 ? (1) ? a ? ?1, 综上所述当 a ?

? ? x ? ? 0 在 x ?? 0, ??? 不能恒成立,…13 分
………………………14 分

1 时,使 f ? x ? ? x 恒成立. e ?1


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