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2010-2011学年第一学期线性代数A试题 B卷

2010-2011学年第一学期线性代数A试题 B卷


信息与电子学部学生会学习部整理 课程编号:A073122

北京理工大学 2010-2011 学年第一学期

线性代数 A 试题 B 卷
班级 ________ 学号 _________ 姓名 __________ 成绩 ___________
? 2 1 0? 一、 (10 分) 已知矩阵 X 满足 AX ? A X ? 9 A X ? 3 I , 其中 A ? ?0 2 1? , 求矩阵 X 。 ? ? ? ? 0 0 2? ?
* ?1

二、 (10 分)讨论 p, q 取何值时,方程组
? x1 ? x2 ? 2 x3 ? 3 x4 ? 0 ? 2x ? x ? 6x ? 4x ? 0 ? 1 2 3 4 ? ?3 x1 ? 2 x2 ? px3 ? qx4 ? 0 ? 2 x1 ? x2 ? x4 ? 0 ?

有非零解,并求其基础解系。

三、 (10 分)已知线性空间 F [ x ]4 的自然基为 1, x, x 2 , x 3 。 (1) 证明: 1 ? x ? x 2 ? x 3 ,1 ? x ? x 2 ,1 ? x,1 为 F [ x ]4 的一个基; (2) 求 自 然 基 1, x, x 2 , x 3 到 基 1 ? x ? x 2 ? x 3 ,1 ? x ? x 2 ,1 ? x,1 的 过 渡 矩 阵 , 以 及

h( x) ? 1 ? x ? x 2 ? x 3 在后一个基下的坐标。

四、 (10 分)已知 ?1 ? (1,0,1,1), ? 2 ? (1,1,1,1), ? 3 ? (0,1,0,1), ?4 ? (2,1,2,2) 。 (1) 求向量组 ?1 , ? 2 , ? 3 , ?4 的秩和一个极大无关组; (2) 用所求的极大无关组线性表出剩余向量。

五、 (10 分)设矩阵 A 的 Jordan 标准形为 ?2 1 ? ? 2 ? ? ? J ?? ?1 ? ? ? 0 1? ? ? 0? ? ? (1) 试写出 A 的初等因子;(2) 求 A 的特征值。
1

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六、 (10 分)在 R 3 中定义线性变换 ? : ? ( x1 , x2 , x3 ) ? ( x1 , x1 ? x2 ,?2 x3 ) 。 求?在 R 3 的自然基 ? 1 , ? 2 , ? 3 下的矩阵。

七、 (10 分)已知线性方程组 AX ? 0 的通解为 k1 (1,0,1)T ? k2 (0,1,2)T ,求此方程组的解 空间的一个标准正交基。

八、 (10 分)已知实二次型 f ( x1, x2 , x3 ) ? 2 x1 x2 ? 2 x1 x3 ? 2 x2 x3 。 (1) 求一正交变换 X ? QY ,将二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 化为标准形; (2) 判断二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 是否正定。

? 1 2 0? 九、 (10 分)设矩阵 A ? ? 2 1 0? 。 ? ? ? 2 a 3 ? ? ? ?

(1) 问 a 取何值时, A 可对角化? (2) 当 A 可对角化时,求可逆矩阵 P 和对角矩阵 ? ,使得 P ?1 AP ? ? 。

十、 (10 分)设 A 是 m ? n 实矩阵,证明:矩阵 AT A 正定的充分必要条件是 r ( A) ? n 。

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