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【解析版】河南省中原名校2013届高三上学期期中考试数学理试题

【解析版】河南省中原名校2013届高三上学期期中考试数学理试题


【解析版】河南省中原名校 2013 届高三上学期期中考试数学理试题
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 2 1. (5 分)设集合 A={1,4,x},B={1,x }且 A∪ B={1,4,x},则满足条件的实数 x 的个数是( ) A.1 个 B .2 个 C.3 个 D.4 个 考点: 集合关系中的参数取值 专题: 计算题;函数的性质及应用. 2 2 分析: 根据集合元素的互异性,得 x≠±1 且 x≠4.再由 A∪ B={1,4,x},得 x =x 或 x =4,可解出符合题意 的 x 有 0,2,﹣2 共 3 个. 解答: 解:∵ A={1,4,x}, ∴ x≠1,x≠4 且 x ≠1,得 x≠±1 且 x≠4 ∵ A∪ B={1,4,x}, 2 2 ∴ x =x 或 x =4,解之得 x=0 或 x=±2 满足条件的实数 x 有 0,2,﹣2 共 3 个 故选:C 点评: 本题给出含有未知数 x 的集合 A、B,在已知它们并集的情况下求实数 x 值,着重考查了集合元素的 基本性质和集合的运算等知识,属于基础题. 2. (5 分)下列函数中,在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( ﹣ A. B.y=x3+3x﹣3 x C.y=log3x ) D.y=3x
2

考点: 函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题: 计算题. 分析: 要探讨函数的奇偶性首先研究函数的定义域是否关于原点对称, 由此排除 C, 根据图象排除 A, D. 即 可得答案. 解答: 解:对于 A:∵ y=﹣ 在其定义域内不是单调函数,∴ A 不对. B、f(﹣x)=﹣x +3 ﹣3 =﹣f(x) ,∴ f(x)为奇函数.又∵ y=3 和 y=x 和 y=﹣3 ﹣x 3 x 由函数的单调性知 y=x +3 ﹣3 增函数.B 对; ∵ C 选项,函数的定义域为(0,+∞)不关于原点对称,∴ C 不对.
x 3
﹣x

x

x

3

﹣x

都是增函数,

又∵ D 选项函数的图象既不关于原点对称又不关于 y 轴对称,∴ y=3 不是奇函数.∴ D 不对. 故选 B. 点评: 本题主要考查常见函数的奇偶性和单调性,以及判断函数奇偶性的方法,是基础题. 3. (5 分) (2012?桂林模拟)等比数列{an}中,若 a3=﹣9,a7=﹣1,则 a5 的值为( ) A.3 或﹣3 B .3 C.﹣3 D.﹣5 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等比数列的定义和性质可得 a52=a3?a7=9,由此求得 a5 的值.
1页

解答: 解:等比数列{an}中,a3=﹣9,a7=﹣1,由等比数列的定义和性质可得 a52=a3?a7=9, 解得 a5=﹣3,或 a5=3(不合题意,舍去) ,因为若 a5=3,则 a42=a3?a5=﹣27,a4 不存在. 故选 C. 点评: 本题主要考查等比数列的定义和性质,注意舍去 a5=﹣8 的情况,属于中档题 4. (5 分)已知 a>1, A.0<x<1 ,则 f(x)<1 成立的一个充分不必要条件是( B.﹣1<x<0 C.﹣2<x<0 )

D.﹣2<x<1

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;指数函数的单调性与特殊点. 分析: 求出不等式的解集即不等式成立的充要条件; 据当集合 A?集合 B 且 B?A 时, A 是 B 的充分不必要 条件. 解答: 解:f(x)<1 成立的充要条件是

∵ a>1 ∴ x +2x<0 ∴ ﹣2<x<0 ∴ f(x)<1 成立的一个充分不必要条件是﹣1<x<0 故选项为 B 点评: 本题考查不等式的解集是不等式的充要条件;据集合之间的关系判断条件关系. 5. (5 分) (2012?太原模拟)下列命题中是假命题的是( ) A. ?m∈{R},使 f(x)=(m﹣1)? 是幂函数,且在(0,+∞)上递减 B. ?a>0,函数 f(x)=ln x+lnx﹣a 有零点 C. ?α,β∈R,使 cos(α+β)=cosα+sinβ D.?φ∈R,函数 f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数 考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域;函数零点的判定定理;正弦函数的奇偶性. 专题: 计算题;压轴题. 分析: A 中由幂函数的定义 m﹣1=0,求出 f(x) ,再判在(0,+∞)上的单调性即可; 2 2 2 B 中函数 f(x)=ln x+lnx﹣a 有零点?方程 ln x+lnx=a 有解,转化为求 y=ln x+lnx 的值域问题; C 和 D 中可用特值 解答: 解:A 中由幂函数的定义 m﹣1=0,所以 f(x)=x﹣1,在(0,+∞)上递减正确; B 中函数 f(x)=ln x+lnx﹣a 有零点?方程 ln x+lnx=a 有解,而 y=ln x+lnx∈ 故 a∈ C 中取 D 中 φ= ,所以结论正确; 时成立,故正确; 时,函数 f(x)=sin(2x+φ)=cos(2x) ,是偶函数,故错误
2 2 2 2 2

故选 D 点评: 本题考查幂函数的定义、单调性、函数的零点、三角函数公式及性质等知识,考查知识点较多,但 难度不大.
2页

6. (5 分) (2008?北京)若实数 x,y 满足

则 z=3

x+2y

的最小值是(



A.0

B .1

C.

D.9

考点: 简单线性规划的应用. 分析: 本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:根据已知的约束条件 画出满足约束条

件的可行域,再用角点法,求出目标函数的最大值. 解答: 解:约束条件 对应的平面区域如图示:

由图可知当 x=0,y=0 时,目标函数 Z 有最小值, Zmin=3 故选 B
x+2y

=3 =1

0

点评: 用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键,可先将题 目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述 找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解. 7. (5 分)如图,设 P、Q 为△ ABC 内的两点,且 的面积之比为( ) ,则△ ABP 的面积与△ ABQ



=

+

A.

B.

C.

D.

3页

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 利用向量的运算法则:平行四边形法则作出 P,利用同底的三角形的面积等于高的比求出 ,同理求出 解答: 解:设 则 由平行四边形法则知 NP∥ AB 所以 ,两个式子比求出△ ABP 的面积与△ ABQ 的面积之比.

同理 故 答案为: 故选 B.

点评: 本题考查向量的运算法则:平行四边形法则以及三角形的面积公式.属于基础题. 8. (5 分) (2013?广元二模)如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 压轴题;数形结合. 分析: 根据几何体的三视图确定几何体的形状是解决本题的关键,可以判断出该几何体是圆锥,下面细上
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面粗的容器,判断出高度 h 随时间 t 变化的可能图象. 解答: 解:该三视图表示的容器是倒放的圆锥,下面细,上面粗, 随时间的增加,可以得出高度增加的越来越慢. 刚开始高度增加的相对快些.曲线越“竖直”,之后,高度增加的越来越慢,图形越平稳. 故选 B. 点评: 本题考查函数图象的辨别能力,考查学生对两变量变化趋势的直观把握能力,通过曲线的变化快慢 进行筛选,体现了基本的数形结合思想.

9. (5 分)函数 ① 函数在区间 ② 直线 上是减函数;

,给出下列四个命题:

是函数图象的一条对称轴; 的图象向左平移 而得到;

③ 函数 f(x)的图象可由函数 ④ 若 ,则 f(x)的值域是

其中正确命题的个数是( ) A.1 B .2 考点: 正弦函数的单调性;正弦函数的对称性. 专题: 综合题. 分析: 利用函数的周期与最值判断① 的正误;代入 表达式,判断③ 的正误;通过 解答: 解:函数 函数 的图象向左平移

C.3

D.4

,函数取得最值,判断② 的正误;利用平移关系推导 求出函数的值域,判断④ 的正误;

,它的周期为 π, 而得到函数

时函数取得最大值,所以① ② 正确; ,不是函数 f(x)的

图象,所以③ 不正确; 所以 ,f(x)的值域不是 ,④ 不正确;

故选 B. 点评: 本题是基础题,考查三角函数的基本性质函数的周期、最值、图象的变换、对称轴等等,牢记基本 函数的基本性质能够准确快速解答试题. 10. (5 分) (2012?芜湖二模)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(2﹣x)=f(x) ,且在[﹣3,﹣2]上是减 函数,α,β 是钝角三角形的两个锐角,则下列结论正确的是( ) A.f(sinα)>f(cosβ) B.f(cosα)<f(cosβ) C.f(cosα)>f(cosβ) D.f(sinα)<f(cosβ) 考点: 偶函数;函数单调性的性质. 专题: 综合题. 分析: 由 α,β 是钝角三角形的两个锐角可得 0°<α+β<90°即 0°<α<90°﹣β,从而有 0<sinα<sin(90°﹣ β)=
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cosβ<1 由 f(x)满足 f(2﹣x)=f(x)函数为偶函数即 f(﹣x)=f(x)可得 f(2﹣x)=f(x) ,即函数的 周期为 2,因为函数在在[﹣3,﹣2]上是减函数,则根据偶函数的性质可得在[2,3]单调递增,根据 周期性可知在 0,1]单调递增,从而可判断 解答: 解:∵ α,β 是钝角三角形的两个锐角可得 0°<α+β<90°即 0°<α<90°﹣β ∴ 0<sinα<sin(90°﹣β)=cosβ<1 ∵ f(x)满足 f(2﹣x)=f(x) ,∴ 函数关于 x=1 对称 ∵ 函数为偶函数即 f(﹣x)=f(x)∴ f(2﹣x)=f(x) ,即函数的周期为 2 ∴ 函数在在[﹣3, ﹣2]上是减函数, 则根据偶函数的性质可得在[2, 3]单调递增, 根据周期性可知在 0, 1]单调递增 ∴ f(sinα)<f(cosβ) 故选 D 点评: 本题主要考查了函数的奇偶性、单调性等综合应用,解决的关键一是由 f(2﹣x)=f(x) ,偶函数满 足的 f(﹣x)=f(x)可得函数的周期,关键二是要熟练掌握偶函数对称区间上的单调性相反的性质, 关键三是要 α,β 是钝角三角形的两个锐角可得 0°<α+β<90°即 0°<α<90°﹣β.本题是综合性较好 的试题. 11. (5 分)设 f(x)=x +x(x∈R) ,当 取值范围是( ) A.(﹣∞,1)
3

时,f(misnθ)+f(1﹣m)>0 恒成立,则实数 m 的

B.(﹣∞,0)

C. (﹣∞, )

D.(0,1)

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 确定函数 f(x)=x3+x 是奇函数、增函数,再将不等式转化为具体不等式,即可求实数 m 的取值范 围. 3 3 3 解答: 解:∵ f(x)=x +x,∴ f(﹣x)=﹣x ﹣x=﹣f(x) ,∴ 函数 f(x)=x +x 是奇函数 ∵ f(msinθ)+f(1﹣m)>0,∴ f(msinθ)>f(m﹣1) 2 3 ∵ f′ (x)=3x +1>0,∴ 函数 f(x)=x +x 是增函数 ∴ msinθ>m﹣1 ∴ m(sinθ﹣1)>﹣1 ∵ ,∴ ﹣1≤sinθ﹣1≤0

∴ m<1 故选 A 点评: 本题考查函数单调性与奇偶性的结合,考查学生分析转化问题的能力,属于中档题. 12. (5 分)在△ ABC 中,a、b、c 分别是内角 A、B、C 所对的边,C= 三点共线(该直该不过点 O) ,则△ ABC 周长的最小值是( A. B. C. ) D.

.若

,且 D、E、F

考点: 基本不等式在最值问题中的应用;平面向量的综合题. 专题: 综合题;平面向量及应用.
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分析: 利用三点共线的性质,可得 a+b=1,再利用余弦定理结合基本不等式可求 c 的最小值,从而可得结 论. 解答: 解:∵ ,且 D、E、F 三点共线(该直该不过点 O) , ∴ a+b=1(a>0,b>0) ,∴ ab≤ ∵ c =a +b ﹣2abcosC,C= ∴ c =1﹣3ab≥
2 2 2 2

=



=

∴ 当且仅当 a=b= 时,c 取得最小值 ∴ △ ABC 周长的最小值是 故选 C. 点评: 本题考查向量知识的运用,考查余弦定理,考查基本不等式的运用,属于中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分) (2010?莒县模拟)已知函数 f(x)= 零点,则实数 m 的取值范围是 (0,1) . ,若函数 g(x)=f(x)﹣m 有 3 个

考点: 函数的零点. 专题: 数形结合法. 分析: 先把原函数转化为函数 f(x)= 解答: 解:函数 f(x)= =

,再作出其图象,然后结合图象进行求解.



得到图象为: 又函数 g(x)=f(x)﹣m 有 3 个零点, 知 f(x)=m 有三个零点, 则实数 m 的取值范围是(0,1) . 故答案为: (0,1) . 点评: 本题考查函数的零点及其应用,解题时要注意数形结合思想的合理运用,

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14. (5 分)已知球 Ol、O2 的半径分别为 l、r,体积分别为 V1、V2,表面积分别为 S1、S2,当 r∈(1,+∞) 时, 的取值范围是 ( ,+∞) .

考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;函数的值域;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据球的体积和表面积公式,代入 化简可得 [(r+1)+ ﹣1],令 t=r+1,由 r∈(1,+∞) 可得 t∈(2,+∞) ,结合对勾函数的单调性,可得答案. 解答: 解:令 = + ﹣1] = = = = [(r+1)

令 t=r+1,由 r∈(1,+∞)可得 t∈(2,+∞) ∵ y=t+ 在(2,+∞)上单调递增,当 t=2 时 t+ =



= [(r+1)+

﹣1]> ( ﹣1)=



的取值范围是( ,+∞)

故答案为: ( ,+∞) 点评: 本题以球的体积和表面积公式为载体考查了对勾函数的应用,对应函数是高中数学课本没有但用途 很广的函数之一,特别是其单调性和极值一定要熟练掌握.

15. (5 分)设

在[﹣m,m](m>0)上的最大值为 p,最小值为 q,则 p+q= 2 .

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 g(x)=f(x)﹣1,易判断 g(x)为奇函数,利用奇函数的性质可求得 g(x)最大值与最小值的 和,从而可得 f(x)的最大值与最小值的和. 解答: 解:f(x)=1﹣ ,令 g(x)=f(x)﹣1=﹣ ,x∈[﹣m,m](m>0) ,

g(﹣x)=﹣

=

=﹣g(x) ,所以 g(x)为奇函数.

当 x∈[﹣m,m]时,设 g(x)max=g(x0) ,即[f(x)﹣1]max=g(x0) ,所以 f(x)max=1+g(x0) ; 又 g(x)是奇函数,所以 g(x)min=﹣g(x0) ,即[f(x)﹣1]min=﹣g(x0) ,所以 f(x)min=1﹣g
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(x0) , 所以 p+q=[1+g(x0)]+[1﹣g(x0)]=2. 故答案为:2. 点评: 本题考查了闭区间上函数的最值、函数的奇偶性,解决本题的关键是根据函数特点恰当构造函数, 充分利用函数性质

16. (5 分)数列

的前 100 项的和等于



考点: 数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据数列中项为 的项数为 n,可得第 91 项为 解答: 解:由题意,数列中项为 的项数为 n,则 ∵ 1+2+3+4+…+13= ∴ 第 91 项为 =91

,从第 92 项至第 100 项均为

,由此可得结论.

,从第 92 项至第 100 项均为 =

∴ 数列的前 100 项的和等于 13+ 故答案为:

点评: 本题考查数列的求和,考查学生的计算能力,属于基础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)已知 (1)若 a=1,求 A∩ B; (2)若 A∪ B=R,求实数 a 的取值范围. 考点: 指、对数不等式的解法;交集及其运算. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: (1)当 a=1 时,可求得 A,B,从而可得 A∩ B; (2)由 A∪ B=R,可得到关于 a 的不等式组,解之即可. 解答: 解: (1)当 a=1 时,A={x|﹣3<x<5},B={x|x<﹣1 或 x>5}, ∴ A∩ B={x|﹣3<x<﹣1},…5 分 (2)∵ A={x|a﹣4<x<a+4},B={x|x<﹣1 或 x>5}, 且 A∪ B=R, ∴ ,

∴ 1<a<3. ∴ 实数 a 的取值范围是(1,3)…10 分 点评: 本题考查指、对数不等式的解法,考查集合的交、并运算,考查解不等式组的能力,属于中档题.

9页

18. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 acosC,bcosB,ccosA 成等差数列. (Ⅰ )求角 B 的大小; (Ⅱ )若 a+c=4,求 AC 边上中线长的最小值. 考点: 数列与三角函数的综合. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ )由已知,2bcosB=ccosA+acosC,利用正弦定理,将边 b,c,a 代换成 sinB sinC sinA,再利用 两角和正弦公式求 B (Ⅱ )设 AC 边上的中点为 E,利用三边 a,b,c 用余弦等量将中线 BE 表示出来,再用基本不等式 求最小值. 解答: 解: (Ⅰ )由题意得:2bcosB=ccosA+acosC, 2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC, 2sinBcosB=sinB, .

(Ⅱ )如图:设 AC 边上的中点为 E, 在△ BAE 中,由余弦定理得: ,


2

,代入上式,并整理得

BE =

=

,当 a=c=2 时取到”=”

所以 AC 边上中线长的最小值为 . 点评: 本题考查正弦、余弦定理的应用,用基本不等式求最值.考查分析解决、计算能力. 19. (12 分)已知函数 f(x)=2 (x∈R) . (1)若 f(x)可以表示为一个偶函数 g(x)与一个奇函数 h(x)之和,设 h(x)=t,p(t)=g(2x)﹣ 2h(x) ,求 p(t)的解析式; 2 (2)若 p(t)≥m ﹣2m 对于 x∈[1,2]恒成立,求 m 的取值范围. 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)利用 f(x)=g(x)+h(x)和 f(﹣x)=g(﹣x)+h(﹣x)求出 g(x)和 h(x)的表达式, 再求出 p(t)关于 t 的表达式即可. (2)先有 x∈[1,2]找出 t 的范围,在把所求问题转化为求 p(t)在[ , m ﹣2m 即可.
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2 x+1

]的最小值.让大于等于

解答: 解: (1)假设 f(x)=g(x)+h(x)① ,其中 g(x)偶函数,h(x)为奇函数, 则有 f(﹣x)=g(﹣x)+h(﹣x) ,即 f(﹣x)=g(x)﹣h(x)② , 由① ② 解得 g(x)= [f(x)+f(﹣x)],h(x)= [f(x)﹣f(﹣x)], ∵ f(x)定义在 R 上,∴ g(x) ,h(x)都定义在 R 上. ∵ g(﹣x)= [f(﹣x)+f(x)]=g(x) ,h(﹣x)=12[f(﹣x)﹣f(x)]=﹣h(x) . ∴ g(x)是偶函数,h(x)是奇函数, ∵ f(x)=2
x+1


x+1

∴ g(x)= [f(x)+f(﹣x)]= (2 h(x)= [f(x)﹣f(﹣x)]= (2
x
﹣x

+2

﹣x+1

)=2 +2 , )=2 ﹣2 .
x
﹣x

x

﹣x

x+1

﹣2

﹣x+1

由 2 ﹣2 =t,则 t∈R, ﹣x ﹣2x 2 x 2 2x 平方得 t =(2 ﹣2 ) =2 ﹣2 ﹣2, 2x ﹣2x 2 ∴ g(2x)=2 +2 =t +2, 2 ∴ p(t)=t ﹣2t+2. (2)∵ t=h(x)关于 x∈[1,2]单调递增, ∴ ≤t≤ .
2 2

∴ p(t)=t ﹣2t+2≥m ﹣2m 对于 t∈[ ∴ m ﹣2m≤(t﹣1) +1 对于 t∈[ 令 φ(t)=(t﹣1) +1,则∵ t∈[ φ(t)min=φ( )= ∴ m ﹣2m≤ 解得﹣ ≤m≤
2 2 2 2

]恒成立, ]成立, ],故 φ(t)单调递增,

点评: 本题是在考查指数函数的基础上对函数的恒成立问题,函数奇偶性以及一元二次方程根的判断的综 合考查,是一道综合性很强的难题. 20. (12 分)已知矩形 ABCD,AD=2AB=2,点 E 是 AD 的中点,将△ DEC 沿 CE 折起到△ D’EC 的位置,使 二面角 D'﹣EC﹣B 是直二面角. (1)证明:BE⊥ CD’; (2)求二面角 D'﹣BC﹣E 的余弦值.

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考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的性质. 专题: 综合题. 分析: (1)一般是通过证明线面垂直得到线线垂直,即证明其中一条直线与另一条直线所在的平面垂直. (2)利用向量法求二面角的平面角,建立空间直角坐标系利用向量的一个运算求出两个平面的法向 量,进而求出二面角的余弦值. 解答: 解: (1)证明:∵ AD=2AB=2,E 是 AD 的中点, ∴ △ BAE,△ CDE 是等腰直角三角形,∠ BEC=90°, 又∵ 平面 D'EC⊥ 平面 BEC,面 D'EC∩ 面 BEC=EC ∴ BE⊥ 面 D'EC,∴ BE⊥ CD’. (2)如图,以 EB,EC 为 x 轴、y 轴,过 E 垂直于平面 BEC 的射线为 z 轴,建立空间直角坐标系. 则 设平面 BEC 的法向量为 ;平面 D'BC 的法向量为 ,

代入整理可得:

不妨取 x2=l 得 ,



∴ 二面角 D'﹣BC﹣E 的余弦值为



点评: 解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征,以便于正确利用线面垂直与线面平行关系,并且利 于建立坐标系利用向量法解决空间角与空间建立问题. 21. (12 分) (2010?天津模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=2an﹣n, (n∈N ) (Ⅰ )求 a1,a2,a3 的值; (Ⅱ )求数列{an}的通项公式; (Ⅲ )若 bn=(2n+1)an+2n+1,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求满足不等式
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*

≥128 的最小 n 值.

考点: 数列的应用. 专题: 计算题. 分析: (1)由题设条件令 n=1,2,3,解得 a1=1,a2=3,a3=7. * n (2)由 Sn=2an﹣n,得 Sn﹣1=2an﹣1﹣(n﹣1) ,n≥2,n∈N ,所以 an=2an﹣1+1,由此可知 an=2 ﹣1. 2 3 n﹣1 n 2 3 (3)由题设可知 Tn=3×2+5×2 +7×2 +…+(2n﹣1)?2 +(2n+1)?2 ,则 2Tn=3×2 +5×2 +…+(2n ﹣1)?2 +(2n+1)?2 ,再由错位相减法可求出满足不等式 解答: 解: (1)因为 Sn=2an﹣n,令 n=1 解得 a1=1,再分别令 n=2,n=3,解得 a2=3,a3=7. * (2)因为 Sn=2an﹣n,所以 Sn﹣1=2an﹣1﹣(n﹣1) ,n≥2,n∈N 两式相减得 an=2an﹣1+1 * 所以 an+1=2(an﹣1+1) ,n≥2,n∈N 又因为 a1+1=2,所以 an+1 是首项为 2,公比为 2 的等比数列 n n 所以 an+1=2 ,所以 an=2 ﹣1. (3)因为 bn=(2n+1)an+2n+1, n 所以 bn=(2n+1)?2 2 3 n﹣1 n 所以 Tn=3×2+5×2 +7×2 +…+(2n﹣1)?2 +(2n+1)?2 ① 2 3 n n 2Tn=3×2 +5×2 +…+(2n﹣1)?2 +(2n+1)?2 ② 2 3 n n+1 ① ﹣② 得:﹣Tn=3×2+2(2 +2 +…+2 )﹣(2n+1)?2 =6+2× =﹣2﹣(2n﹣1)?2 n+1 所以 Tn=2+(2n﹣1)?2 若
n+1 n n

≥128 的最小 n 值.

则 即2
n+1

>2 ,解得 n≥6, 的最小 n 值 6.

7

所以满足不等式

点评: 本题考查数列知识的综合运用和不等式的解法,解题时要认真审题,仔细解答. 22. (12 分) (2012?河南模拟)已知 a∈R,函数
x

,g(x)=(lnx﹣1)e +x(其中 e 为

自然对数的底数) . (1)求函数 f(x)在区间(0,e]上的最小值; (2)是否存在实数 x0∈(0,e],使曲线 y=g(x)在点 x=x0 处的切线与 y 轴垂直?若存在,求出 x0 的值; 若不存在,请说明理由. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
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专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)讨论满足 f′ (x)=0 的点附近的导数的符号的变化情况,来确定极值,将 f(x)的各极值与其 端点的函数值比较,其中最小的一个就是最小值; (2)将曲线 y=g(x)在点 x=x0 处的切线与 y 轴垂直转化成方程 g'(x0)=0 有实数解,只需研究导 函数的最小值即可. 解答: 解: (1)∵ ,

∴ 令 f'(x)=0,得 x=a. ① 若 a≤0,则 f'(x)>0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函数 f(x)无最小值. ② 若 0<a<e,当 x∈(0,a)时,f'(x)<0,函数 f(x)在区间(0,a)上单调递减, 当 x∈(a,e]时,f'(x)>0,函数 f(x)在区间(a,e]上单调递增, 所以当 x=a 时,函数 f(x)取得最小值 lna ③ 若 a≥e,则 f'(x)≤0,函数 f(x)在区间(0,e]上单调递减, 所以当 x=e 时,函数 f(x)取得最小值 . .综上可知,当 a≤0 时,函数 f(x)在区间(0,e]上无最小值; 当 0<a<e 时,函数 f(x)在区间(0,e]上的最小值为 lna; 当 a≥e 时,函数 f(x)在区间(0,e]上的最小值为 . (2)∵ g(x)=(lnx﹣1)e +x,x∈(0,e], ∴ g'(x)=(lnx﹣1) e +(lnx﹣1) (e ) +1= 由(1)可知,当 a=1 时, . . (10 分)
′x x ′ x



此时 f(x)在区间(0,e]上的最小值为 ln1=0,即 当 x0∈(0,e], ∴ , , .

曲线 y=g(x)在点 x=x0 处的切线与 y 轴垂直等价于方程 g'(x0)=0 有实数解. (13 分) 而 g'(x0)>0,即方程 g'(x0)=0 无实数解. 、故不存在 x0∈(0,e],使曲线 y=g(x)在点 x=x0 处的切线与 y 轴垂直. 点评: 本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值,以及利用导数研究曲线上某点切线方程,属于中 档题.

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