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电磁场与电磁波(第3版) 冯恩信 西安交通大学 (第一章答案)

电磁场与电磁波(第3版) 冯恩信 西安交通大学 (第一章答案)

? ? ? ? ? ? 1.1 已知 A ? 2 x ? 3 y ? z ; B ? x ? y ? 2 z ,求:(a) A 和 B 的大小(模) (b) A 和 B 的单位 ;

?

?

矢量;(c)

? ? A?B

;(d) A ? B ;(e)A 和 B 之间的夹角;(f) A 在 B 上的投影。

?

?

解:(a) A 和 B 的大小
? A ? A ? ? B ? B ? Ax ? Ay ? Az ?
2 2 2

2

2

? 3 ?1
2 2

2

? ?

14 ? 3 . 74 6 ? 2 . 45

Bx ? By ? Bz ?
2 2 2

1 ?1 ? 2
2

2

(b) A 和 B 的单位矢量
? a ? ? A A ? 1 3 . 74 ? ? ? ? ? ? ( 2 x ? 3 y ? z ) ? 0 . 5 3 5x ? 0 . 8 0 2y ? 0 . 2 6 7z

? ? ? B ? 1 ( x ? y ? 2 z ) ? 0 . 408 x ? 0 . 408 y ? 0 . 816 z ? ? ? ? ? ? b B 2 . 45

(c)

? ? A ? B

? ? A ? B ? Ax B x ? Ay B y ? Az B z ? 2 ? 3 ? 2 ? 7

(d) A ? B

?

?

? x ? ? A ? B ? Ax Bx

? y Ay By

? z

? x

? y 3 1

? z ? ? ? ? 1 ? ?5 x ? 3 y ? z ? 2

Az ? 2 Bz 1

(e)A 和 B 之间的夹角 ? 根据 A ? B ? AB cos ? 得
cos ? ? ? ? A?B AB ? 7 9 . 163 ? 0 . 764

?

?

? ? 40 . 19

0

(f) A 在 B 上的投影
? ? ? ? ? A ? B ? 7 ? 2 . 86 A ?b B 2 . 45

1.2 如果矢量 A、B 和 C 在同一平面,证明 A·(B ? C)=0。 证明:设矢量 A、B 和 C 所在平面为 xy 平面
? ? ? A ? Ax x ? Ay y ? ? ? B ? Bxx ? By y ? ? ? C ? Cxx ? Cy y

? x ? ? B ? C ? Bx Cx

? y By C
y

? z ? ? B z ? (B yC z ? B zC y )x ? (B zC x ? B xC z ) y ? (B xC Cz
y

? ? B yC x )z

? (B xC

y

? ? B yC x )z

? ? ? ? ? A ? (B ? C ) ? 0 ? (B xC y ? B yC x )z ? z ? 0
? ? ? ? ? ? 1.3 已知 A= x cos ? ? y sin ? 、B ? x cos ? ? y sin ? 和 C ? x cos ? ? y sin ? ,证明这三个

矢量都是单位矢量,且三个矢量是共面的。 证明: 1)三个矢量都是单位矢量
? A ? A ? ? B ? B ? ? C ? C ? Ax ? Ay ? Az ?
2 2 2

cos

2

? ? sin

2

? ?1

Bx ? By ? Bz ?
2 2 2

cos ? ? sin ? ? 1
2 2

Cx ? Cy ? Cz ?
2 2 2

cos

2

? ? sin

2

? ?1

2)三个矢量是共面的
? x ? ? B ? C ? Bx Cx ? y By C
y

? z ? B z ? 2 cos ? sin ? z Cz

? ? ? ? ? A ? ( B ? C ) ? 0 ? 2 cos ? sin ? z ? z ? 0

1.4

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A ? x ? 2 y ? z ; B ? ? x ? y ? 3 z ,当 A ? B 时,求 ? 。

解:当 A ? B 时, A ? B ? 0
? ? A?B ?? ? 2?3 ? 0

?

?

?

?

所以
? ? ?5
? ? ? ? ? ? ? ? 1.5 证明三个矢量 A ? 5 x ? 5 y 、B ? 3 x ? 7 y ? z 和 C ? ? 2 x ? 2 y ? z 形成一个三角形的三

条边,并利用矢积求此三角形的面积。
? ? ? 证明 :因为 A ? B ? 2 x ? 2 y ? z ? ?

? ? ? A ? (? B ) ? C ? 0

所以三个矢量 A 、B 和 C 形成一个三角形 此三角形的面积为

? x ? 1 ? S ? A ? B ? Ax 2 Bx

? y Ay By

? z

? x

? y ?5 ?7

? z 0 ?1 ? 5
2

Az ? 5 Bz 3

?5

2

? 20

2

/ 2 ? 10 . 6

? ? ? ? ? ? 1.6 P 点和 Q 点的位置矢量分别为 5 x ? 12 y ? z 和 2 x ? 3 y ? z ,求从 P 点到 Q 点的距离矢

量及其长度。 解:从 P 点到 Q 点的距离矢量为
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? R ? rQ ? r P ? ( 2 x ? 3 y ? z ) ? ( 5 x ? 12 y ? z ) ? ? 3 x ? 15 y

从 P 点到 Q 点的距离为
? R ? R ? 3 ? 15
2 2

? 15 . 3

? ? ? ? ? ? 1.7 求与两矢量 A ? 4 x ? 3 y ? z 和 B ? 2 x ? y ? z 都正交的单位矢量。

? ? ? ? ? ? 解:设矢量 C 与两矢量 A ? 4 x ? 3 y ? z 和 B ? 2 x ? y ? z 都正交,则
? ? A ? C ? 4 C x ? 3C y ? C z ? 0 ? ? B ? C ? 2C x ? C ? Cz ? 0

?

(1) (2)
?
C y ? 3C x
C z ? 5C x

y

(1)+(2)



6C x ? 2C y ? 0
10 C x ? 2 C z ? 0

(3) (4)

(1)+3 ? (2)得
?

?

如果矢量 C 是单位矢量,则
? C ? C ? Cx ? Cy ? Cz ?
2 2 2

C x ? 9 C x ? 25 C x ? 1
2 2 2

所以

Cx ?

1 1 ? 9 ? 25

? 0 . 169

C y ? 3C x ? 0 .5 0 7
C z ? 5 C x ? 0 .8 4 5

? ? ? ? C ? 0 . 169 x ? 0 . 507 y ? 0 . 845 z
? ? 1.8 将直角坐标系中的矢量场 F1 ( x , y , z ) ? x , F 2 ( x , y , z ) ? y 分别用圆柱和圆球坐标系中的 ? ?

坐标分量表示。 解:在圆柱坐标系中

? F?1 ? ? cos ? ? ? ? F ? ? sin ? ? ?1 ? ? ? F z1 ? ? 0 ? ? ?

sin ? cos ? 0

0 ? ? F x1 ? ? cos ? ?? ? ? 0 F y 1 ? ? sin ? ?? ? ? ? 1 ? ? F z1 ? 0 ?? ? ?

sin ? cos ? 0

0 ? ?1 ? ? cos ? ? ?? ? ? ? 0 0 ? ? sin ? ?? ? ? ? ?0 ? 1 ? ?0 ? ?? ? ? ?

? ? ? F1 ( ? , ? , z ) ? cos ? ? ? sin ? ?

?F? 2 ? ? cos ? ? ? ? F ? ? sin ? ? ?2 ? ? ? Fz2 ? ? 0 ? ? ?

sin ? cos ? 0

0? ? Fx2 ? ? cos ? ?? ? ? 0 F y 2 ? ? sin ? ?? ? ? ? 1?? Fz2 ? 0 ?? ? ?

sin ? cos ? 0

0 ? ?0 ? ? sin ? ? ?? ? ? ? 0 1 ? cos ? ?? ? ? ? ?0 ? 1 ? ?0 ? ?? ? ? ?

? ? ? F 2 ( ? , ? , z ) ? sin ? ? ? cos ? ?

在圆球坐标系中
? F r1 ? ? sin ? cos ? ? ? ? ? F ? 1 ? ? ? cos ? cos ? ?F ? ? ? sin ? ? ? ?1 ? ? sin ? cos ? ? ? cos ? cos ? ? ? ? sin ? ? sin ? sin ? cos ? sin ? cos ? sin ? sin ? cos ? sin ? cos ? cos ? ? ? F x 1 ? ?? ? ? sin ? F y 1 ?? ? ? ? F z1 ? 0 ?? ? cos ? ? ? 1 ? ? sin ? cos ? ? ?? ? ? ? ? sin ? 0 ? cos ? cos ? ?? ? ? ? ? ?0 ? ? ? sin ? ? 0 ?? ? ? ?

? ? ? F1 ( r , ? , ? ) ? sin ? cos ? ? ? cos ? cos ? ?? ? sin ? ?

? Fr 2 ? ? sin ? cos ? ? ? ? ? F ? 2 ? ? ? cos ? cos ? ?F ? ? ? sin ? ? ? ?2 ? ? sin ? cos ? ? ? cos ? cos ? ? ? ? sin ? ?

sin ? sin ? cos ? sin ? cos ? sin ? sin ? cos ? sin ? cos ?

cos ? ? ? F x 2 ? ?? ? ? sin ? F y 2 ?? ? ?? Fz2 ? 0 ?? ? cos ? ? ? 0 ? ? sin ? sin ? ? ?? ? ? ? ? sin ? 1 ? cos ? sin ? ?? ? ? ? ? ?0 ? ? cos ? ? 0 ?? ? ? ?

? ? ? F 2 ( r , ? , ? ) ? s i n? s i n? ? ? c o s? s i n? ?? ? c o s? ?
? ? 1.9 将圆柱坐标系中的矢量场 F1 ( ? , ? , z ) ? 2 ? , F2 ( ? , ? , z ) ? 3? 用直角坐标系中的坐标分 ? ?

量表示。 解:根据
? Ax ? A ? y ? Az ? ? ?cos ? ? ? ? s in ? ? ? ? ? 0 ? ? ? s in ? cos? 0 0?? A? ?? 0 A? ?? 1?? Az ?? ? ? ? ? ?

(1)



? F1 x ? F ? 1y ? F1 z ?

? ? cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? 0 ? ?

? sin ? cos ? 0

0? ?2? ? 2 cos ? ? ?? ? ? ? 0 0 ? 2 sin ? ?? ? ? ? ?0 ? 1 ? ?0 ? ?? ? ? ?

? ? ? F1 ( x , y , z ) ? 2 cos ? x ? 2 sin ? y

又因为

x ? c o s? ? ? 2 2 x ? y ? x ? ? s i n? ? 2 2 x ? y ? ? z ? z ? ?
2 x
2

(2)

? ? F1 ( x , y , z ) ? 2 ? ?

? ? ( xx ? yy )
2

? y

? F2 x ? F ? 2y ? F2 z ?

? ? cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? 0 ? ?

? sin ? cos ? 0

0 ? ?0 ? ? ? 3 sin ? ? ?? ? ? ? 0 3 ? 3 cos ? ?? ? ? ? ?0 ? 1 ? ?0 ? ?? ? ? ?

? ? ? F 2 ( x , y , z ) ? ? 3 sin ? x ? 3 cos ? y

利用(2)式可得
? ? F 2 ( x , y , z ) ? 3? ? x 3
2

? ? ( xy ? yx )
2

? y

? ? 1.10 将圆球坐标系中的矢量场 F1 ( r , ? , ? ) ? 5 r , F2 ( r , ? , ? ) ? ? 用直角坐标系中的坐标分

?

?

量表示。 解:根据
? Ax ? A ? y ? Az ? ? ? sin ? c o s ? ? ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? cos? ? ? cos? cos? c o s ? sin ? ? sin ? ? sin ? ? ? A r ?? c o s ? ? A? ? ? ? A? 0 ?? ? ? ? ? ?

(1)


? F1 x ? F ? 1y ? F1 z ? ? ? sin ? cos ? ? ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? cos ? cos ? cos ? sin ? ? sin ? ? sin ? ? ? 5 ? ? 5 sin ? cos ? ? ?? ? ? ? cos ? 0 ? 5 sin ? sin ? ?? ? ? ? ? ?0 ? ? 5 cos ? ? 0 ?? ? ? ?

? ? ? ? F1 ( x , y , z ) ? x 5 sin ? cos ? ? y 5 sin ? sin ? ? z 5 cos ?

又因为

? x ? r sin ? cos ? ? ? y ? r sin ? sin ? ? z ? r cos ? ?
? F1 ( x , y , z ) ? x 5
2

(2)



? ? ? ( xx ? yy ? zz )
2

? y

? z

2

? ? ? F 2 ( r , ? , ? ) ? ?? ? ? ? r
? r ? x ? ? ? x
2 2

1 ? y 1 ? y
2 2

? ? ? ( xx ? yy ? zz ) ? z
2

? ? ( xy ? yx )

? ? ? F 2 ( r , ? , ? ) ? ?? ? ? ? r
1 x ? x
2 2

=

? ? ( xy ? yx ) ?
2

1 x
2

? ? ? ( xx ? yy ? zz )
2

? y 1 ? y

? y

? z

2

1
2

? [? z ( x
2

2

? ? ? y ) ? xz x ? yz y ]
2

x

2

? y

? z

2

1.11 计算在圆柱坐标系中两点 P ( 5 , ? / 6 , 5 ) 和 Q ( 2 , ? / 3 , 4 ) 之间的距离。 解:两点 P ( 5 , ? / 6 , 5 ) 和 Q ( 2 , ? / 3 , 4 ) 之间的距离为
d ? ? ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? ( z1 ? z 2 )
2 2 2

( 5 ? cos( ? / 6 ) ? 2 ? cos( ? / 3 )) ( 3 . 33 ) ? ( 0 . 768 ) ? (1)
2 2 2

2

? ( 5 ? sin( ? / 6 ) ? 2 ? sin( ? / 3 ))

2

? (5 ? 4 )

2

?

12 . 69 ? 3 . 56

? ? ? ? ? ? 1.12 空间中同一点上有两个矢量,取圆柱坐标系,A ? 3 ? ? 5? ? 4 z ,B ? 2 ? ? 4 ? ? 3 z ,

求:(a) A+B ; (b) A ? B; (c) A 和 B 的单位矢量; (d) A 和 B 之间的夹角; (e) A 和 B 的大 小; (f) A 在 B 上的投影。 解: (a)
? ? ? ? ? ? ? ? A ? B ? ( 3 ? 2 ) ? ? ( 5 ? 4 )? ? ( ? 4 ? 3 ) z ? 5 ? ? 9 ? ? z
? ? ? ? A ? B ? A? B? ? ? A? B? ? z ? ? ? ? 5 4 ? z ? ? ? ? 4 ? 31 ? ? 17 ? ? 2 z 3

(b)

Az ? 3 Bz 2

(c)

? a ?

? A A ? B B

? ?
2

1 3 ?5 ? 4
2 2

? ? ? ( 3 ? ? 5? ? 4 z ) ?

1 7 . 07 1 5 . 385

? ? ? ( 2 ? ? 4? ? 3 z )

? b ?

? ?

1 2
2

? ? ? ( 2 ? ? 4? ? 3 z ) ?
2

? ? ? ( 2 ? ? 4? ? 3 z )

? 4

?3

2

(d) A 和 B 之间的夹角
? ? cos
?1

(

? ? A?B AB

) ? cos

?1

(

14 38 . 077

) ? 68 . 4

0

(e) A 和 B 的大小
A ? B ? A ? ? A? ? A z ? 7 .0 7 1
2 2 2

B ? ? B ? ? B z ? 5 .3 8 5
2 2 2

(f) A 在 B 上的投影
? ? ? ? ? A ? b ? ( 3 ? ? 5? ? 4 z ) ?
1 5 . 385 ? ? ? ( 2 ? ? 4? ? 3 z ) = 2 .6

? ? 1.13 矢量场中, 取圆柱坐标系, 已知在点 P (1, ? / 2 , 2 ) 矢量为 A ? 2 ? ? 3? ,在点 Q ( 2 , ? , 3 ) ? ? 矢量为 B ? ? 3 ? ? 10 z ;求:(a)A+B ; (b) A·B;(c) A 和 B 之间的夹角。

解:转换到直角坐标系
? Ax ? A ? y ? Az ? ? ?cos ? ? ? ? s in ? ? ? ? ? 0 ? ? ? s in ? cos? 0 0?? A? ?? 0 A? ?? 1?? Az ?? ? ? ? ? ?

?0 ? ? A ? 1 ? ?0 ? ?? 1 ? ? B ? 0 ? ? 0 ?

?1 0 0 0 ?1 0

0? ?2? ?? ? ? ? 0 3 ? ?3x ? 2 y ?? ? 1 ? ?0 ? ?? ? 0 ? ?? 3? ?? ? ? ? 0 0 ? 3 x ? 10 z ?? ? 1 ? ? 10 ? ?? ?

? ? (a) A+B ? 2 y ? 10 z

(b) A·B

? 9

(c) A 和 B 之间的夹角
? ? cos
?1

(

? ? A?B AB

) ? cos

?1

(

?9 15 . 44

) ? 125 . 7

0

1.14 计算在圆球坐标系中两点 P (10 , ? / 4 , ? / 3 ) 和 Q ( 2 , ? / 2 , ? ) 之间的距离及从 P 点到 Q

点的距离矢量。 解:根据圆球坐标与直角坐标的关系
? x ? r sin ? cos ? ? ? y ? r sin ? sin ? ? z ? r cos ? ? ? x 1 ? r sin ? cos ? ? 10 ? 0 . 707 ? 0 . 5 ? 3 . 535 ? ? y 1 ? r sin ? sin ? ? 10 ? 0 . 707 ? 0 . 866 ? 6 . 122 ? z 1 ? r cos ? ? 10 ? 0 . 707 ? 7 . 07 ? ? x 2 ? r sin ? cos ? ? 2 ? 1 ? ( ? 1 ) ? ? 2 ? y 2 ? r sin ? sin ? ? 2 ? 1? ? 0 ? ? z 2 ? r cos ? ? 2 ? 0 ? 0 ?
d ? ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? ( z1 ? z 2 )
2 2 2

( 3 . 535 ? 2 ) ? ( 6 . 122 ) ? ( 7 . 07 )
2 2

2

? 10 . 87

? ? ? ? 1.15 空间中的同一点上有两个矢量,取圆球坐标系,A ? 3 r ? ?? ? 5? ,B ? 2 r ? ?? ? 4 ? ,

求:(a) A+B ; (b) A·B; (c) A 和 B 的单位矢量; (d) A 和 B 之间的夹角; (e) A 和 B 的 大 小; (f) A 在 B 上的投影。
? ? 解:(a) A+B ? 5 r ? 9 ?

(b) A·B ? 25 (c) A 和 B 的单位矢量
? a ? 1 35 ? ? ? ( 3 r ? ?? ? 5 ? ) ; b ? 1 21 ? ? ( 2 r ? ?? ? 4 ? )

(d) A 和 B 之间的夹角
? ? cos
?1

(

? ? A?B AB

) ? cos

?1

(

25 27 . 11

) ? 22 . 75

0

(e) A 和 B 的 大小
A ? B ? A r ? A ? ? A ? ? 5 . 92
2 2 2

B r ? B ? ? B ? ? 4 . 58
2 2 2

(f) A 在 B 上的投影
? ? ? ? A ? b ? ( 3 r ? ?? ? 5? ) ?
1 21 ? ? ( 2 r ? ?? ? 4 ? ) ? 5 . 455

1.16 求 f ( x , y , z ) ? x y z 的梯度。
3 2

? 解: ? f ? x

?f ?x

? ? y

?f ?y

? ? z

?f ?z

? ? ? ? 3 x y z x ? 2 x yz y ? x y z
2 2 3 3 2

? ? ? 1.17 求标量场 f ( x , y , z ) ? x y ? 2 z 在点(1,1,1)沿 l ? x x ? 2 y ? z 方向的变化率。
2

?

? 解: ? f ? x

?f ?x

? ? y

?f ?y

? ? z

?f ?z

? ? ? ? yx ? xy ? 4 zz

l? ? x
2

1 ? y
2

? ? ? ( xx ? 2 y ? z ) ?1

?f

xy ? 2 x ? 4 z ? ? f ? l? ? 2 2 ?l x ? y ?1

所以
?f ?l
( 1 ,1 ,1 )

?

3

? 1.18 由 ? ? ? x

?? ?x

? ? y

?? ?y

? ? z

?? ?z

,利用圆柱坐标和直角坐标的关系,推导

? ?? ? ?

?? ??

? ??

1 ??

? ??

? ? z

?? ?z



解:在直角坐标系中
? ?? ? x

?? ?x

? ? y

?? ?y

? ? z

?? ?z

(1)

? x ? ? cos? ? ? y ? ? s in ? ? z ? z ?

(2)

?? ? x 2 ? y 2 ? y ? ? ? ? a rc tg x ? z ? z ? ?
? ? ? x ? ? c o s ? ? ? sin ? ? ? ? y ? ? sin ? ? ? c o s ?

(3)

(4) (5)

由(2)(3)式可得 、
?? ?x ? cos ?

(6)

?? ?x

?

2 y 1 x ? ? 2 ? ? sin ? 2 y 2 ? x ? y 1? ( ) x

?

y

(7)

?? ?y

? sin ?

(8)

1 ?? ?y ? x 1? ( y x )
2

? x

x
2

? y

2

?

1

?

cos ?

(9)

由(1)-(5)式得
? ?? ? x

?? ?x

? ? y

?? ?y

? ? z

?? ?z ?? ?x
? ? ? ( ? sin ? ? ? cos ? )

? ? ? ( ? cos ? ? ? sin ? )

?? ?y

? ? z

?? ?z


?? ?x ?? ?y
? ?? ?? ?? ?x ?? ?? ?? ?y ? ?? ?? ?? ?x ?? ?? ?? ?y ? ?? ?? ?? ?? cos ? ? 1 ?? sin ?

? ??
1 ??

?

?

?

sin ? ?

? ??

cos ?

再由(6)-(9)式可得
? ? ? ? ? ( ? cos ? ? ? sin ? ) (
?? ?? ?? ?? cos ? ? 1 ?? sin ? )

? ??
1 ??

? ? ? ( ? sin ? ? ? cos ? ) (

sin ? ?

? ??

? cos ? ) ? z

?? ?z
1 ??

? =?

?? ?? ?? ??

cos

2

? ? ??

1 ??

? ??
1 ??

sin

2

? ? ??

?? ?? ?? ??

? cos ? sin ? ? ?

? ??
1 ??

cos ? sin ?

? ? ?

sin

2

? ? ??

? ??

cos

2

? ? ??

? cos ? sin ? ? ?

? ??

? cos ? sin ? ? z

?? ?z

? ?? ? ?

?? ??

? ??

1 ??

? ??

? ? z

?? ?z

1.19 求 f ( ? , ? , z ) ? ? cos ? 的梯度。
? 解: ? f ? ?

?f ??

? ??

1 ?f

? ??

? ? z

?f ?z

? ? ? ? cos ? ? ? sin ?

? 1.20 由 ? ? ? x

?? ?x

? ? y

?? ?y

? ? z

?? ?z

,利用圆球坐标和直角坐标的关系,推导

? ?? ? r

??

1 ?? ? 1 ?? ? ? ? ?? 。 ?r r ?? r sin ? ? ?

解:
? s ?x ? r s i n c o ? ? ? ? ?y ? rsin sin ? z ? rc o? s ?
? 2 2 2 r ? x ? y ? z ? 2 2 ? x ? y ? ?? ? a rc tg z ? y ? ? ? a rc tg ? x ?
? ? ? x ? r sin ? cos ? ? ?? cos ? cos ? ? ? sin ? ? ? ? y ? r sin ? sin ? ? ?? cos ? sin ? ? ? cos ?

? ? z ? r cos ? ? ?? sin ?

?? ?x ?? ?y ?? ?z
?r ?x
?r ?y

?

?? ?r ?r ?x ?? ?r ?r ?y ?? ?r ?r ?z

?

?? ?? ?? ?x ?? ?? ?? ?y ?? ?? ?? ?z

?

?? ?? ?? ?x ?? ?? ?? ?y ?? ?? ?? ?z

?

?

?

?

?

?

? sin ? cos ?

? sin ? sin ?

?r ?z ?? ?x
?? ?y

? cos ? ? 1 r
? 1 r cos ? sin ?

cos ? cos ?

?? ?z ?? ?x

? ? ? ?

1 r

sin ?

sin ? r sin ?

?? ?y
?? ?z

?

cos ? r sin ?

? 0

? ?? ? x

?? ?x

? ? y

?? ?y

? ? z

?? ?z
? ? ) ( r s i n? c o s? ? ?? c o s? c o s? ? ? s i n? )

? (

?? ?r ?r ?x

?

?? ?? ?? ?x

?

?? ?? ?? ?x

?(

?? ?r ?r ?y ?? ?r ?r ?z

?

?? ?? ?? ?y ?? ?? ?? ?z

?

?? ?? ?? ?y ?? ?? ?? ?z

? ? ) ( r sin ? sin ? ? ?? cos ? sin ? ? ? cos ? )

?(

?

?

? ) ( r cos ? ? ?? sin ? )

? ( ? (

?? ?r

? ? sin ? cos ? ) ( r sin ? cos ? ? ?? cos ? cos ? ? ? sin ? ) ? ? cos ? cos ? ) ( r sin ? cos ? ? ?? cos ? cos ? ? ? sin ? )

1 ?? r ??
1

?(

??

r sin ? ? ?

? ? sin ? ) ( r sin ? cos ? ? ?? cos ? cos ? ? ? sin ? )

?( ?(

?? ?r

? ? sin ? sin ? ) ( r sin ? sin ? ? ?? cos ? sin ? ? ? cos ? ) ? ? cos ? sin ? ) ( r sin ? sin ? ? ?? cos ? sin ? ? ? cos ? )

1 ?? r ??
1

?(

??

r sin ? ? ?

? ? cos ? ) ( r sin ? sin ? ? ?? cos ? sin ? ? ? cos ? )

? (

?? ?r

? cos ? ) ( r cos ? ? ?? sin ? ) ? sin ? ) ( r cos ? ? ?? sin ? )

? (?

1 ?? r ??

? ?? ? r

??

1 ?? ? 1 ?? ? ? ? ?? ?r r ?? r sin ? ? ?

1.21 求 f ( r , ? , ? ) ? r sin ? cos ? 的梯度。
2

解:
? ?f ? r

?f

1 ?f 1 ?f ? ? ?? ?? ?r r ?? r sin ? ??

? ? ? r 2 r sin ? cos ? ? ??r cos ? cos ? ? ? r sin ?

1.22 求梯度 ? ? , ? r , ? e ,其中 k 为常数。
kr

解:
? ?? ? ?

?? ??

? ? ?

? ?r ? r

?r ?r

? ? r
kr

?e

kr

? ? r

?e

?r

? ? r ke

kr

1.23 在圆球坐标系中,矢量场 F ( r ) 为 F ( r ) ? 任意闭合曲线 l 的环量积分为零,即
? ? F ? dl ? 0 。

? ?

? ?

k r
2

? ? ? r ,其中 k 为常数,证明矢量场 F ( r ) 对

?
l

证明:根据斯托克思定理:

?
l

? ? F ? dl ?

??
S

? ? ? ? F ? dS

? r
? ? k 1 ? ? ? ? F (r ) ? ? ? 2 r ? 2 r r sin ? ? r k

r ??

? r sin ? ?

? ??
0

? ??
0

=0

r

2

所以

?
l

? ? F ? dl ?

??
S

? ? ? ? F ? d S =0

1.23 证明(1) ? 证明: (1) ?
? ? ? ? x

? ?

?

1 ?
2

(? ? ? ? ? ? ? ) ; (2) ? F ( ? ) ? F ' ( ? ) ? ? 。

? ? ?x ?

? ? y

? ? ?y ?

? ? z

? ? ?z ?

? ? x

1 ? ? ?x

? ? ? x

? ?? ?
2

?x

? ? y

1

?

? ?y
? ?z

? ? ? y

? ?? ?
2

?y

? ? z

1 ? ? ?z

? ? ? z

? ?? ?
2

?z

?

? ?
2

? {x

? ?x

? ? ? y

? ?y

? ? ? z

?} ?

? ?
2

? {x

?? ?x

? ? y

?? ?y

? ? z

?? ?z

}

?

1 ?
2

(? ? ? ? ? ? ? )
? ?x ? ?y ? ?z

? (2) ? F ( ? ) ? x

? F ? y

? F ? z

F

? ? xF '

? ?x

? ? ? F'y

? ?y

? ? ? zF '

? ?z

? ? F ' (? )? ?

??
1.24 由 ? ? A ? lim 解:
S ?V ? 0

? ? A ? dS ?V

推导 ? ? A ?

?

?Ax ?x

?

?A y ?y

?

?Az ?z



图 1-1 1.25 由 ? ? A ?
?

?Ax ?x

?

?A y ?y

?

?Az ?z

推导 ? ? A ?

?

1 ?

? ??

(?A? ) ?

1 ? A?

? ??

?

?Az ?z



? ? A? 1 ? 1 ? 1 2 ??A ? 2 (r Ar ) ? (sin ? A ? ) ? 。 r sin ? ? ? r sin ? ? ? r ?r

解: (1)
? ?A y ?Ax ?Az ??A ? ? ? ?x ?y ?z

?

?A x ?? ??
?x

?

?Ax ?? ?? ?x

?

?A y ?? ??
?y

?

?A y ?? ?? ?y

?

?Az ?z



? Ax ? A ? y ? Az ?

? ?cos ? ? ? ? s in ? ? ? ? ? 0 ? ?

? s in ? cos? 0

0?? A? ?? 0 A? ?? 1?? Az ??

? ? ? ? ?



A x ? A ? c o s? ? A ? s i n? A y ? A ? s i n? ? A ? c o s?
?? ?x ? cos ?

?? ?x
?? ?y ?? ?y

? ?

1

?

sin ?

? sin ?

?

1

?

cos ?

? ?A y ?? ?A y ?? ?A x ?? ?A x ?? ?A z ??A ? ? ? ? ? ?? ? x ?? ?x ?? ? y ?? ?y ?z
? ?? ? ?? 1 ? ?? ? ??

? c o s?

( A ? c o s? ? A ? s i n? ) ?

?
1

s i n?

( A ? c o s? ? A ? s i n? )

? s i n?

( A ? s i n? ? A ? c o s? ) ?

?

c o s?

( A ? s i n? ? A ? c o s? ) ?

?Az ?z

?

? ??

A ? cos

2

? ?

? ?? 1

A ? cos ? sin ? ?

1

?

sin ? cos ?

? ??

A? ?

1

?

sin

2

?A?

?

1 ? A?

? ??
?

sin

2

? ?

?

sin ? cos ? A ? ?

1

?

cos

2

?

? A? ??

?

1

?
?

cos ? sin ? A ?

? sin

2

? ??

A ? ? sin ? cos ?

? ??

A? ?

1

?

cos ? sin ?

??

A? ?

1

?

cos

2

?A? ?

?Az ?z

?

? ??

A? ?

A?

?

?

1 ? A?

? ??
1 ? A?

?

?Az ?z

?

1 ?

? ??

(?A? ) ?

? ??

?

?A z ?z

(2) ? ? A ?
?r ?x
?r ?y

?

1 ? r
2

?r

(r Ar ) ?
2

1

?

r sin ? ? ?

(sin ? A ? ) ?

1

? A?

r sin ? ? ?

? sin ? cos ?

? sin ? sin ?

?r ?z ?? ?x
?? ?y

? cos ? ? 1 r
? 1 r cos ? sin ?

cos ? cos ?

?? ?z ?? ?x

? ? ? ?

1 r

sin ?

sin ? r sin ?

?? ?y
?? ?z
? Ax ? A ? y ? Az ?

?

cos ? r sin ?

? 0
? ? sin ? c o s ? ? ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? cos? ? ? cos? cos? c o s ? sin ? ? sin ? ? sin ? ? ? A r ?? c o s ? ? A? ? ? ? A? 0 ?? ? ? ? ? ?

? ?A y ?Ax ?Az ??A ? ? ? ?x ?y ?z

?

?A x ?r ?r ?x ?A z ?r ?r ?z

?

?A x ?? ?? ?? ?x ?A z ?? ?z

?

?A x ?? ?? ?x ?A z ?? ?? ?z

?

?A y ?r ?r ?y

?

?A y ?? ?? ?y

?

?A y ?? ?? ?y

?

?

?

? sin ? cos ? ? cos ? cos ?
sin ?

? ?r

(sin ? cos ? A r ? cos ? cos ? A ? ? sin ? A ? ) (sin ? cos ? A r ? cos ? cos ? A ? ? sin ? A ? )

1 ? r ??

?

?

r sin ? ??

(sin ? cos ? A r ? cos ? cos ? A ? ? sin ? A ? )

? sin ? sin ? ? cos ? sin ?
cos ?

? ?r

(sin ? sin ? A r ? cos ? sin ? A ? ? cos ? A ? ) (sin ? sin ? A r ? cos ? sin ? A ? ? cos ? A ? )

1 ? r ??

?

?

r sin ? ??

(sin ? sin ? A r ? cos ? sin ? A ? ? cos ? A ? )

? cos ? ?

?

?r sin ? ?
r

(cos ? A r ? sin ? A ? ) (cos ? A r ? sin ? A ? )
2

??
2

? sin ? sin ? cos ? ? ? ?
? ?

? cos
? sin
? ? ?r

?
?

? ?r

A r ? sin ? cos ? cos A r ? sin ? cos ? sin
2

2

?

? ?r

A ? ? sin ? cos ? sin ? A ? ? sin ? sin ? cos ?

? ?r

A? A?

2

2

? ?r

?

? ?r

? ?r

2

A r ? cos ? sin ?
2

? ?r

A?
2

1 r 1 r 1 r 1 r
1 r 1 r

(sin ? cos ? cos (sin ? cos ? sin (sin ? cos ? (cos
(cos (sin
1
2

?

? ?? ?

A r ? cos A r ? cos
2

? cos

2

?

? ?? ?

A ? ? cos ? cos ? sin ? A ? ? cos ? sin ? cos ?

? ?? ?

A? ) A? )

2

?

2

??

? sin

2

?

??

??

? ??
2

A r ? sin

?

? ??

A? )
2

? cos
? sin

? A r ? sin ? cos ? cos
? A r ? sin ? cos ? sin
2

? A? )

2

2

? A? )

2

? A r ? sin ? cos ? A ? )
( ? sin ? sin ? cos ?

?

? ??

r sin ? 1 r sin ?

A r ? cos ? sin ? cos ?

? ??

A ? ? sin

2

?

? ??

A? )

?

(sin ? sin ? cos ?

? ??

A r ? cos ? sin ? cos ?

? ??

A ? ? cos

2

?

? ??

A? )

? ?

1 r sin ? 1 r sin ?

(sin ? sin (sin ? cos

2

? A r ? cos ? sin
? A r ? cos ? cos
sin ?

2

? A ? ? sin ? cos ? A ? )
2

2

? A ? ? sin ? cos ? A ? )
cos ? r sin ? 1 1

?

? ?r

( Ar ) ?

2 r

Ar ?

?

r sin ? ?? 1

( A? ) ?

A? ?

? A?

r sin ? ??

?

1 ? r
2

?r

(r Ar ) ?
2

?

r sin ? ??

(sin ? A ? ) ?

? A?

r sin ? ??

1.26 计算下列矢量场的散度 a) b) c)
? ? ? ? F ? y zx ? zy y ? x zz

? ? ? F ? ? ? ??
? ? ? ? F ? 2 r ? r co s? ? ? r?

解: a) ? ? F ?
?

?Fx ?x
1 ?

?

?F y ?y

?

?Fz ?z

? z ? x

b) ? ? F ?

?

? ??

(?F? ) ?

1 ? F?

? ??

?

?Fz ?z

?

1

?

2 ? ? F? 1 ? 1 ? 1 4 cos ? 2 (r Fr ) ? (sin ? F ? ) ? ? ? sin ? ? c) ? ? F ? 2 r sin ? ?? r sin ? ?? r sin ? r ?r

? 1.27 计算散度 ? ? ( ? ? ), ? ? r , ? ? ( k e

?

?

? ? k ?r

? ) ,其中 k 为常矢量。

解:
? ? ? (?? ) ?
1 ? ( ?? ) ? 2

? ??

? 1 ? ? 2 (r r ) ? 3 ? ?r ? ? ?F ? 2 r ?r ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? k ?r k ?r k ?r k ?r 2 k ?r ? ? (k e ) ? k ? ? e ? k ? e ? (k ? r ) ? k ? k e ? k e

2 1.28 由 ? ? ?

? ?
2

?x

2

?

? ?
2

?y

2

推导 ? ? ?
2

1 ?

? ??

(?

?? ??

)?

1 ? ?
2

?

2

??

2



解:
? ? ?
2

? ?
2

?x

2

?

? ?
2

?y

2

?? ?x ?? ?y

?

?? ?? ?x ?? ?? ?? ?y ??

?

?? ?? ?x ?? ?? ?? ?y ??

? c o s?

?? ?? ?? ??

? s i n?

1 ??

? ??
1 ??

?

?

? s i n?

? c o s?

? ??
1 ??

? ?
2

?x

2

? (cos ?

? ??

? sin ?

1

?

? ??

)(cos ?

?? ??

? sin ?

? ??

)

? cos

2

?

? ?
2

?? 1
2

2

? sin ? cos ? (sin ? ?? ??

? ??

(

1 ??

? ??

) ? sin ?

1

?

? ??

(cos ?

?? ??

)

? sin ?

? ??

?

)

? ?
2

?y

2

? (sin ?

? ??

? cos ?

1

?

? ??
? ??

)(sin ?

?? ??

? cos ?

1 ??

? ??
?

)

? sin

2

?

? ?
2

?? 1

2

? sin ? cos ? (cos ? ?? ??

(

1 ??

? ??

) ? cos ?

1

? ??

(sin ?

?? ??

)

? cos ?

?
2

?

??
2

)

? ? ? cos
2

?
?

? ?
2

??

2

? sin ? cos ? ?? ??

? ??

(

1 ??

? ??

) ? sin ?

1

?

? ??

(cos ?

?? ??

)

? sin ?

1

?

2

??
2

(sin ?

)

? sin

2

?

? ? ?? 1
2

? sin ? cos ? (cos ? ?? ??

? ??

(

1 ??

? ??

) ? cos ?

1

?

? ??

(sin ?

?? ??

)

? cos ?

?
2

?

??
2

)

?

? ?
2

??

2

? sin

?

1 ??

? ??

? sin ? cos ?

1 ? ?
2

? ????

? sin ? cos ?

1 ??

?

2

??

? sin

2

1 ? ?
2

?
2

2

??

2

? cos

?

1 ??

? ??
1 ??

? cos ? sin ?

1 ? ?
2

? ????
1 ?

? cos ? sin ?

1 ??

?

2

??

? cos

2

?

1 ? ?
2

?

2

??

2

?

? ?
2

??

2

?

? ??

?

1 ? ?
2

?

2

??

2

?

? ??

(?

?? ??

)?

1 ? ?
2

?

2

??

2

1.29 已知 a) f (r) ? x z
2

b) f (r)= ? c) f (r)= r 求? f 。
2

解:

a)

?

2

f ?

?

2

f
2

?x

?

?

2

f
2

?y

?

?

2

f
2

?z

? 2z

b)

?

2

f ?

1 ?

? ??
1 ? r
2

(?

?f ??

)?

1 ?

2

f
2

?

2

??
1

?

?

2

f
2

?z

?

1

?

c)

?

2

f ?

?r

(r

2

?f ?r

)?

?

r sin ? ??
2

(sin ?

?f ??

)?

1 r sin
2 2

?

2

f
2

? ??

?

2 r

? ? ? 1.30 求矢量场 F ? ? ? ? ? ? zz 穿过由 ? ? 1, 0 ? ? ? ? , 0 ? z ? 1 确定的区域的封闭面的通

?

量。
? ? ? 解: F ? ? ? ? ? ? zz ?

解法 1:

??
S

? ? F ? dS ?

??
S1

? ? F ? dS ?

??
S2

? ? F ? dS ?

??
S3

? ? F ? dS ?

??
S4

? ? F ? dS

S 1 为半径为 1 的圆弧侧面; S 2 为侧平面; S 3 下端面; S 4 上端面。
? ? F ? dS ?
1 ?

??
S1

??
S1

? ? ? ? ( ? ? ? ? ? z z ) ? z ? d ? dz ?

? ? ?? d ? dz
0 0
1 1

? ?

??
S2

? ? F ? dS ?

??
S2

? ? ? ? ( ? ? ? ? ? z z ) ? ( ? y ) dxdz ? ? ?

?(y ?

x x
2

)
2

?1 0

? y

y ? 0

dzdx

0

1

?

? dx
?1

?

? dx
0

? 0

??
S3

? ? F ? dS ?

?? ( ? ??
S3

? ? ? ? ? zz )

z ? 0

? ? (? z ) ?d?d? ? 0

??
S4

? ? F ? dS ?
? ? F ? dS ?

?? ( ? ??
S4

? ? ? ? ? zz )

z ?1

? ? ( z)?d?d? ? ? / 2

??
S

??
S1

? ? F ? dS ?

??
S2

? ? F ? dS ?

??
S3

? ? F ? dS ?

??
S4

? ? F ? d S = 3? / 2

解法 2:
? ?Fz 1 ? 1 ? F? (?F? ) ? ? ? 2 ?1? 3 ??F ? ? ?? ? ?? ?z

??
S

? ? F ? dS ?

???
V

? ? ? F dV ? ??? 3 dV ? 3V ? 3? / 2
V

?
? 1.31 由( ? ? A) ? n ?

? ? A ? dl ?s

? x

? y

? z

lim

l

推导 ? ? A ?

? ?x
Ax

? ?y
Ay

? ?z
Az



?s? 0

解:
? ? 1)设 n ? x , l 为边长为 ? y 和 ? z 的,中心在 ( x , y , z ) 的矩形回路

?
l

? ? ?A y ?Az A ? dl ? ? Az ?z ? ( A y ? ? z )?y ? ( Az ? ?y )? z ? A y ? y ?z ?y

? ?

?A y ?z

? z? y ?

?Az ?y

? y? z

?
l

? ? A ? dl ?s ? ? ?

?A y ?z

?

?A z ?y

? ? 2)设 n ? y , l 为边长为 ? x 和 ? z 的,中心在 ( x , y , z ) 的矩形回路

?
l

? ? ?A x ?Az A ? dl ? ? Ax ?x ? ( Az ? ?x)?z ? ( Ax ? ?z )?x ? Az ? z ?x ?z
?A z ?x ?Ax ?z

? ?

? zx ? z ?

? z? x

?
l

? ? A ? dl ?s ? ? ?

?Az ?x

?

?Ax ?z

? ? 3)设 n ? z , l 为边长为 ? x 和 ? y 的,中心在 ( x , y , z ) 的矩形回路

?
l

? ? ?A y ?Ax A ? dl ? ? A y ?y ? ( Ax ? ?y )?x ? ( A y ? ? x)? y ? Ax ? x ?y ?x

? ?

?A x ?y

? y? x ?

?A y ?x

? x? y

?
l

? ? A ? dl ?s ? ? ?

?Ax ?y

?

?A y ?x

因此
? ?A y ?A y ?Ax ?Ax ?Az ?Az ? ? ? ? ) ? y (? ? ) ? ) ? z (? ? ? A ? x(? ?z ?y ?y ?x ?x ?z

? x ?

? y

? z

? ?x
Ax

? ?y
Ay
?

? ?z
Az

? ? ? 1.32 计算矢量场 F ? x y x ? 2 y zy ? z 的旋度

解:
? x ? ? ??F ? ?x Fx ? y ? z
? x ? y ? z

? ?y
Fy

? ?z
Fz

?

? ?x
xy

? ?y
2 yz

? ?z
?1

? ? ? ? x (? 2 y ) ? y (0 ? 0) ? z (? x ? 0) ? ? ? ? 2 yx ? xz ? ? 1.33 计算 ? ? ? , ? ? r , ? ? ( z ? ), ? ? ? ? ?

解:
? ?
??? ? ?

1 ?

? ?? ?

? z

? ?z
0

? ?? ?
? ? 1 ?

??
0
? ?? ?

? 0

? z

? ? ? ( z? ) ?

? ?z
0

? ??
z

??
0

? ??

? r
? ??r ?

r ??

? r sin ? ?

1
2

?

? ??
0 r ??

? ??
0 ? r sin ? ?

r sin ? ? r r ? r

? 0

? ? ?? ?

1
2

?

? ??
0
?

? ??
r sin ?
?

r sin ? ? r 0

? ? r

1 ? ?? r sin ? r

cos ?

? ? 1.34 已知 A ? y x ? x y ,计算 A ? ( ? ? A )

?

解:

? x ? ? ?? A ? ?x Ax

? y

? z

? x ?

? y

? z

? ?y
Ay

? ?z
Az

? ?x
y

? ?y
? x

? ?z
0

? ? ?2 z

? ? ? ? ? A ? (? ? A ) ? ( yx ? xy ) ? (? 2 z ) ? 0

? ? 对于任意矢量,若 A ? A x ( x , y ) x ? A y ( x , y ) y

?

? x ? ? ?? A ? ?x Ax

? y

? z

? x ?

? y

? z

? ?y
Ay

? ?z
Az

? ?x
Ax ( x, y )

? ?y
A y ( x, y )

? ?z
0

? ? z (?

?A x ?y

?

?A y ?x

)

? ? ?A y ?A x ? ? ? ? ) =0 A ? ( ? ? A ) =[ A x ( x , y ) x ? A y ( x , y ) y ] ? z ( ? ?y ?x
? ? ? 1.35 证明矢量场 E= yz x ? xz y ? xy z 既是无散场,又是无旋场。

证:
? ?E y ?E x ?E z ??E ? ? ? ? 0 ?x ?y ?z

? x ? ? ??E ? ?x Ex

? y

? z

? x ?

? y

? z

? ?y
Ey

? ?z
Ez

? ?x
yz

? ?y
xz

? ?z
xy

? 0

? 1.36 已知 E= E 0 cos ? r ? E 0 sin ? ?? ,求 ? ? E 和 ? ? E。

解:
? ?E ? 1 ? 1 ? 1 2 ??E ? 2 (r E r ) ? (sin ? E ? ) ? r sin ? ?? r sin ? ?? r ?r
? 1 ? r
?
2

?r

( r E 0 cos ? ) ?
2

1

?

r sin ? ??
? 0

(sin ? ( ? E 0 sin ? ))

2 E 0 cos ? r

?

2 E 0 cos ? r

? r ? ??E ? 1
2

r ??

? r sin ? ?

?

? ??
rE ?

? ??
r sin ? E ?

r sin ? ? r Er

? r ? 1 r sin ?
2

r ??

? r sin ? ?

? ?r
E 0 cos ?

? ??
? rE 0 sin ?

? ??
0

?

? ? r

( ? E 0 s i n? ? E 0 s i n? ) ? 0

1.37 证明 ? ? ( ? A ) ? ? ? ? A ? ? ? ? A 。 解:
? x
? ? ? (? A ) ? ?

?

?

?

? y

? z

? ?x
? Ax

? ?y
?Ay

? ?z
? Az
?? Az ?x ?? A y ?x ?Ax ?y ?? Ax ?y

? ? x(

?? Az ?y ?A z ?y
?? ?y

?

?? A y ?z ?A y ?z

? ) ? y(

?? Ax ?z

?

? ) ? z(

?

)

? ? ?{x(

?

? ) ? y(

?A x ?z

?

?Az ?x

? ) ? z(

?A y ?x

?

)}

? ? x( Az

? Ay

?? ?z

? ) ? y( Ax

?? ?z

? Az

?? ?x

? ) ? z( Ay

?? ?x

? Ax

?? ?y

)

? ? ? ?? ? A ? ?? ? A

1.38 已知 ? ? F ? ? ( x ) ? ( y ) ? ( z ), ? ? F ? 0 , 计算 F 解:根据亥姆霍兹定理
? ? ? ? ? F (r ) ? ? ? ?r ) ? ? ? A(r ) (

?

?

?

其中
? ? (r ) ? 1 4? 1 4?

???
V

? ? ? '? F ( r ' ) ? ? dV ' r ? r' ? ? ? '? F ( r ' ) ? ? dV ' r ? r'

? ? A(r ) ?

???
V

因为 ? ? F ? 0 ,因此 A ? 0 ;对于 ? ? F ? ? ( x ) ? ( y ) ? ( z )
? ? (r ) ? 1 4?

?

?

?

???
V

? ? ? '? F ( r ' ) ? ? dV ' r ? r'

?

1 4?

???
V

? ( x ' )? ( y ' )? ' )
(x ? x') ? ( y ? y') ? (z ? z')
2 2 2

dx ' dy ' dz '

?

1 1 4? r

所以
? ? ? ? 1 r F ( r ) ? ?? ? ( r ) ? ?? ( ) ? 2 4? r 4? r ? ? ? ? 1.39 已知 ? ? F ? 0, ? ? F ? z ? ( x ) ? ( y ) ? ( z ), 计算 F

解:根据亥姆霍兹定理
? ? ? ? ? F (r ) ? ? ? ?r ) ? ? ? A(r ) (

其中
? ? (r ) ? 1 4? 1 4?

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V

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