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《几何画板》教程——从入门到精通

《几何画板》教程——从入门到精通

《几何画板》教程——从入门到精通 用几何画板做数理实验
首先请下载安装好几何画板软件,打开几何画板,可以看到如下的窗口,各部分的功能如图所示:
图 1-0.1 我们主要认识一下工具箱和状态栏,其它的功能在今后的学习过程中将学会使用。
1

案例一 四人分饼
有一块厚度均匀的三角形薄饼,现在要把它平 均分给四个人,应该如何分?

图 1-1.1
思路:这个问题在数学上就是如何把一个三角形分成面积相等的四部分。
方案一:画三角形的三条中位线,分三角形所成的四部 分面积相等,(其实四个三角形全等)。如图 1-1.2。

方案二:四等分三角形的任意一边,由等底等高的三角 形面积相等,可以得出四部分面积相等,如图 1-1.3。

图 1-1.2

用几何画板验证: 第一步:打开几何画板程序,这时出现一个新绘图文件。

图 1-1.3

说明:如果几何画板程序已经打开,只要由菜单“文件”?“新绘图”,也可以新建一个绘图文件。

第二步:(1)在工具箱中选取“画线段”工具; (2)在工作区中按住鼠标左键拖动,画出一条线段。如图 1-1.4。
注意:在几何画板中,点用一个空心的圈表示。

图 1-1.4

第三步:(1)选取“文本”工具;(2)在画好的点上单击左

键,可以标出两点的标签,如图 1-1.5:

注意:如果再点一次,又可以隐藏标签,如果想改标签 A

B

为其它字母,可以这样做:

图 1-1.5

用“文本”工具双击显示的标签,在弹出的对话框中进

行修改,(本例中我们不做修改)。如图 1-1.6

2

图 1-1.6 在后面的操作中,请观察图形,根据需要标出点或线的 标签,不再一一说明

第四步:(1)再次选取“画线段”工具,移动鼠标与点 A 重合,按左键拖动画出线段 AC;(2)画线段 BC,标出标 签 C,如图 1-1.7。 注意:在熟悉后,可以先画好首尾相接的三条线段后再
标上标签更方便。
A
图 1-1.7

C B

第五步:(1) 用“选择”工具单击线段 AB,这时线段上 出现两个正方形的黑块,表示线段处于被选取状态;(2) 由菜单“作图”?“中点”,画出线段 AB 的中点,标上 标签。得如图 1-1.8。 注意:如果被选取的是点,点的外面会有一个粗黑圆圈。
在几何画板中,选取线段是不包括它的两个端点的,以 A
后的问题都是这样,如果不小心多选了某个对象,可以
按 Shift 键后用左键再次单击该对象取消选取。

C

D

B

图 1-1.8

第六步:用同样的方法画出其它两边的中点。得如图 1-1.9。 技巧:最快的方法是:按住 Shift 不放,用“选择”工具
分别点击三条线段,可以同时选取这三条线段,再由“作
图”?“画中点”(或按快捷键 Ctrl+M),就可以同时画
A
好三条边的中点。

C
F E

D

B

图 1-1.9

第七步:用“画线段”工具连结 DE、EF、FD,得如图 1-1.10:
技巧:画线段的另一方法,在保证画线工具出现的是“画 线段”按钮(不必选取)的前提下。 选取两点后,由菜单“作图”?“画线段”,(或按快捷键 A Ctrl+L),可以画出连结两点的线段。

C
F E

D

B

图 1-1.10

3

本例最快的做法: 1、选取“画点”工具,按住 Shift 键不放在工作区中画 三个点,这时三个顶点都保持选取状态 2、按 Ctrl+L,可以同时画出三条边并且三边同时被选取; 3、按 Ctrl+M,可以同时画出三边中点且三中点同时被选 取; 4、按 Ctrl+L,可以同时画出小三角形三条边,标上标签即 可。

第八步:(1) 按住 Shift 键不放,用“选择“工具选取点

C

A、D、F;(2) 由菜单“作图”?“多边形内部”填充多 面积 ADF =0.77 cm2

边形内部;(3) 保持内部的选取状态,由菜单“度量”? “面积”,可以量出 ADF 的面积,如图 1-1.11。

F E

A

D

B

图 1-1.11

第九步:(1) 用同样的方法,填充并度量三角形 BDE、ECF、DEF;(2) 选取 DEF 的内部,由菜 单“显示”?“颜色”,选择其它颜色,如蓝色, 得到如图 1-1.12。

面积 ADF =0.77 cm2 面积 DBE =0.77 cm2 面积 ECF =0.77 cm2

面积 DEF =0.77 cm2

A

图 1-1.2

F D

C E B

注意:在制作过程中,要经常保存文件,以免因意外原因造成文件丢失,以下每一个例子都是这样,不

再加以说明。

归纳结论: 拖动顶点 A、B、C 中的任一个,可以改变三角形的大小和形状,请观察不同情况下,四部分的面
积是否总是相等?这样做可以完成分饼的任务吗?

说明:这是通过实验来验证数学规律,不能保证结论一定是正确,一般来说,有一些结果经过了人
类的长期实践,大家都公认了它的正确性,这时会把这个结论作为公理直接使用;而大多数情况下,实
验得到的结果仍然需要进行推理证明。那么,实验有什么用呢?实验可以帮助我们认识规律,更容易接
受知识,并且常常可以让我们找到解决问题的方向。 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例一供参考。 练习: 1、对于方案二,四等分面积的问题就转化为四等分线段的问题,四等分线段可以用哪些方法? 2、为了方便在改变等分的份数(例如要分成五份)时方法仍然能用,这里介绍利用平行线等分线段的
4

方法把一条线段四等分。

第一步:(1) 选取“画射线”工具;(2)移动鼠标到与点 A

C

重合,按住左键拖动,画出一条以点 A 为端点的射线 AD,

得如图 1-1.13。

B A

第二步:(1) 选取“画点”工具,移动鼠标到射线 AD 上, 在靠近点 A 处单击画出一个点 E,得如图 1-1.14; (2) 按住 Shift 键不放,用“选择”工具,依次选取点 A、 E,由菜单“变换”?“标记向量 A-E”。

说明:标记了一个向量后,可以在后面的平移变换中按

这个向量来平移,保证出现若干段相等的线段,

A

标记向量时,一定要注意选选择点的先后顺序。

第三步:(1) 用“选择”工具选取点 E,由菜单“变换” ?“平移…”,在弹出的对话框中点“确定”即可得一点 E’;(2) 选取E’,做同样的操作可以得E’’,……,这样 做下去,直到得到你想要的若干段相等的线段,这里是 四段,如图 1-1.15。
A

第四步:(1) 连结 BE’’’;(2)同时选取线段 BE’’’、点 E、 E’、E’’,由菜单“作图”?“平行线”,画出了一组平 行线,如图 1-1.16。

D
图 1-1.13
C
B E
D
图 1-1.14
C
B E
E' E'' E''' D
图 1-1.15
C

B A
E E' E'' E'''
D
图 1-1.16

5

第五步:(1) 用“选择”工具单击平行线和 AB 相交处,

C

得到三个四等分点;

(2) 选取所有平行线、射线 AD 及 AD 上的点(除 A 外),

由菜单“显示”?“隐藏 对象”,可以隐藏制作过程中

的辅助线。得如图 1-1.17。

以下只要连结点 C 和三个四等分点就行了,……

注意:在最后结果中不需要看到的对象,一般是把它隐 A

B

藏,如果你选取后删去了它,你会发现你要的四等分点

图 1-1.17

也会消失,这是因为这些点是受辅助线控制的,隐藏的

对象只是看不到,但它仍然起作用。隐藏和删除是不同

的。 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案 例一的练习供参考。 3、自己比较一下这两种方法,在只需要四等分的情况下,哪种方法方便?,在需要其它等分的情况下,

哪种方法更具有一般性?

案例二 三角形的内角和

现有一块三角形的木板,用来制作一个半圆形的木 盖,请设计一个浪费比较小并且便于施工的方案。

图 1-2.1 思路:以三角形较短一边的一半为半径,以三个顶点为圆心画弧,得到三个扇形后拼成半圆,如图 1-2.2:

图 1-2.2 那么,如何知道拼成的一定是一个半圆呢?下面用几何画板做一个实验来说明。 方案:画一个三角形;量三个内角的度数;用几何画板的计算功能计算三个内角的和。如果对于任意的 三角形,总有内角和是 1800,那么说明拼成的一定是一个半圆形。 用几何画板验证: 第一步:新建一个几何画板绘图文件。画出三角形 ABC
6

第二步:(1) 选取“选择”工具,按住 Shift 不放, 依次选取点 B、A、C;(2) 由菜单中的“度量”? “角度”,量出∠BAC 的度数, 用同样的方法度量其它两个角。如图 1-2.3 说明:由于每个人画的图不同,度数不一定和图
1-2.3 一样)。
注意:选一个角的关键是角的顶点要第二个选。

BAC = 45.0? ABC = 74.6? ACB = 60.4?
A

B C 图 1-2.3

第三步:由菜单“度量”?“计算”弹出一个计算 器,依次点击“∠BAC=…”、“+”、“∠ABC=…” “+”、“∠ACB=…”、“确定”,如图 1-2.4。 说明:“∠BAC=…”在本例中是“∠BAC=45.00”,
这里用省略号表示,是因为每个人画的图不同,量
出的度数有可能不同,以后类似的问题都这样来表

BAC = 45.0? ABC = 74.6? ACB = 60.4?
A

B C

示。

BAC + ABC + ACB = 180.0?

技巧:弹出计算器的方法有:(1) 由菜单“度量” 图 1-2.4

?“计算”;(2) 双击工作区中的任一度量值,如“∠

BAC=…”;(3) 在工作区中击鼠标右键,由“度量”

?“计算”。

归纳结论:

请按要求操作后填写下表:

序号

操作

现象

三个角的和等于

∠BAC=______

1 观察

∠ABC=______

∠ACB=______

2

用鼠标拖动其中一个顶点改变三 角形变成钝角三角形

∠BAC=______ ∠ABC=______ ∠ACB=______

3

用鼠标拖动其中一个顶点改变三 角形变成直角三角形

∠BAC=______ ∠ABC=______ ∠ACB=______

4

用鼠标拖动其中一个顶点任意改 变三角形的形状

三个内角的和总是

结论 三角形的内角和总是________

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例二供参考。

练习: 1、自己画一个凸四边形,度量它的内角,计算内角和,验证凸四边形的内角和是 3600。 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例二练习 1 供参考。 2、用“选择”工具同时选取点 A、B,由菜单“度量”?“距离”,可以度量出线段 AB 的长度,请你 用上面所学的知识验证“三角形的两边之和大于第三边,三角形的两边之差小于第三边”。 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例二练习 2 供参考。
7

案例三 最佳行走路线
如图 1-3.1:你身在草原上,现在要走到公路边去等车,请设计一个最佳行走路线。

图 1-3.1

思路:把人所处位置看作一个点,公路看作一条直线,行走的路线看作线段,由垂线段最短可以找到最

佳行走路线。

方案:画一条直线,过直线外一点引直线的垂线段和斜线段,度量线段的长,动态验证垂线段最短。

用几何画板验证:

第一步:新建一个几何画板绘图文件。

第二步:(1) 按住工具箱中的画线工具不放,在弹出的

C

工具条中选取“画直线”工具,按住鼠标左键拖动画出

一条直线;(2) 用“画点”工具在直线外画一点,如图 1-3.2。

A

B

图 1-3.2

第三步:(1) 按 Shift 键,用鼠标选取点 C 和直线 AB,

C

(不要选取点 A 和 B);(2) 由菜单“作图”?“垂线”,

画出了过点 C 垂直于 AB 的直线,如图 1-3.3

说明:虽然点 A、B 在直线 AB 上,但选取直线时并没

有选取直线上的点,在后面的学习中,如果要求选取直 A

B

线、线段、圆等对象,这时不要把对象上的点也选取,

图 1-3.3

除非特别指明要选取这些点。

第四步:(1) 用“选择”工具单击垂足处,定义出垂足,

C

标上标签 D;

(2) 选取垂线 CD(不要选取点 C、D)、点 A、B,由“显

示”?“隐藏”,把选取的对象隐藏,用“文本”工具

在直线上点一下,标出直线的标签 j;(3) 选“画线段”

j

D

E

工具,连结线段 CD,如图 1-3.4。

1-3.4

说明:点 A、B 是控制直线 AB 的点,通过拖动这两点,

8

可以改变直线的方向和位置,一般情况下,如果不想再 改变直线的位置,或不再画其它线经过这两个点,可以 在制作完成后把它隐藏。
第五步:(1) 选取“画线段”工具;(2) 移动鼠标到点 C 处,按下左键拖动,当鼠标位于直线 j 上时松开,如 图 1-3.5。 技巧:CE 是直线 j 的斜线段,所以要保证一个端点是 C, 另一个端点 E 只能在直线 j 上移动,怎样才能保证呢?, 在画图的过程中,移动鼠标到点 C 时,注意观察状态 栏中有“从点 C”,这时按下左键可以保证一个端点为 C,移动鼠标到直线 j 时,状态栏中有“到点位于直线 j”时松开,这样点 E 一定在直线上,不能拖到直线外。 在几何画板中,状态栏的作用非常重要。
第六步:同时选取点 C、D,由“度量”?“距离”, 量出 CD,同理量出 CE,如图 1-3.6。

C

j

D

E

图 1-3.5

CD = 1.68 cm C CE =2.16 cm

j

D

E

图 1-3.6

归纳结论: 拖动点 E 在直线 j 上移动,观察 CD 与 CE 的大小,什么时候 CE=CD?,除了这个位置外的其它位置 CD 与 CE 哪一个比较大? 以上操作说明:从直线处一点引直线的所有线段中,_________最短,因而最佳行走路线是走点到直线 的垂线段。 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载实例三供参考。 练习: 1、在图 1-3.6 的基础上,增加一个点 F,通过度量∠CDF、∠CEF,如图 1-3.7,拖动点 E,观察什么情 况下两个角相等,除了 CD 外,CE 在其它位置能和直线 j 垂直吗?

CD = 1.68 cm C CE =2.16 cm

CDF =90? CEF =51?

Fj

D

E

图 1-3.7

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例三练习供参考。

9

案例四 横梁有多长
如图 1-4.1,一个三角形屋架,屋面的宽度是 13 米,立柱长 5 米,那么横梁有多长?

图 1-4.1

思路:这是直角三角形中应用勾股定理的问题,那么,是不是任意的直角三角形三边都有这种关系?

方案:大家都已经证明过勾股定理,但现在我们用不同的方法来重新认识一下这个老朋友。用几何画板

画一个直角三角形,度量三条边,计算两直角边的平方和,计算斜边的平方,不断改变图形的大小形状

(但保持直角不变),验证定理是否总是成立。

用几何画板验证:

第一步:新建一个几何画板绘图文件。

第二步:在工作区中画一条线段 AB,如图 1-4.2。

A

B

图 1-4.2

第三步:(1) 按住 Shift,用“选择”工具选取点 A 和 线段 AB;(2) 由菜单“作图”?“垂线”,作出点 A 垂 直于线段 AB 的直线。如图 1-4.3 注意:不要选另外一个端点 B,那样过 B 点也会有一条
直线与 AB 垂直,本例中我们不需要同时画两条垂线。 技巧:只有这样画的图才能在你拖动点改变图形的大小
和形状时总是保持垂直的关系,如果只是画出一条自己 看上去“垂直”的直线,就不能在改变形状时保持垂直 关系。

A

B

图 1-4.3

第三步:(1) 选“画点”工具;(2) 移动鼠标到垂线上 C 单击,如图图 1-4.4

注意:观察状态栏中出现“点位于直线上”时单击,这

样画的点永远位于直线上,不会拖到外面。

A

B

图 1-4.4

第三步:(1) 选取垂线 CD,由“显示”?“隐藏直线”, C 把垂线隐藏; (2) 用画线段工具画出线段 AC、线段 BC,如图 1-4.5。

技巧:最后的图中应该是线段,但为了保证变化过程中

A

B

保持垂直关系,必须先画辅助垂线,最后在不需要时把 图 1-4.5

它隐藏。

10

第四步:用“文本”工具单击三角形的三边,得到如图 C

n

1-4.6 所示,

m

A

j

B

图 1-4.6

第五步:用“文本”工具双击标签 n,在弹出的对话框中作如下 改动:如图 1-4.7。

C b

a

Ac

B

图 1-4.8

图 1-4.7
用同样的方法改 j 为 c,改 m 为 b,如图 1-4.8。 说明:这样做是为了照顾我们的数学习惯,或者是题目本身的要 求,这种改点或线的标签的方法,在操作过程中会经常用到。

第七步:同时选取线段 a、b、c,由菜单“度量”?“长 度”,可以同时量出三条边的长度,如图 1-4.9

C

b

a

Ac c = 2.70 cm b = 1.39 cm
图 1-4.9

B a = 3.03 cm

第八步:弹出计算器,依次点击“b=…”、“^”、“2”、 “+”、“c=…”、“^”、“2”,然后按“确定”,可以计算 出 b2+c2 的值;同样可以算出 a2 的值, 得到如图 1-4.10,
说明:这里“^”表示乘方运算。

C

b

a

Ac c = 2.70 cm

B a = 3.03 cm

b = 1.39 cm

b2 + c2 = 9.20 cm2 a2 = 9.20 cm2

图 1-4.10

11

归纳结论:

序号 1
2
3 4 结论

操作

现象

观察 用鼠标拖动点 B 到另一位置。 用鼠标拖动点 B 到另一位置。

b2+c2=____ a2=_____
b2+c2=____ a2=_____
b2+c2=____ a2=_____

任意拖动三角形顶点改变直角三角形的形状,

b2+c2____a2

b2+c2 与 a2 相等吗?

可以看到,总是有两直角边的平方和等于斜边的平方,本例中的横梁用勾股定理算得一半为 12 米,

全长为 24 米。

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载实例四供参考。

练习:

1、量出直角三角形的两锐角的度数,验证直角三角形的两锐角互余。

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例四练习 1 供参考。

2、学画一个矩形,先完成本例到第三步得图 1-4.11,这里只是把原来的点 C 改成了 D。

D

A

B

图 1-4.11

(1)选取点 D 和线段 AB,由“作图”?“平行线”,

C

画出过 D 平行 AB 的直线;(2)选取点 B 和直线 AD, D

同样画出过点 B 平行于 AD 的直线;(3)用“选择”

工具定义出第四个顶点,标记标签为 C;如图 1-4.12

A

B

图 1-4.12

(4)隐藏三条直线,画出线段 AD、DC、CB,即得矩 形 ABCD,如图 1-4.13。 说明:拖动点 A、B 可以改变矩形的大小和位置并可以 旋转一定的角度;拖动点 D 只能改变矩形在纵向上的 大小,拖动点 C 不会改变矩形的大小,但可以改变矩 形的位置,但无论如何改变,这个图形一定是矩形,你 可以通过度量角和边来证实这一点。

D

C

A

B

图 1-4-13

3、先画出如图 1-4-14 的图形,然后用类似于第 2 题的方法画一个平行四边形,
C

A

B
图 1-4-14

12

案例五 三角形的高
三角形的高可能出现在哪些位置? 思路:应该对于直角、锐角、钝角三种不同类形的三角作不同的回答。 方案:如果用笔在纸上画图,只能三种类型中各画一个图来说明,现在借助几何画板,我们可以动 态地改变三角形的形状,使不同类形的三角形的高可以动态改变。 用几何画板验证:

第一步:(1) 选取“画点”工具画三个点;(2) 选取“画 直线”工具后,什么都不用做;(3) 选取“选择”工具, 在屏幕上拉一个虚线框框住画好的三点;(4) 由菜单 “作图”?“画直线” (快捷键是 Ctrl+L) ,可以画出 过这三点的三条直线,标上标签,如图 1-5.1。 技巧:(1) 如果要选取的对象比较多,可以用“选择”
工具在工作区中拉一个虚线框框住这些对象,这时可能
会多选了一些你并不想选的,可以按 Shift 键后,单击
该对象取消选择状态;(2) 上面第二步选“画直线”工
具的操作会影响菜单中会不会出出“画直线”的选项,
如果你没有做这一步,菜单中通常出现“画线段”,也
就是说,几何画板中的有些菜单命令和按钮的显示状态
是相关的。

B
1-5.1

A C

第二步:过点 A 作直线 BC 的垂线,并单击垂足,定 义出垂足 D,用同样的方法作出垂线 BE 和 CF,如图 1-5.2,

A
F E

第三步:按住 Shift 键,用“选择”工具选取所有的直 线,注意不要选到点;由菜单“显示”?“隐藏直线”, 可以隐藏所有直线,得到如图 1-5.3

B

D

C

图 1-5.2

A
F E

B

DC

图 1-5.3

13

第四步:(1) 同时选取点 A、B,(2) 选取“画线段”工

具,然后按 Ctrl+L,画出线段 AB;(3) 用同样的方法画

出线段 BC、AC、AD、BE、CF,得到如图 1-5.4。

F

技巧:上面说 Ctrl+L 是画直线,但当你先画了“画线

段”的工具后,它的功能会自动变边画线段。

注意:为什么不一开始就画三条线段组成三角形呢?这 B

D

是本例的要点,因为如果一开始画的是线段,点 D、E、 图 1-5.4

F 被定义为垂线和线段的交点,如果你拖动三角形变为

钝角三角形,垂线和线段没有交点,这样会导致有两条

高消失。现在的点 D、E、F 分别是垂线和直线的交点,

再拉动三角形成钝角三角形时,高不会消失。

A E C

第五步:(1) 拖动点 A,使∠ACB 变

成钝角,(如图 1-5.5);(2) 选取点 C

和 D,按 Ctrl+L,画出线段 CD;(3) 保

持线段 CD 的选取状态,由菜单“显

示”?“线型”?“虚线”,改 CD

为虚线,符合通常的习惯,

B

用同样的方法画线虚线段 CE,

图 1-5.5

F C
E

A D
B

A F
CD E

第六步:拖动点 A 使使∠ABC 变成钝角后用同样的方

A

法作出虚线段 BF。最后完成图 1-5.6

E

D

B

C

F

归纳结论; 序号

操作

图 1-5.6

三角形三条高的 三条高(或高的延长

位置

线)交于一点吗?

1 观察

用鼠标拖动点 C 到另一位置。

2 使△ABC 仍为锐角三角形,再观

察,

用鼠标拖动点 A 到另一位置。 3 使△ABC 变为直角三角形,再观

察,

4

用鼠标拖动点 A 到另一位置。使 ∠ABC 为钝角,再观察

结论 三角形的三条高或高的延长线___________.

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例五供参考。

练习:

14

观察三角形的三条中线,三条角平分线的位置关系。 其中画中点的方法:选取线段,由菜单“作图”?“中点”(或按 Ctrl+M)可以作出线段的中点, 接着就可以画中线了; 画角平分线的方法:如按 Shift,依次点选点 B、A、C,可以作出∠BAC 的平分线,确定角平分 线和对边的交点后,隐藏角平分线,再连出线段就行了。

1、请自己画一个三角形作出它的三条中线,然后按要求填写实验报告。

序号

操作

三角形三条中线 的位置

三条中线交于一点 吗?

1 观察

用鼠标拖动点 C 到另一位置。 2 使△ABC 仍为锐角三角形,再观
察,

用鼠标拖动点 A 到另一位置。 3 使△ABC 变为直角三角形,再观
察,

4 结论

用鼠标拖动点 A 到另一位置。使 ∠ABC 为钝角,再观察 三角形的三条中线___________.

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例五练习 1 供参考。

2、请自己画一个三角形,作出它的三条角平分线,然后按要求填写实验报告。

序号

操作

三角形三条角平 三条角平分线交于一

分线的位置

点吗?

1 观察

用鼠标拖动点 C 到另一位置。 2 使△ABC 仍为锐角三角形,再观
察,

用鼠标拖动点 A 到另一位置。

3 使△ABC 变为直角三角形,再观

察,

4

用鼠标拖动点 A 到另一位置。使 ∠ABC 为钝角,再观察

结论 三角形的三条角平分线___________.

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例五练习 2 供参考。

15

案例六 挂画的学问
要把一幅画挂在墙上,画的上下边框要和横梁平行,左右与立柱的距离相等,应该如何钉上 挂钉?

图 1-6.1

思路: 这个问题可以转化为和线段的垂直平分线有关的问题。

方案:挂绳拉紧后,挂点到像框边框两端的距离应该相等,考虑到平行和等距的条件,只要横梁的中垂

线与边框中垂线二线合一就行了,所以只要画横梁的中垂线,把挂绳的中点定位在横梁中垂线上即可。

下面验证“线段垂直平分线上的点,到线段两端的距离相等”。

用几何画板验证:

第一步:画一条线段 AB。如图 1-6.2

A

B

图 1-6.2

第二步:(1) 用选择工具选取线段 AB,(2) 由菜单“作

图”?“中点”(快捷键是 Ctrl+M),画出线段 AB 的

中点 C,如图 1-6.3

A

C

B

注意:不要多选其他对象,如果你多选了其他对象,“中

如图 1-6.3

点”这个选项是灰色的不可用,一般来说,只要选择的

对象不符合要求的条件,就不可能使用相应的菜单项。

16

第三步:(1) 用“选择”工具按住左键拉一个框经过点 C 和线段 AB(但不要框住 A、B 两点),这样可以同时 选取点 C 和线段 AB,(2) 由菜单“作图”?“垂线”, 画出过点 C 垂直于线段 AB 的垂线,即是线段 AB 的垂 A 直平分线。如图 1-6.4

C

B

注意:如果你画的图不是这样,过点 A 或 B 也有了垂

线,那是因为你多选了点 A 或点 B。

图 1-6.4

第四步:选取“画点”工具,在中垂线上画一点,标记

P

为 P,如图 1-6.5

A

C

图 1-6.5

第五步:(1) 画出线段 PA、PB;(2) 选取点 P、A,由菜单

“度量”?“距离”,量得 PA,同样量出 PB。

P

第六步:(1) 同时选取点 P 和中垂线;(2) 由菜单“编辑” ?“操作类按钮”?“动画”,在弹出的对话框中,设置如 图 1-6.6

A

C

B
动画 PA = 2.59 cm PB = 2.59 cm
B

图 1-6.7

图 1-6.6 这样在屏幕上会出出一个“动画”按钮,当双击这个按钮时, 点 P 会在直线上双向地移动。便于我们动态地观察。 最后结果如图 1-6.7。
注意:不要多选其它对象,这里只需要点 P 在中垂线上运

动。 归纳结论: 序号

操作

1

拖动点 P 到另一位置,

2

拖动点 P 到第二个位置

3

拖动点 P 到第三个位置

4

双击“动画”按钮,

现象
这时 PA=____ PB=____
这时 PA=____ PB=____
这时 PA=____ PB=____
点 P 在 AB 的中垂 线上不停的运动,

结论(是否相等) PA____PB PA____PB PA____PB
PA____PB

17

结论

只要点 P 在线段 AB 的中垂线上,实验过程中 PA______PB.

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例六供参考。

练习:

1、我们将在前面作图的基础上,进一步验证等腰三角形、等边三角形的一些性质。

第七步:(1) 选取垂直平分线,将它隐藏;(2) 画出线

动画

段 PC。得到如图 1-6.8。

P

PA = 2.59 cm

PB = 2.59 cm

A

C

B

图 1-6.8

第八步:用量距离的方法量 AC、BC,量∠PAB、∠PBA、 ∠APB、∠PCB、∠APC、∠BPC 的度数,得到如图 1-6.9。

P

动画

PA = 3.17 cm

PB = 3.17 cm

AC = 1.47 cm

A

C

B BC = 1.47 cm

PAB = 62.47? PBA = 62.47?

PCB = 90.00?

AP C = 27.53? BP C = 27.53? BP A = 55.06?

图 1-6.9

归纳结论:

序号

操作

现象

结论

1

PA 和 PB 总是相等吗? △PAB 是______三角

____________________

形。

2 3

用鼠标拖动(或双击动画 按钮)不断地改变点 P 位 置。

∠PAB 和∠PBA 总是相 等吗?
∠PCB 总是等于 90 度 吗?______________

等腰三角形的两底角
__________ PC 是等腰三角底边上
的________

4

AC 和 CB 的长总是相等 PC 是等腰三角形底边

吗?______

上的_________.

5

∠APC 和∠BPC 总是相 PC 是等腰三角形顶角

等吗?__________

的_______________.

结论 等腰三角形的两底角_______,底边上的高、底边上的中线、顶角平分线三线 __________.

也可以拖动使∠APB=600,再观察边角的变化。

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例六练习 1 供参考。 2、学画一个菱形,接第 1 题,先画出如图 1-6.10 的图形,由于点 P 在线段 AB 的垂直平分线上,所以 PA=PB。

18

P

A

C B 图 1-6.10

(1)选择线段 AB,由“变换”?“标记镜面…”,标记 AB 为镜面,线段上出现闪烁后消失的两个 方框。
说明:标记镜面后,一个对象如果关于这个镜面反射,这时就好象人照镜子一样,人离镜面近,人 像离镜面也近,用数学的说法,镜面就是对称轴,反射可以得到对称点或对称图形。
技巧:标记镜面的另两种方法:(1)直接双击直线(线段、射线);(2)选取直线(线段、射线) 后用快捷键 Ctrl+G.

(2)同时选取点 P、线段 PA、PC、PB;(3)由“变 换”?“反射”,得到如图 1-6.11。 (4)用“文本”工具改各点标签为你想要的,例如得 图 1-6.12。
说明:在几何画板中,画特殊四边形的方法不只一种, A
但不管用哪种方法,都要符合图形的几何关系,也就是 当改变大小了位置时,矩形仍是矩形,菱形仍是菱形。

P CB
图 1-6.11

D
A OC
B 图 1-6.12

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例六练习 2 供参考。

19

案例七 抽水房的位置
在一条河的同一旁有两个村庄 A 和 B,现在要在河边建一个抽水房,应该建在什么位置, 才能使所用的水管的钱最少?

图 1-7.1 思路:用钱最少,一般要求所用的水管最短,转化为数学问题,即是在表示河流的直线上找一个点 C, 使 AC+BC 最小。

方案:作点 A 关于河流的对称点 A’,连 A’B 交河流于 C,计算 AC+CB;在河流上另取一点 D,计算

AD+DB,通过拖动点 D 在直线上移动,验证 AC+CB 最小,从而说明 C 为最佳点。

用几何画板验证:

第一步:(1)画出表示村庄的点 A、B;(2)画一条直

B

线表示河流,隐藏直线上的两个点,设置直线的标签为

“河流”,如图 1-7.2。

A

说明:标签可以用中文表示,这种技巧常用来标注点或

线等对象的功能,例如:给某一点标上“拖动我改变图 形”。

图 1-7.2

河流

第二步:(1)选取表示河流的直线;(2)由菜单“变换”?“标记镜面…”,直线上出现闪烁后消 失的两个方框。

第三步:(1)选取点 A,由菜单“变换”?“反射”,

B

得点 A 关于直线(河流)的对称点;(2)用文本工具 A 标出标签,默认的是字母 A’,得到如图 1-7.3

河流
A'
图 1-7.3
20

第四步:(1)用“画线段”工具连结 A’B;(2)用“选

B

择”工具在线段和河流相交处单击,作出线段和河流的

交点,标出交点的标签 C,如图 1-7.4。

A

C
A' 图 1-7.4

河流

第五步:(1)用“画点”工具在河流上画一个点,标记

B

为 D;(2)用“画线段”工具连结 AC、AD、BD、A’D, 如图 1-7.5。

A

C

D 河流

A' 图 1-7.5

第六步:(1)同时选取点 A、点 C;(2) 由菜单“度量?“距离”,量出 AC;(3) 用同样的方法量出 A’C、CB、AD、A’D、 DB,如图 1-7.6。
说明:量出点 A、C 的距离,由数学定义

AC =0.45 cm A'C =0.45 cm CB =0.92 cm
A

AD =0.89 cm A'D =0.89 cm DB =0.63 cm
B

可知,这就是线段的长;量线段的长还可 以直接选取线段 AC,(不要选取点 A、C),

C

D 河流

“度量”?“长度”,但这样的方法无法直 接量出图 1-7.6 中 CB 的长,还要进一步

A' 图 1-7.6

作图。

第七步:(1)调出计算 器 ;( 2 ) 依 次 点 击 “ AC= … ”、“ + ”、 “CB=…”、“确定”,可 以计算出 AC+CB 的值; (3)同样去计算 A’C+CB 、 AD+DB 、 A’D+DB,拖动到适当位 置得到如图 1-7.8。

AC =0.45 cm A'C =0.45 cm CB =0.92 cm
A

AD =0.89 cm A'D =0.89 cm DB =0.63 cm
B

C

D 河流

A'
AC + CB =1.37 cm A'C + CB =1.37 cm
图 1-7.8

AD + DB =1.52 cm A'D + D B =1.52 cm

21

归纳结论:

(一)

序号

操作

现象

D 点是否是最佳点

1 2 3 4 结论

观察

AC+CB=____ AD+DB=____

拖动点 D 远离点 C,

上面的两个和差距 变______(大或小)

拖动点 D 靠近点 C,

上面的两个和差距 变______(大或小)

拖动点 D 与点 C 重合,

上面的两个和 _____

以上现象说明,只有取点____处,才能使所用的水管最短,

(二)

序号

操作

现象

有无相等的关系

AC+CB=____

1

观察

A’C+CB=____ AD+DB=____

A’D+DB=____

AC+CB=____

2

拖动点 D 远离点 C,

A’C+CB=____ AD+DB=____

A’D+DB=____

3 4 结论

AC+CB=____

拖动点 D 靠近点 C,

A’C+CB=____ AD+DB=____

A’D+DB=____

AC+CB=____

拖动点 D 与点 C 重合,

A’C+CB=____ AD+DB=____

A’D+DB=____

以上现象说明,研究 AC+CB、AD+DB 的关系,可以转为研究 A’C+CB 和

A’D+DB 的关系,而这个关系可以简单地用三角形的两边之和____第三边来

说明。

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例七供参考。

练习:

画一条直线,在直线的一旁画一个三角形,标记直线为“镜面”(即对称轴),选取三角形的全部

(包括顶点和边),“反射”出它关于直线对称的图形,

1、 用鼠标拖动改变三角形的形状,体会“对称的图形是全等形”,

2、 连结对称点,通过过量角和量线段,体会“对称点的连线被对称轴垂直平分”。

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例七练习供参考。

22

案例八 选择厂址
如图,河南区新建一个工厂,在公路西侧,到公路的距 离与到河岸的距离相等,并且与河上公路桥的距离为 300 米,在图上标出工厂的位置,并说明理由。比例尺 是 1:20000

图 1-8.1

思路:这里可以把桥看作是一个角的顶点,河岸和公路分别是角的两边,问题转化为:在角平分线上找

一点,使它到顶点的距离是 300 米。

方案:(1)画出角的平分线,以顶点为圆心;(2)1.5cm 为半径画圆,定义圆与角平分线的交点即为所

求。

用几何画板验证:

第一步:新建一个几何画板文件。

第二步:选“画射线”工具,画一个角,如图 1-8.2。

A

B
C 图 1-8.2

第三步:(1)用“选择”工具依次选取点 B、A、C;

A

(2)由菜单“作图”?“角平分线”,画出了∠BAC

的平分线,如图 1-8.3。

B
C 图 1-8.3

23

第四步:用“画点工具”在角平分线上画一个点,标出

A

标签。得到如图 1-8.4。

B C

D 图 1-8.4

第五步:(1)用“选择”工具同时选取点 D 和射线 AB; (2)由“作图”?“垂线”,画出过点 D 垂直于射线 AB 的直线;(3)用“选择”工具单击垂足处,定义表 示垂足的点,并用“文本”工具标上标签;(4)选取画 好的垂线,把它隐藏,并用“画线段”工具画出垂线段 DE,用同样的方法画出垂线段 DF,得到如图 1-8.5

F C 图 1-8.5

A E B
D

第六步:(1)选取点 D 和射线 AD,(2)由“编辑”? “操作类按钮”?“动画”,在弹出的对话框中设置点 D 在射线 AD 上双向慢速运动。得到如图 1-8.6。

A
E F
C D
图 1-8.6

动画 B

第七步:度量出∠AED、∠AFD,线段 DE、DF,最 后的结果如图 1-8.7。 操作验证:双击“动画”按钮或用鼠标拖动点 D 移动, 可以发现 DE、DF 总是分别垂直于角的两边,并且 DE=DF,这说明了我们要找的点可以定位于角平分线 上。

AED =90.00?
AFD =90.00?
DF =1.27 cm F DE =1.27 cm

A E

C D
图 1-8.7

动画 B

第八步:在工作区中画一条线段 GH,量出距离,通过 调整 G、H 的位置,使 GH=1.5cm。如图 1-8.8 说明:取 GH=1.5cm 是因为比例尺是 1:20000。

GH =1.50 cm

G

H

AED =90.00?
AFD =90.00?
DF =1.27 cm F DE =1.27 cm

A E

C D
图 1-8.8

动画 B

24

第九步:(1)同时选取点 A 和线段 GH(不要选点 G 和 H);(2)由“作图”?“以圆心和半径画圆”,得 到一个以点 A 为圆心,半径是 1.5cm 的圆;(3)用“选 择”工具单击圆与角平分线的相交处,定义出的交点 I 即为所求。如图 1-8.9

GH =1.50 cm

G

H

AED =90.00? AFD =90.00? DF =1.43 cm DE =1.43 cm F
C

A
E I

D 如图 1-8.9

动画 B

第十步:(1)选取圆把它隐藏;(2)度量 AI; (3)选取点 I 和射线 AB,由“度量”?“距 离”,可以量出点 I 到射线的距离,同理量出 点到角的另一边的距离,如图 1-8.10 由图可知,点 I 为所求的点。

AI = 1.50 cm GH = 1.50 cm
距离(I到AB ) = 0.98 cm

G

H 距离(I到AC) = 0.98 cm

AED = 90.00?

A

动画

说明:本例是为了帮助学习角平分线的有关作 AFD = 90.00?

图,复习角平分线的性质,所以设计了较多的 步骤,如果只是为了解决问题本身,可以在画 好角平分线后转入第八步,可以快速确定出点

DF = 1.43 cm DE = 1.43 cm F
C

E

I

B

I。

D

图 1-8.10

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例八供参考。

练习:

1、如图 1-8.11 是两个互为邻补角的角,分别画出它们的角平分线,验证所画角平分线的关系。

C

A

O

B

图 1-8.11

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例八练习 1 供参考。

2、验证平行线的性质

第一步:(1)画一条直线;(2)在直线外画一点。如图

C

1-8.12。

A

B

图 1-8.12

25

第二步:(1)选取点 C 和直线 AB;(2)由“作图”?

C

“平行线”,得如图 1-8.13

A

B

图 1-8.13

第三步:画第三条直线和这两条平行线相交,最后完成

C

如图 1-8.14

E

D

A

F

B

图 1-8.14

请自己度量同位角、内错角,同旁内角,计算同旁内角的和,拖动点改变图形,验证平行线的性质。

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例八练习 2 供参考。

26

案例九 古建筑的窗格
在古建筑中,常可以看到这样的窗格,如图 1-9.1,这 其中有什么数学知识呢?

图 1-9.1 思路:外圈是一个矩形,相当于连结矩形四边的中点,得到一个四边形,再连结它的四边的中点。 方案:(1)先画一个平行四边形,顺次连结四边中点,再顺次连结所得四边形四边中点,度量三个四边 形的四边和一个内角,此步可以用来说明“顺次连结平行四边形四边中点得到什么样的图形”; (2)通过拖动点的位置,使最大的四边形的一个内角的度数为 900,这时可以观察里面的两个四边形, 此步可以说明:“顺次连结矩形四边中点得到什么样的图形”、“顺次连结菱形四边中点得到什么样的图 形”; (3)继续拖动点的位置,保持最大四边形的内角是 900 的前提下,使它的邻边相等,这时最大的四边 形是正方形,此步可以说明:“顺次连结正方形四边中点得到什么样的图形”。 用几何画板验证:

第一步:画一个平行四边形,
(1) 先画好线段 AB、BC; (2) 分别过点 C 作线段 AB 的平行线,过点 A 作线
段 BC 的平行线; (3) 用“选择”工具定义得交点 D,如图 1-9.2。

D
A 图 1-9.2

C B

第二步:(1)隐藏直线 AD、DC;(2)连结线段 AD、 D DC,得如图 1-9.3。 注意:隐藏直线时不要误选点 A、D、C,这三点不能
隐藏。 A

C
B 图 1-9.3

第三步:(1)选取平行四边形的四边,由“作图”?“中 点”,画出四边中点,用线段顺次连结; (2)再选取所连四条线段,同样定义中点,顺次连结, 如图 1-9.4。

D K

H

L

A

E

图 1-9.4

G

C

J

F I
B

27

第四步:(1)同时选点 A、B, 由“度量”?“距离”,量出 AB 的长,用同样的方法量出 每个四边形的四条边; (2)按住 Shift,依次选点 D、 A、B,量出∠DAB,同样量 ∠HEF、∠KLI;得如图 1-9.5。

D K

H

L

A

E

G

C

J

F I
B

LI = 1.23 cm IJ = 1.02 cm KJ = 1.23 cm LK = 1.02 cm
KLI = 64.91?

AB = 2.46 cm BC = 2.04 cm HE = 1.22 cm EF = 1.90 cm DC = 2.46 cm AD = 2.04 cm GF = 1.22 cm HG = 1.90 cm

DAB = 64.91? 图 1-9.5

HEF = 101.76?

归纳结论:

(1) 拖动点 C 改变平行四边形 ABCD 的大小和位置,可以看到 ABCD 总是平行四边形,四边形 EFGH 是_______________,四边形 I JKL 是____________,说明顺次连结平行四边形的四边中点,所得 的图形是________________.
(2) 拖动点 C,使∠DAB=900,这时 ABCD 是______形,四边形 EFGH 是_______,四边形 IJKL 是 ________。说明顺次连结矩形四边中点得_______,顺次连结菱形四边中点得______.
(3) 拖动点 C,保持∠DAB=900,同时使 AB=AD,这时 ABCD 是______形,四边形 EFGH 是_______, 四边形 I JKL 是________。说明顺次连结正方形四边中点得_______。
如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例九供参考。 练习:

1、(1)画一个四边形,顺次连结四边中点,如图 1-9.6,看得到的 GFEH 什么样的图形,请度量 GFEH 的边长来说明;

(2)拖动点 A 成图 1-9.7 位置,GFEH 还是平行四边形吗? (3)拖动点 A 成图 1-9.8 位置,GFEH 还是平行四边形吗? 以上操作说明:四条线段首尾相接(不一定是凸四边形),顺次连结各线段中点所得的图形是_______

D

H

C

G E

A

F

B

H

C

D

G

A

E

F

A

H

C

G

D

FE

图 1-9.6

B 图 1-9.7

B 图 1-9.8

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例八练习 1 供参考。

2、更深入的探究:顺次连结什么样的四边形的四边中点可以得到矩形、菱形、正方形?

(1)连结得正方形。

第一步:画一条线段,AB,在 AB 上画一点 C,如图 1-9.9

A

CB

图 1-9.9

第二步:用“选择”工具双击点 C,标记点 C 为中心, 下面将要进行的旋转是绕点 C 进行的, 技巧:标记一点为中心的另两种方法是
28

(1) 选取一个点,由“变换”?“标记中心”; (2) 选取一个点,按快捷键 Ctrl+F。
第三步:选取点 A、B,由“变换”?“旋转”,在弹 出的对话框中设置如图 1-9.10:得到如图 1-9.11。
A

B' CB

A' 图 1-9.11

图 1-9.10 说明:这样做的目的是保证两条线段垂直且相等。
第四步:选取点 A'、B',由“变换”?“平移”,在弹 出的对话框中做如图 1-9.12 设置,得图 1-9.13。

B''

B'

A

C

B

A''

A' 图 1-9.13

图 1-9.12 说明:如果我们直接由刚才的四个点连结得四边形,会 得到一个梯形,平移的目的在于,平移后 A''B''仍垂直 且等于 AB,但四边形不再是梯形,这时可以得到一个 比较一般的四边形。
29

第五步:隐藏 A'、B',连结 AA''、A''B、AB''、BB'',

B''

如图 1-9.14。

A

C

B

A'' 图 1-9.14

第六步:作四边形各边中点,连结如图 1-9.15。 以下请自己度量 DEFG 的四边和一个内角,通过拖动 点 C 改变图形, 只要四边形的对角线垂且相等,顺次连结四边中点所得

B''

G

F

图形是_______。

C

A

B

D

E

A''

图 1-9.15

(2)自己画两条垂直但不相等的相交线段,以它们为对角线画出四边形,看看顺次连结四边中点得什

么样的图形。

(3)画两条相等但不垂直的相交直线,以它们为对角线画出四边形,看看顺次连结四边中点得什么样

的图形。

提示:在第(1)小题中旋转时不要转 900,改为其它度数即可。

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例八练习 2 供参考。

30

案例十 成功之路不只一条
以几何画板为工具,你会用多少种方法来画一个正方形? 思路:无论你用什么方法,你必须保证这样的结果,画好的正方形在改变大小和位置时,仍然是一个正 方形,也就是说,“四边相等”、“四个角是直角”、“对角线互相垂直平分且相等”这些性质仍然保持。 下面给出一些方案,如果你能看懂,自己完成,否则请参考后面的详细步骤: 方案一:(1)画一条线段;(2)作出线段的中点;(3)标记中点为“中心”;(4)选取线段和它的两个 端点,由“变换”?“旋转”,在弹出的对话框中设置“按 90 度旋转”;(5)连结旋转后两条线段的端 点。 方案二:(1)画一条线段;(2)标记线段的一个左端点为“中心”;(3)选取线段和右端点,按上面介 绍的方法把它们旋转 90 度;(4)标记右端点为“中心”;(5)选取线段和左端点,按上面的方法旋转-90 度;(6)连出第四条边。 方案三:(1)画一条直线,在这条直线上画一点;(2)过这一点画已知直线的垂线;(3)以垂足为圆心 画一个圆;(4)定义出圆和两条直线的交点;(5)顺次连结四个交点,隐藏不需要的对象。 方案四:(1)画一个圆,标记圆心为中心;(2);在圆上画一点,选取这个点,由“变换”?“旋转”, 设置旋转 90 度,这时得到另一个点;(3)保持新得到的点的选取状态,把它又旋转 90 度,得到第三个 顶点;(4)连结四个顶点,隐藏不需要的对象。 …………在这里提出你的新方案:

以上四种虽然都能画出正方形,但画好的四边形在控制大小和位置时有的比较方便,有的不是很方便,

请自己比较哪些方案比较方便。

用几何画板验证:

方案一的验证

第一步:画一条线段 AB,作出它的中点 C,用“选择” 工具双击点 C,点 C 被标记为中心,如图 1-10.1。

A

C

B

图 1-10-1

第二步:选取点 A、B 和线段 AB,由“变换”?“旋

B'

转”,在弹出的对话框中设置“按 90 度旋转”,如图

1-10.2。

A

C

B

第三步:改标签为我们常用的,如图 1-10.2。

A' 图 1-10.2
D

A

O

C

B 图 1-10.2

31

第四步:最后连结得如图 1-10.3。

D

说明:拖动点 C 或 A 可以把正方形“摆正”。

A

O

C

B

方案二的验证:

图 1-10.3

用几何画板学习到现在,相信大家会有一个感觉,几何画板中为什么不能直接画出矩形、正方形等特殊

图形,其实是可以的,但是这个功能需要自己把画图的过程保存为一个记录文件,然后在“对象参数设

置”面板中设置好使用记录文件的路径,这时工具箱中会多出一个按钮 ,可以通过这个按钮调用记

录文件,这时可以快速画好一个特殊的图形。

如何制作一个记录文件:

第一步:(1)新建一个几何画板文件;(2)选取“文件”?“新记录”,这时窗口变成如图 1-10.4。 左边是绘图窗口,右边是记录窗口,

注意:绘图文件是扩展名是.gsp,记录文件的扩展名是 .gss。

图 1-10.4
第二步:点一下记录窗口中的“记录”,按钮,记录窗 口变成如图 1-10.5。

图 1-10.5

第三步:点击“绘图”窗口,在窗口中画一个线段,如 图 1-10.6。

图 1-10.6

32

第四步:(1)用“选择”工具双击左边端点,标记此点 为“中心”;(2)选取右边的端点和线段,由“变换” ?“旋转”,在弹出的对话框中设置“按 90 度旋转”, 得如图 1-10.7。

第五步:(1)用“选择”工具双击右边端点,标记此点 为“中心”;(2)选取左边的端点和线段,由“变换” ?“旋转”,在弹出的对话框中设置“按-90 度旋转”, 得如图 1-10.8。

图 1-10.7

图 1-10.8

第六步:(1)连出最后一边;得图 1-10.9; (2)单击“记录窗口”中的停止按钮,结束记录的录 制; (3)在保持“记录窗口”是活动窗口的前提下,由“文 件”?“存盘”,弹出“文件另存为”窗口,默认的文 件名是“记录 01.gss”,可以改为“正方形.gss”,默认 的位置是几何画板的安装目录,不用修改直接点“确 定”。

图 1-10.9

以上的工作已经录制好一个记录并保存,下面学习如何

从工作箱中调用这个记录。

如何设置记录工具所在目录:
第七步:(1)由“显示”?“参数选择…”,弹出一个对话框; (2)在对话框中点“R 其他”按 钮,又弹出一个“高级参数选择”对话框,请注意“记录工具目录”这一部分,如图 1-10.10。

图 1-10.10
第八步:(1)单击“设置”按钮,弹出选择目录对话框,选择目录为你刚才存放记录“正方形.gss” 的文件夹;(2)点“确定”按钮关掉第三个对话框,再点“继续”按钮关掉第二个对话框,最后点“确 定”关闭第一个对话框,完成记录工具目录的设置。
说明:这个操作只需设置一次,以后制作好的目录都存在已设置好的文件夹中,就可以方便的调用
了。 如何使用记录工具:
第九步:当你正确设置好后,工具箱中会多出一个按钮 ,点击这个按钮,出现图 1-10.11。
点取正方形这一项,然后在窗口中按鼠标左键拖动,可 以快速画出一个正方形。

33

练习: 1、 自己录制一个画矩形的记录,存放在正方形记录所在文件夹。 2、 录制一个画正三角形的记录。 3、 录制一个画平行四边形的记录。 4、 录制你常用的其它图形的记录。

图 1-10.11

34

案例十一 圆周角与圆心角
方案:画一个圆,画出一段弧所对的圆心角和圆周角,验证同弧所对的圆周角是圆心角的一半。 用几何画板验证: 第一步:新建一个几何画板文件。

第二步:(1)选取“圆画”工具;(2)按住鼠标左键在 工作区中拖动,可以画一个圆;(3)标出标签并改为所 要的,如图 1-11.1。 这时同时会出现两个点,一个是圆心,一个是圆上的点,
这两个点可以用来控制圆的大小和位置,在下面的作图
过程中,一般不要用到圆上的这一点,以免在拖动的过
程中改变了圆的大小。

O G
图 1-11.1

第三步:用“画点”工具,在圆上画出三个点,标上标

P

签并改为点 P、A、B,得到如图 1-11.2。

第四步:连结 PA、PB、OA、OB,度量∠AOB、∠APB, 得到如图 1-11.3。

O

G

A

B

图 1-11.2

AOB =83.18? APB =41.59?

A 图 1-11.3

第五步:由菜单“度量”?“计算”,弹出几何画板的 计算器,依次点取“∠APB”、“/”、“∠AOB”、“确定”, 可以计算出两个角的比。得到如图 1-11-4。

AOB =83.18? APB =41.59?

AP B AOB

= 0.50

A

图 1-11-4

P
O G
B
P
O G
B

35

归纳结论:

序号

操作

现象

结论

1 拖动点 P,在弧 AGB 上移动,

2

拖动点 B,把弧 AB 变长,

结论

∠APB=_____ ∠AOB=_____
?APB ? ___ ?AOB
∠APB=_____ ∠AOB=_____
?APB ? ___ ?AOB

同弧所对的圆周角 _________;
同弧所对的圆周角 是圆心角的____
同弧所对的圆周角 是圆心角的____

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例十一供参考。

练习:

1、 自己画一个圆,在圆上画四点,画出一个圆内接四边形,验证圆内接四边对角互补。

2、 画三角形的外接圆,画法要点:(1)先画好一个三角形;(2)画两边的垂直平分线,用“选

择工具”单击两条垂直平分线的交点处,确定出外心;(3)按住 Shift,用“选择工具”先选

取外心,再选取三角形的一个顶点,由菜单“作图”?“以圆心和圆周上的点画圆”,画出

三角形的外接圆,隐藏两条中垂线,得到最后的图形。

3、 画三角形的内切圆,画法要点:(1)先画好一个三角形,画出三角形的两条角平分线,并确

定对角线的交点,即是内心;(2)过内心作一条边的垂线,确定出垂足;(3)按住 Shift,用

“选择工具”先选取内心,再选取刚才作的垂足,由菜单“作图”?“以圆心和圆周上的点

画圆”,画出三角形的内切圆,隐藏两条角平分线和垂线,得到最后的图形。

36

案例十二 与圆有关的比例线段
思路:相交弦定理,切割线定理及其推论,形式上有类似之处,那么三者之间到底是什么样的关系呢? 方案:设计一个满足以下条件的小课件,(1)可以动态地变化出弦相交于圆内或它们的延长线相交于圆 外;(2)割线和圆的两交点可以变成一个交点,从而变成切线,方便研究关系。

用几何画板验证: 第一步:新建一个几何画板文件。

第二步:在工作区画一个圆,并在圆上画四点,标上标 签并改为 A、B、C、D,如图 1-12.1。

CA

B D

图 1-12.1

第三步:(1)选取“画直线”工具,移动鼠标到点 A 按下,拖动到点 B 放开,画出直线 AB,同理画直线 CD;(2)用“选择”工具单击两条直线的交点处确定 出交点。标记标签为 P,得到图 1-12.2。
注意:此步一定选画直线相交,如果一开始画的是线段,
就不能让它们在圆外相交了。

C
B 图 1-12.2

A P
D

第四步:(1)选取刚才画的两条直线 AB、CD,由菜单 “显示”?“隐藏直线”,把直线 AB、CD 隐藏;(2) 选取“画线段”工具分别画出线段 PA、PB、PC、PD。 得到图 1-12.3。

C

A

P

B D

图 1-12.3

第五步:(1)按 Shift 键不放,选取点 P、A,由菜单 “度量”?“距离”,量出 PA,用同样的方法量出 PB、 PC、PD;(2)由菜单“度量”?“计算”,弹出几何 画板的计算器,依次点击“PA=…”、“*”、“PB=…”、 “确定”,可以计算出 PA 与 PB 的积,同理可以计算出 PC 与 PD 的积,得到如图 1-12.4。
注意:由于每个人画的图不同,度量的数据和计算的
结果都不会相同,但只要完成同样的操作就行了。

PA =0.31 cm

PC =0.37 cm

PB =0.78 cm C

PD =0.67 cm A

P

B
PA PB =0.25 cm2
图 1-12.4

D PC PD =0.25 cm2

37

归纳结论:

序号

操作

现象

结论

1 2 3 结论

拖动点 C 在弧 ACB 上移动,

点 P 在圆的___部; PA·PB_____PC·PD

圆的两条弦 AB 与 CD 相交于点 P,
PA·PB_____PC·PD

圆的两条弦 AB 与 CD

拖动点 C 移到弧 ABD 上运动,

点 P 在圆的___部; PA·PB_____PC·PD

的延长线相交于圆外 一点 P,

PA·PB_____PC·PD

拖动点 C 移动到与点 D 重合。

线段 CD 与圆的两个交 点变为___个,此时 PC (PD)就是圆的__线段
PA·PB_____PC2

从圆外一点引圆的切 线段和割线,切线和 是这点到割线与圆交
点的两条线段长的 __________。

从实验可以看出,如果考虑弦相交或弦的延长线相交,或者当两个交点变为一个

时,割线变成了切线,三个定理在本质_____(是或不是)统一的。

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例十二供参考。

练习:

1、 验证直线与圆的位置关系,操作要点:(1)画一个圆,画出它的一条半径,量出半径的

长;(2)画一条垂线,作出圆心到直线的垂线段,量出垂线段的长;(3)通过拖动直线

和圆的相对位置,比较半径和垂线段的长的大小,找出相互关系的数量表示方法;

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例十二练习 1 供参考。

2、 验证圆与圆的位置关系:操作要点:(1),画大小不同的两个圆;(2)画出各自的半径和

连心线;(3)度量它们的半径和圆心距,并用计算器计算出半径之和、半径之差;(4)

通过拖动圆(不要只拖圆心),改变两个圆的相对位置,找到不同位置关系下的数量表示

方法。

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例十二练习 2 供参考。

38

案例十三 一次函数的图象

思路:

画出一次函数 y=kx+b 的图象,研究 k、b 对一次函数的位置关系的影响。

方案:

在横轴和纵轴上各画一个点,用横轴上的点的横坐标表示 k,用纵轴上的点的纵坐标表示 b,计

算出函数值,画出函数的图象,通过拖动坐标轴上的点改变 k 和 b 的值,从而观察函数图象的变化。

用几何画板验证:

第一步:新建一个几何画板文件。 第二步:由菜单“图表”?“建立坐标系”,这样可以

2

在平面内建立一个平面直角坐标系;得到如图 1-13.1。

1

-2

-1

1

2

图 1-13.1 2 -1

第三步:(1) 选取“画点工具”,分别在 x 轴画两个点、 y 轴上画一个点; (2) 用“文本”工具标出它们的标签,并 x 改轴上的 为 k,改 y 轴上的为 b,,得到如图 1-13.2

1 -2
b

注意:这样不符合常规的表示方法,一般的点是用大写

字母表示的,但这里为了能更清楚的观察,我们例外地

这样表示。

-2

-1

k1

2

第四步:(1) 选取 b 点和点 k,由菜单 “度量”?“坐标”,可以量出这两点的 坐标;
(2) 由菜单“度量”?“计算”,弹出 计算器。用鼠标在点 b 的坐标处单击。在 弹出的一个灰色板中选 y,然后按“确定”, 这样可以计算出点 b 的纵坐标 yb;用同样 的方法,可以计算出点 k 的横坐标 xk; (3) 可以用“文本”工具双击 xk,在弹 出的对话框(图 1-13.3)中选文本格式, 并改等式的左边为 k,同样可以改变 yb 的显示格式。
在 x 轴上再画一个点,度量它的坐标,分 离出横坐标 x=…,最后得到如图 1-13.4。

-1

图 1-13.2

-2

b: (0.00, 0.67)

k: (0.64, 0.00)

2

b = 0.67 k = 0.64

1
b

X: (0.22, 0.00) x= 0.22

-2

-1

X k1

2

图 1-13.4

-1

-2
39

图 1-13.3

第五步:(1) 由菜单“度量”?“计算”弹

出 计 算 器 , 然 后 顺 次 点 取 “ k= … ”、“ * ”、

3

“x=…” “+”、“b=…”、“确定”,这样可 以计算 kx+b 的值; (2) 用“选择工具”按顺序选“x=…”、

b: (0.00, 0 .67)

k: (0.64, 0 .00)

2

X: (0.22, 0 .00)
x= 0.22 k x + b =0.81

“kx+b=…”,由菜单“图表”?“P 绘出点 (x,y),可以绘出以“x=…”的值为横坐标,以 “kx+b=…”为纵坐标的一个点,标记为点

b = 0.67 k = 0.64

1
A b

A。

(如果看不到这个点,请调整 k、b 的-位4 置 -3

-2

-1

X k1

2

3

4

靠近原点,直到看到这个点)。
(3) 用“选择工具”选取点 X 和点 A,然 后由菜单“作图”?“轨迹”,可以画出一 次函数 y=kx+b 的图象。得如图 1-16.5。

-1
图 1-13.5 -2

归纳结论: (一) 序号

操作

1 拖动点 b 在 y 轴的正半轴上移动,

现象 b____0

2 拖动点 b 和原点重合,

b____0

3 拖动点 b 在 y 轴的负半轴上移动,

b____0

结论 b 的数值决定了直线和_____轴交点的位置。

结论
当 b>0 时,图象与 y 轴的交点在 x 轴
的______方。 当 b=0 时,图象与
y 轴的交点在 ______。
当 b<0 时,图象与 y 轴的交点在 x 轴
的______方。

(二)

序号

操作

1 拖动点 k 在 x 轴的正半轴上移动,

现象 k____0

2 拖动点 k 和原点重合,

k____0

3 拖动点 k 在 x 轴的正半轴上移动,

k____0

结论 k 的数值决定了直线相对于_____轴倾斜的方向。

结论 直线向____方倾斜 直线变成和___轴
平行。 直线向____方倾斜

40

说明:当 k=0 时,函数已经不是一次函数,但仍然和一次函数有一定的联系。

(三)

拖动点 k 和 b,使它们的值满足下面的表格,观察函数图象经过的象限。

k>0

k=0

k<0

b>0

经过一、二、三象限 一、二

b=0

就是 x 轴

b<0

三、四

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例十三供参考。

练习:

用类似的方法画出反比例函数 y ? k 的图象,研究当 k>0 和 k<0 时函数图象的位置。 x

41

案例十四 二函数的图象

思路:

画出函数 y ? a?x ? h?2 ? k 的图象,要求能动态地控制图象的开口方向、形状、位置。

用几何画板验证:

第一步:建立一个新的几何画板文件,

2

第二步:(1)由菜单“图表”?“建立坐标系”,

这样可以在平面内建立一个平面直角坐标系;

(2)选取“画点”工具在 x 轴上画四个点,其中

一个画得比较靠近原点,标记为 x,另外三个尽量

靠近工作区的最右边,不用标出标签;

(3) 按住 Shift 不放,用“选择”工具选取刚才

画的右边三点和 x 轴,由“作图”?“垂线”,画

出分别过这三点垂直于 x 轴的三条直线;

(4)选取“画点”工具,在画好的三条垂线上各

画一个点,分别标标签为,a、h、k。 -2

-1

得到如图 1-14.1。

1
x

ah k

1

2

-1
图 1-14.1

第三步:(1)度量点 x、a、h、 k 的坐标,再用计算器分离出 点 x 的横坐标、点 a、h、k 的 纵坐标; (2)用“文本工具”修改显示 格式,最后得 x=…、a=…、 h=…、k=…的形式, (3)调出计算器,依次点击 “ a= … ”、“ * ”、“ ( ”、 “ x= … ”、“ - ”、“ h= … ”、 “ )”、“ ^ ”、“ 2 ”、“ + ”、 “k=…”、“确定”,这样可以 计算函数值,供后面画点用。
如图 1-14.2。

k: (1.55, 0.58) h: (1.30, 0.56) a: (1.11, 0.51) x: (0.28, 0.00)
a = 0.51 h = 0.56 k= 0.58 x = 0.28
a (x - h)2 + k =0.62

-2

-1

-2 2 1
x

图 1-14.2
-1

ah k

1

2

-2

42

第四步:(1)按住 Shift 不放,用“选择”工具按顺序先选取“x=…”,再选“ a ? ?x ? h?2 ? k =…”;
(2)由菜单“图表”?“P 绘出(x,y)”,可以绘出图象上的一个点,标记为 P; (3)按住 Shift 不放,用“选择”工具按顺序先选取点 x,再选取点 P,然后由菜单“作图”?“轨
迹”,这样就画出了二次函数 y ? a?x ? h?2 ? k 的图象; (4)按住 Shift 不放,用“选择工具”4按顺序先选取“h=…”,再选“k=…”,然后由菜单“图表”?
“P 绘出(x,y)”,可以绘出抛物线的顶点; (5)选取画好的顶点和 x 轴,由“作图”?“垂线”,这样实际上画出了二次函数图象的对称轴;
(6)选取对称轴,由“显示”?“线型”?“虚线”,这样改变对称轴为虚线,便于区别。得到如图 1-14.3。
3

k: (1.55, 0 .39)

h: (1.32, 0 .43)

a: (1.11, 0 .34)

2

x: (0.28, 0 .00)

a = 0.34 h = 0.43 k= 0.39
1
x = 0.28 a (x - h)2 + k =0.40
P

ahk

-3

-2

-1

x

1

2

3

图 1-14.3

归纳结论:

-1

(一)由 a 值引起的变化

序号

操作

现象

结论

函数的图象开口

1

-2
拖动点 a 在 x 轴的上方向上移动,

向____ a 的值越来越___ a 的值越大,图象

当 a>0 时,图象开口向 ____;
a 越大,图象越靠近

越____(靠近,

________

离开)对称轴。

2 拖动点 a 到 x 轴上

a=___

这时函数不是二次函 数,它的图象变为

函数的图象开口

_____________-

向____

当 a<0 时,图象开口向

3

拖动点 a 在 x 轴的下方向下移动,

a 的值越来越___ a 的值越小,图象

____; a 越小,图象越靠近

越____(靠近,

________

离开)对称轴。

结论 a 的值影响函数图象的____方向,当 a>0 时,开口向___,当 a<0 时,开口向____.

43

(二) h 的值引起的变化

序号

操作

现象

结论

h 的值越来越___ 当 h>0 时,对称轴在 y

1 拖动点 h 向上移动,

函数对称轴向 轴的___侧,h 越大,对

____移动

称轴越靠___.

h 的值越来越___ 当 h<0 时,对称轴在 y

2 拖动点 h 向下移动,

函数对称轴向 轴的___侧,h 越大,对

____移动

称轴越靠___.

结论 h 的值影响图象______的位置,实际上它控制了图象的左右移动。

(三)k 值引起的变化

序号

操作

现象

结论

1 拖动点 k 向上移动,

k 的值越来越___ 函数图象向__移


当 k>0 时,顶点在 x 轴 的____方

2 拖动点 k 向下移动,

k 的值越来越___ 函数图象向__移


当 k<0 时,顶点在 x 轴 的____方

结论 k 的值控制了图象的______移动。

如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载案例十四供参考。

练习:

画函数 y ? 3x2 ? 4x ? 1 的图象,观察图象,说出 x 取哪些值时,函数值为 0。

44

案例十五 多久能追上
甲与乙同向跑步,乙在甲前面的 3 米处。甲的速度是 5 米/秒,乙的速度是 4.5 米/秒,两人同时起 跑,问甲几秒钟追上乙? 思路:利用几何画板的计算功能,让甲乙两个对象在时间的控制下,根据自己的速度移动,当甲追上乙 时,显示的时间即为所求。 用几何画验证: 第一步:新建一个几何画板文件,由菜单“图表”?“建立坐标系”,在工作区中出现了一 个平面直角坐标系。

第二步:(1) 在 Y 轴的正半轴上画一点 C,选取点 C 和 Y

5

轴;(2) 由“作图”?“垂线”,画出过点 C 垂直于 Y 轴

的直线;(3) 在垂线位于第一象限内的部分上画一点 D,

如图 1-15.1。

C

D

-5

5

图 1-15.1

第三步:(1) 选取垂线 CD,由“显示”?“隐藏”,把垂 线隐藏;(2) 选取“画射线”工具,从点 C 按鼠标拖动到 点 D,画出射线 CD;(3) 用画点工具在射线 CD 上画一 个点 E;(4) 把 D 点隐藏,得到如图 1-15.2。 说明:这样反复操作的目的在于,由于我们要用点 E 的
横坐标来代表时间,点 E 的横坐标只能取正值,为保证
点 E 不会拖动到第二象限,所以画好的垂线要变成射线,
同时隐藏点 D,使这条射线不能-5再拖到其它象限。
第四步:(1) 选取点 E,由菜单“度量”?“坐标”,得 到点 E 的坐标;(2) 由“度量”?“计算”,调出计算器; (3) 在点 E 的坐标上单击,在出现的面板中选 x,按确定, 即可分离出点 E 的横坐标,操作如图 1-15.3,结果如图 1-15.4。

C -5
5 C

E
图 1-15.2
E:(1.62, 2.99) xE = 1.62 E

-5

-5
图 1-15.3

图 1-15.4

5
5
5 45

第五步:(1) 用“文本”工具双击分离出来的横坐标,在 5 弹出的对话框中做如下改动(图 1-3-5);(2) 隐藏点 E 的 坐标,得如图 1-3-6。
C

t = 1.62 E

-5
图 1-15.5

5 图 1-15.6

第六步:(1) 调出计算器,依次点“5”、“*”、“t=…”、“确

定”,计算出 5t 的值;(2) 调出计算器,依次点击“3”、

“+”、“4”、“.”、“5”、“*”、“t=…”,计算出 3+4.5t 的值,

如图 1-3-7。

C

说明:乘号用“*”表示,“t=…”指的是工作区中的

“t=1.62”,但由于每个人画点的位置不同,数值可以不

同,所以这里用省略号表示。

-5

t = 1.62 E
5 t = 8.12
3 + 4.5 t = 10.31

-5

5

第七步:(1) 选择“5t=…”,由菜单“图表”?“绘

制度量值…”,在弹出的“绘制度量值”对话框中直

接确定;(2) 选择“3+4.5t=…”,同样绘制度量值,

得如图 1-3-8。

C

说明:这样得到的两条虚线,受度量值的控制,度

量值又受到时间 t 的控制,当两条虚线重合时,说

明甲追上了乙,这时的 t 就是所求。

图 1-15.7
t = 0.76 E 5 t = 3.80 -5 3 + 4.5 t = 6.42

-5

5

图 1-15.8

第八步:(1) 由菜单“图表”?“绘制点”,在弹出 的对话框中输入 0、1,按步骤操作画出固定点 (0,1)(图 1-15.9),(2) 同样画出(0,2),得如图 1-15-10。

t = 0.76

C

E

5 t = 3.80

H

-5 G

3 + 4.5 t = 6.42

-5

图 1-15.10

5 5
5 5

46

10
图 1-15-9

第九步:(1) 选取点 G 和 Y 轴,由“作图”?“垂

t = 1.05

线”,过点 G 画出 Y 轴的垂线;(2) 用“选择”工

具单击刚画好的垂线与根据“3+4.5t=…”所画虚线 C E

的相交处,确定出交点,并标记交点为“乙”;(3) 同

样,过点 H 画 Y 轴的垂线后确定它与另一条虚线交

点,标记为“甲”,如图 1-3-11。

H G

说明:为了便于区分,可以改虚线和下两条 Y 轴的
-10

5 t = 5.25


10

垂线为不同颜色。

3 + 4.5 t = 7.73

归纳结论:

图 1-15.11

拖动点 E 在 CE 上移动,注意观察两个度量值的变化和红、蓝虚线的位置,当两条虚线重合时,两

个度量值有什么关系?这时的 t 是多少?,你知道问题的答案吗? 如有问题,请到http://wq.sdedu.net几何画板分版,下载-1案0 例十五供参考。

练习:

对于同类的问题,只需要改变度量值,并跟据新的度量值绘制虚线,然后确定甲、乙两点,就可以

使它来求新的解,就象做好了一个“解题机”。(不过有时得到的只能是近似数,这是受到电脑显示的数

的精确度的影响)

1、对于上例,改为乙在甲前面 2 米,问几秒后甲追上乙?(精确到十分位)。

2、对于上例,相距距离不变,乙的速度不变,改甲的速度为 5.5 米/秒,问几秒后甲追上乙?(精确到十

分位)。

-20

47


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