《创新设计》高考数学人教A版(理)一轮复习：第十一篇 第4讲 古典概型

第 4 讲 古典概型

A 级 基础演练(时间：30 分钟 满分：55 分)

一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)

1．(2013·北京海淀期末)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有

“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，

则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为

( )．

1 A.12 解析

5

7

5

B.12

C.12

D.6

由题意知，基本事件有A224＝12 个，满足条件的基本事件就一个，故所

求概率为 P＝112.

答案 A

2．(2013·皖南八校联考)一个袋子中有 5 个大小相同的球，其中有 3 个黑球与 2

个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是 ( )．

1

3

2

1

A.5

B.10

C.5

D.2

解析 基本事件有 C25＝10 个，其中为同色球的有 C23＋C22＝4 个，故所求概率

为140＝25.

答案 C

3．(2013·福州一模)甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，

则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是

( )．

1

1

1

1

A.2

B.3

C.4

D.5

解析 (甲送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙)，(甲、

乙都送给丁)，共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，

所以 P＝24＝12.

答案 A

4．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多 6 人，从这些同学中随机挑

选一人表演节目．若选到女同学的概率为23，则这班参加聚会的同学的人数为

( )．

A．12

B．18

C．24

D．32

解析 设女同学有 x 人，则该班到会的共有(2x－6)人，所以2x－x 6＝23，得 x＝

12，故该班参加聚会的同学有 18 人，故选 B.

答案 B

二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)

5．(2013·南京模拟)在集合 A＝{2,3}中随机取一个元素 m，在集合 B＝{1,2,3}中随

机取一个元素 n，得到点 P(m，n)，则点 P 在圆 x2＋y2＝9 内部的概率为________．

解析 由题意得到的 P(m，n)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共 6

个，在圆 x2＋y2＝9 的内部的点有(2,1)，(2,2)，所以概率为26＝13.

答案

1 3

6．(2013·郑州二检)连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n，记向量 a＝(m，n)与

向量 b＝(1，－1)的夹角为 θ，则 θ∈???0，π2???的概率是________．

解析 ∵m，n 均为不大于 6 的正整数，∴当点 A(m，n)位于直线 y＝x 上及其

下方第一象限的部分时，满足 θ∈???0，2π???的点 A(m，n)有 6＋5＋4＋3＋2＋1＝

21 个，点 A(m，n)的基本事件总数为 6×6＝36，故所求概率为2316＝172.

答案

7 12

三、解答题(共 25 分)

7．(12 分)(2012·天津)某地区有小学 21 所，中学 14 所，大学 7 所，现采用分层抽

样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查．

(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；

(2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析，

①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的 2 所学校均为小学的概率． 解 (1)由分层抽样的定义知，从小学中抽取的学校数目为 6×21＋2114＋7＝3； 从中学中抽取的学校数目为 6×21＋1144＋7＝2；从大学中抽取的学校数目为 6×21＋714＋7＝1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1. (2)①在抽取到的 6 所学校中，3 所小学分别记为 A1，A2，A3,2 所中学分别记为 A4，A5,1 所大学记为 A6，则抽取 2 所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)， (A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3， A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共 15 种． ②从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B)的所有可能结果为(A1， A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共 3 种． 所以 P(B)＝135＝15. 8．(13 分)(2011·广东)在某次测验中，有 6 位同学的平均成绩为 75 分．用 xn 表示 编为 n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前 5 位同学的成绩如下：

编n

1

2

3

4

5

成绩 xn 70 76 72 70 72
(1)求第 6 位同学的成绩 x6，及这 6 位同学成绩的标准差 s； (2)从前 5 位同学中，随机地选 2 位同学，求恰有 1 位同学成绩在区间(68,75) 中的概率． 解 (1)∵这 6 位同学的平均成绩为 75 分， ∴16(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得 x6＝90， 这 6 位同学成绩的方差 s2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2] ＝49，∴标准差 s＝7. (2)从前 5 位同学中，随机地选出 2 位同学的成绩共有 C25＝10 种，

恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)， 共 4 种，所求的概率为140＝0.4， 即恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的概率为 0.4.

B 级 能力突破(时间：30 分钟 满分：45 分)

一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)

1．甲、乙两人喊拳，每人可以用手出 0,5,10 三种数字，每人则可喊 0,5,10,15,20

五种数字，当两人所出数字之和等于甲所喊数字时为甲胜，当两人所出数字之

和等于乙所喊数字时为乙胜，若甲喊 10，乙喊 15 时，则

( )．

A．甲胜的概率大

B．乙胜的概率大

C．甲、乙胜的概率一样大

D．不能确定

解析 两人共有 9 种出数的方法，其中和为 10 的方法有 3 种，和为 15 的方法

有 2 种，故甲胜的概率要大，应选 A.

答案 A

2．(2013·合肥二模)将码分别为 1,2,3,4 的四个小球放入一个袋中，这些小球仅码

不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其码为 a，放回后，乙从此口

袋中再摸出一个小球，其码为 b，则使不等式 a－2b＋4<0 成立的事件发生的

概率为

( )．

1

3

1

1

A.8

B.16

C.4

D.2

解析 由题意知(a，b)的所有可能结果有 4×4＝16 个．其中满足 a－2b＋4<0

的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，共 4 个，所以所求概率为14.

答案 C

二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 3．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为 a，b，则双曲线ax22－by22＝1 的离心率

e> 5的概率是________．

解析 e＝

1＋ba22> 5，∴b>2a，符合 b>2a 的情况有：当 a＝1 时，b＝3,4,5,6

四种情况；当 a＝2 时，b＝5,6 两种情况，总共有 6 种情况．则所求概率为366＝

1 6.

答案

1 6

4．(2012·上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两

个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简

分数表示)．

解析 根据条件求出基本事件的个数，再利用古典概型的概率计算公式求

解．因为每人都从三个项目中选择两个，有(C32)3 种选法，其中“有且仅有两人 选择的项目完全相同”的基本事件有 C23C13C12个，故所求概率为C?23CC3213?C3 12＝23.

答案

2 3

三、解答题(共 25 分)

5．(12 分)(2012·枣庄二模)袋内装有 6 个球，这些球依次被编为 1,2,3，…，6，设

编为 n 的球重 n2－6n＋12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、

编的影响)．

(1)从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编的概率；

(2)如果不放回的任意取出 2 个球，求它们重量相等的概率．

解 (1)若编为 n 的球的重量大于其编．

则 n2－6n＋12>n，即 n2－7n＋12>0.

解得 n<3 或 n>4.

∴n＝1,2,5,6.∴从袋中任意取出一个球，其重量大于其编的概率 P＝46＝23.

(2)不放回的任意取出 2 个球，这两个球编的所有可能情形共有 C26＝15 种． 设编分别为 m 与 n(m，n∈{1,2,3,4,5,6}，且 m≠n)球的重量相等，则有 m2－6m

＋12＝n2－6n＋12，即有(m－n)(m＋n－6)＝0.

∴m＝n(舍去)或 m＋n＝6.

满足 m＋n＝6 的情形为(1,5)，(2,4)，共 2 种情形．

由古典概型，所求事件的概率为125.

6．某省实验中学共有特级教师 10 名，其中男性 6 名，女性 4 名，现在要从中抽 调 4 名特级教师担任青年教师培训班的指导教师，由于工作需要，其中男教师 甲和女教师乙不能同时被抽调． (1)求抽调的 4 名教师中含有女教师丙，且 4 名教师中恰有 2 名男教师、2 名女 教师的概率； (2)若抽到的女教师的人数为 ξ，求 P(ξ≤2)． 解 由于男教师甲和女教师乙不能同时被抽调，所以可分以下两种情况： ①若甲和乙都不被抽调，有 C48种方法； ②若甲和乙中只有一人被抽调，有 C12C38种方法，故从 10 名教师中抽调 4 人， 且甲和乙不同时被抽调的方法总数为 C48＋C12C38＝70＋112＝182.这就是基本事 件总数． (1)记事件“抽调的 4 名教师中含有女教师丙，且恰有 2 名男教师，2 名女教师” 为 A，因为含有女教师丙，所以再从女教师中抽取一人，若抽到的是女教师乙， 则男教师甲不能被抽取，抽调方法数是 C25；若女教师中抽到的不是乙，则女 教师的抽取方法有 C12种，男教师的抽取方法有 C26种，抽调的方法数是 C12C26. 故随机事件“抽调的 4 名教师中含有女教师丙，且 4 名教师中恰有 2 名男教师、 2 名女教师”含有的基本事件的个数是 C25＋C12C26＝40. 根据古典概型概率的计算公式得 P(A)＝14802＝2901. (2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4，所以 P(ξ≤2)＝1－P(ξ>2)＝1－P(ξ＝3)－P(ξ＝4)， 若 ξ＝3，则选出的 4 人中，可以含有女教师乙，这时取法为 C23C15种，也可以 不含女教师乙，这时有 C33C16种，故 P(ξ＝3)＝C23C151＋82C33C16＝12812＝236； 若 ξ＝4，则选出的 4 名教师全是女教师，必含有乙，有 C44种方法，故 P(ξ＝4) ＝1C8442＝1182，于是 P(ξ≤2)＝1－12812－1182＝116802＝8901.
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