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《创新设计》高考数学人教A版(理)一轮复习:第十一篇 第4讲 古典概型

《创新设计》高考数学人教A版(理)一轮复习:第十一篇 第4讲 古典概型

第 4 讲 古典概型

A 级 基础演练(时间:30 分钟 满分:55 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)

1.(2013·北京海淀期末)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏,让孩子把分别写有

“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行,若卡片按从左到右的顺序排成“1314”,

则孩子会得到父母的奖励,那么孩子受到奖励的概率为

( ).

1 A.12 解析

5

7

5

B.12

C.12

D.6

由题意知,基本事件有A224=12 个,满足条件的基本事件就一个,故所

求概率为 P=112.

答案 A

2.(2013·皖南八校联考)一个袋子中有 5 个大小相同的球,其中有 3 个黑球与 2

个红球,如果从中任取两个球,则恰好取到两个同色球的概率是 ( ).

1

3

2

1

A.5

B.10

C.5

D.2

解析 基本事件有 C25=10 个,其中为同色球的有 C23+C22=4 个,故所求概率

为140=25.

答案 C

3.(2013·福州一模)甲、乙两人各写一张贺年卡,随意送给丙、丁两人中的一人,

则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是

( ).

1

1

1

1

A.2

B.3

C.4

D.5

解析 (甲送给丙,乙送给丁),(甲送给丁,乙送给丙),(甲、乙都送给丙),(甲、

乙都送给丁),共四种情况,其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种,

所以 P=24=12.

答案 A

4.在一次班级聚会上,某班到会的女同学比男同学多 6 人,从这些同学中随机挑

选一人表演节目.若选到女同学的概率为23,则这班参加聚会的同学的人数为

( ).

A.12

B.18

C.24

D.32

解析 设女同学有 x 人,则该班到会的共有(2x-6)人,所以2x-x 6=23,得 x=

12,故该班参加聚会的同学有 18 人,故选 B.

答案 B

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)

5.(2013·南京模拟)在集合 A={2,3}中随机取一个元素 m,在集合 B={1,2,3}中随

机取一个元素 n,得到点 P(m,n),则点 P 在圆 x2+y2=9 内部的概率为________.

解析 由题意得到的 P(m,n)有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共 6

个,在圆 x2+y2=9 的内部的点有(2,1),(2,2),所以概率为26=13.

答案

1 3

6.(2013·郑州二检)连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n,记向量 a=(m,n)与

向量 b=(1,-1)的夹角为 θ,则 θ∈???0,π2???的概率是________.

解析 ∵m,n 均为不大于 6 的正整数,∴当点 A(m,n)位于直线 y=x 上及其

下方第一象限的部分时,满足 θ∈???0,2π???的点 A(m,n)有 6+5+4+3+2+1=

21 个,点 A(m,n)的基本事件总数为 6×6=36,故所求概率为2316=172.

答案

7 12

三、解答题(共 25 分)

7.(12 分)(2012·天津)某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采用分层抽

样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查.

(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目;

(2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析,

①列出所有可能的抽取结果; ②求抽取的 2 所学校均为小学的概率. 解 (1)由分层抽样的定义知,从小学中抽取的学校数目为 6×21+2114+7=3; 从中学中抽取的学校数目为 6×21+1144+7=2;从大学中抽取的学校数目为 6×21+714+7=1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1. (2)①在抽取到的 6 所学校中,3 所小学分别记为 A1,A2,A3,2 所中学分别记为 A4,A5,1 所大学记为 A6,则抽取 2 所学校的所有可能结果为(A1,A2),(A1,A3), (A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3, A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),共 15 种. ②从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B)的所有可能结果为(A1, A2),(A1,A3),(A2,A3),共 3 种. 所以 P(B)=135=15. 8.(13 分)(2011·广东)在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分.用 xn 表示 编为 n(n=1,2,…,6)的同学所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下:

编n

1

2

3

4

5

成绩 xn 70 76 72 70 72
(1)求第 6 位同学的成绩 x6,及这 6 位同学成绩的标准差 s; (2)从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间(68,75) 中的概率. 解 (1)∵这 6 位同学的平均成绩为 75 分, ∴16(70+76+72+70+72+x6)=75,解得 x6=90, 这 6 位同学成绩的方差 s2=16×[(70-75)2+(76-75)2+(72-75)2+(70-75)2+(72-75)2+(90-75)2] =49,∴标准差 s=7. (2)从前 5 位同学中,随机地选出 2 位同学的成绩共有 C25=10 种,

恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的有:(70,76),(76,72),(76,70),(76,72), 共 4 种,所求的概率为140=0.4, 即恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的概率为 0.4.

B 级 能力突破(时间:30 分钟 满分:45 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

1.甲、乙两人喊拳,每人可以用手出 0,5,10 三种数字,每人则可喊 0,5,10,15,20

五种数字,当两人所出数字之和等于甲所喊数字时为甲胜,当两人所出数字之

和等于乙所喊数字时为乙胜,若甲喊 10,乙喊 15 时,则

( ).

A.甲胜的概率大

B.乙胜的概率大

C.甲、乙胜的概率一样大

D.不能确定

解析 两人共有 9 种出数的方法,其中和为 10 的方法有 3 种,和为 15 的方法

有 2 种,故甲胜的概率要大,应选 A.

答案 A

2.(2013·合肥二模)将码分别为 1,2,3,4 的四个小球放入一个袋中,这些小球仅码

不同,其余完全相同,甲从袋中摸出一个小球,其码为 a,放回后,乙从此口

袋中再摸出一个小球,其码为 b,则使不等式 a-2b+4<0 成立的事件发生的

概率为

( ).

1

3

1

1

A.8

B.16

C.4

D.2

解析 由题意知(a,b)的所有可能结果有 4×4=16 个.其中满足 a-2b+4<0

的有(1,3),(1,4),(2,4),(3,4),共 4 个,所以所求概率为14.

答案 C

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.某同学同时掷两颗骰子,得到点数分别为 a,b,则双曲线ax22-by22=1 的离心率

e> 5的概率是________.

解析 e=

1+ba22> 5,∴b>2a,符合 b>2a 的情况有:当 a=1 时,b=3,4,5,6

四种情况;当 a=2 时,b=5,6 两种情况,总共有 6 种情况.则所求概率为366=

1 6.

答案

1 6

4.(2012·上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两

个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简

分数表示).

解析 根据条件求出基本事件的个数,再利用古典概型的概率计算公式求

解.因为每人都从三个项目中选择两个,有(C32)3 种选法,其中“有且仅有两人 选择的项目完全相同”的基本事件有 C23C13C12个,故所求概率为C?23CC3213?C3 12=23.

答案

2 3

三、解答题(共 25 分)

5.(12 分)(2012·枣庄二模)袋内装有 6 个球,这些球依次被编为 1,2,3,…,6,设

编为 n 的球重 n2-6n+12(单位:克),这些球等可能地从袋里取出(不受重量、

编的影响).

(1)从袋中任意取出一个球,求其重量大于其编的概率;

(2)如果不放回的任意取出 2 个球,求它们重量相等的概率.

解 (1)若编为 n 的球的重量大于其编.

则 n2-6n+12>n,即 n2-7n+12>0.

解得 n<3 或 n>4.

∴n=1,2,5,6.∴从袋中任意取出一个球,其重量大于其编的概率 P=46=23.

(2)不放回的任意取出 2 个球,这两个球编的所有可能情形共有 C26=15 种. 设编分别为 m 与 n(m,n∈{1,2,3,4,5,6},且 m≠n)球的重量相等,则有 m2-6m

+12=n2-6n+12,即有(m-n)(m+n-6)=0.

∴m=n(舍去)或 m+n=6.

满足 m+n=6 的情形为(1,5),(2,4),共 2 种情形.

由古典概型,所求事件的概率为125.

6.某省实验中学共有特级教师 10 名,其中男性 6 名,女性 4 名,现在要从中抽 调 4 名特级教师担任青年教师培训班的指导教师,由于工作需要,其中男教师 甲和女教师乙不能同时被抽调. (1)求抽调的 4 名教师中含有女教师丙,且 4 名教师中恰有 2 名男教师、2 名女 教师的概率; (2)若抽到的女教师的人数为 ξ,求 P(ξ≤2). 解 由于男教师甲和女教师乙不能同时被抽调,所以可分以下两种情况: ①若甲和乙都不被抽调,有 C48种方法; ②若甲和乙中只有一人被抽调,有 C12C38种方法,故从 10 名教师中抽调 4 人, 且甲和乙不同时被抽调的方法总数为 C48+C12C38=70+112=182.这就是基本事 件总数. (1)记事件“抽调的 4 名教师中含有女教师丙,且恰有 2 名男教师,2 名女教师” 为 A,因为含有女教师丙,所以再从女教师中抽取一人,若抽到的是女教师乙, 则男教师甲不能被抽取,抽调方法数是 C25;若女教师中抽到的不是乙,则女 教师的抽取方法有 C12种,男教师的抽取方法有 C26种,抽调的方法数是 C12C26. 故随机事件“抽调的 4 名教师中含有女教师丙,且 4 名教师中恰有 2 名男教师、 2 名女教师”含有的基本事件的个数是 C25+C12C26=40. 根据古典概型概率的计算公式得 P(A)=14802=2901. (2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4,所以 P(ξ≤2)=1-P(ξ>2)=1-P(ξ=3)-P(ξ=4), 若 ξ=3,则选出的 4 人中,可以含有女教师乙,这时取法为 C23C15种,也可以 不含女教师乙,这时有 C33C16种,故 P(ξ=3)=C23C151+82C33C16=12812=236; 若 ξ=4,则选出的 4 名教师全是女教师,必含有乙,有 C44种方法,故 P(ξ=4) =1C8442=1182,于是 P(ξ≤2)=1-12812-1182=116802=8901.
特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设 计·高考总复习》光盘中内容.


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