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2019-2020学年度最新高中数学第1章坐标系三简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4-优质PPT课件_图文

2019-2020学年度最新高中数学第1章坐标系三简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4-优质PPT课件_图文

三 简单曲线的极坐标方程 考纲定位 重难突破 1.了解极坐标方程的意义. 2.掌握几种常见的圆及直线的极 重点:理解直线和圆的极 坐标方程. 坐标方程的推导和应用. 3.掌握求曲线极坐标方程的方法, 难点:能够运用直线和圆 能够根据极坐标方程,解决有关的 的极坐标方程解决问题. 数学问题. 01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升 课时作业 [自主梳理] 1.曲线的极坐标方程 曲线 C 的极坐标方程:一般地,在极坐标系中,如果平面曲线 C 上任意一点的极 坐标中 至少有一个方程 f(ρ,θ)=0 ,并且坐标适合方程 f(ρ,θ)=0 的点 都在曲 线 C 上,那么方程 f(ρ,θ)=0 叫作曲线 C 的极坐标方程. 2.圆的极坐标方程 (1)圆心在 C(a,0)(a>0),半径为 a 的圆的极坐标方程为 ρ=2acos θ . (2)圆心在极点,半径为 r 的圆的极坐标方程为 ρ=r. (3)圆心在点???a,π2???处且过极点的圆的方程为 ρ=2asin θ (0≤θ<π). 3.直线的极坐标方程 (1)若直线经过点 M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为 α,则直线 l 的极坐标方程为: _ρ__si_n_(_θ_-__α_)_=__ρ_0_si_n_(_θ_0_-__α_)__. (2)当直线 l 过极点,即 ρ0=0 时,l 的方程为: θ=α . (3)当直线 l 过点 M(a,0)且垂直于极轴时,l 的方程为:ρcos θ=a . (4)当直线 l 过点 M???b,π2???且平行于极轴时,l 的方程为: ρsin θ=b . [双基自测] 1.在极坐标系中,与点???3,-π3???关于极轴所在直线对称的点的极坐标是( ) A.???3,-23π??? B.???3,π3 ??? C.???3,43π??? D.???3,56π??? 解析:由题知???3,-π3???相当于极轴绕极点顺时针旋转π3,则点???3,-π3???关于极轴所在 直线对称的点相当于极轴绕极点逆时针旋转π3,极径都是 3,故选 B. 答案:B 2.圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为( ) A.ρ=1 B.ρ=cos θ C.ρ=2cos θ D.ρ=2sin θ 解析:经过极点 O 且半径为 a 的圆的极坐标方程为 ρ=2acos θ,因圆心在(1,0), 所以半径为 1,所以极坐标方程为 ρ=2cos θ,故选 C. 答案:C 3.过极点且倾斜角为π3的直线的极坐标方程可以为( ) A.θ=23π B.θ=π3,ρ≥0 C.θ=43π,ρ≥0 D.θ=π3和 θ=43π,ρ≥0 解析:直角坐标系中倾斜角为π3的直线对应极坐标系中 θ=π3和 θ=43π,ρ≥0 两条射 线,故选 D. 答案:D 4.极坐标方程 ρ=2cos θ 表示的曲线所围成的面积为________. 解析:由 ρ=2cos θ=2×1×cos θ 知,曲线表示圆,且圆的半径 r 为 1,所以面 积 S=πr2=π. 答案:π 探究一 圆的极坐标方程 [例 1] 求圆心在 A???2,32π???,并且过极点的圆的极坐标方程,并把它化为直角坐标方程. [解析] 如图,设 M(ρ,θ)为圆上除 O,B 外的任意一点,连接 OM,MB, 则有|OB|=4,|OM|=ρ, ∠MOB=???θ-32π???,∠BMO=π2, 从而△BOM 为直角三角形, 所以有|OM|=|OB|cos∠MOB, 即 ρ=4cos???θ-32π???=-4sin θ.因为点 O(0,0),B???4,32π???也适合此方程,故所求圆的 极坐标方程为 ρ=-4sin θ.化为直角坐标方程为 x2+y2+4y=0. 1.在求曲线的极坐标方程时,关键是找出曲线上的点满足的几何条件,将它用 坐标表示,然后化简,最后求出 ρ 与 θ 的函数关系,即为要求的极坐标方程. 2.几种特殊情形下的圆的极坐标方程 当圆心在极轴上即 θ0=0 时,方程为 r2=ρ20+ρ2-2ρρ0cosθ,若再有 ρ0=r,则其 方程为 ρ=2ρ0cos θ=2rcos θ,若 ρ0=r,θ0≠0,则方程为 ρ=2rcos(θ-θ0),这 几个方程经常用来判断图形的形状和位置. 1.在极坐标系中,求: (1)圆心在极点,半径为 2 的圆的极坐标方程; (2)圆心为 C(2,π),半径为 2 的圆的极坐标方程. 解析:(1)设所求圆上任意一点 M(ρ,θ),结合图(1),得|OM|=2,∴ρ=2,0≤θ<2π. (2)设所求圆上任意一点 M(ρ,θ),结合图(2), 在 Rt△OAM 中,∠OMA=π2,∠AOM=π-θ,|OA|=4. ∵cos∠AOM=||OOMA||, ∴|OM|=|OA|·cos∠AOM, 即 ρ=4cos(π-θ), 故 ρ=-4cos θ 为所求. 探究二 直线的极坐标方程 [例 2] 求下列直线的极坐标方程. (1)过点 A???2,π4???且平行于极轴的直线 l; (2)过点 A???3,π3???且倾斜角为34π的直线 l. [解析] (1)如图所示,在直线 l 上取不同于点 A 的任意一点 M(ρ,θ), ∵A???2,π4???, ∴|MH|=2sinπ4= 2, 在 Rt△OMH 中,|MH|=|OM|sin θ, 即 ρsin θ= 2, 经检验点 A 的坐标(2,π4)适合上述方程, ∴过 A???2,π4???且平行于极轴的直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ= 2. (2)如图所示,在直线 l 上取不同于点 A 的任意一点 M(ρ,θ), ∵A(3,π3), ∴|OA|=3,∠AOB=π3, 由已知∠MBx=34π, ∴∠OAB=34π-π3=51π2, ∴∠OAM=π-51π2=71π2. 又∠

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