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湖南省宁远县第一中学等三校2017_2018学年高二数学上学期期中联考试题文

湖南省宁远县第一中学等三校2017_2018学年高二数学上学期期中联考试题文

2017 年下期永州四中、祁阳一中、宁远一中高二期中联考
文科数学
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.)
1.为了解 1 000 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本, 则分段的间隔为( )
A.50 B.40 C.25 D.20 2.某品牌空调在元旦期间举行促销活动,如图所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销 售量情况(单位:台),则销售量的中位数是( )

A.13

B.14 C.15 D.16

3.已知变量 x,y 呈线性相关关系,线性回归方程为 y=2x+0.5,则变量 x,y 是( )

A.线性正相关关系 B.由回归方程无法判断其正负相关

C.线性负相关关系 D.不存在线性相关关系 4. 设 m∈R,命题“若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆否命题是( ) A.若方程 x2+x-m=0 有实根,则 m>0 B.若方程 x2+x-m=0 有实根,则 m≤0 C.若方程 x2+x-m=0 没有实根,则 m>0 D.若方程 x2+x-m=0 没有实根,则 m≤0

5.下左边是一个算法的程序框图,当输入的 x 值为 3 时,输出 y 的结果恰好是13,则

处的关系式是( )

I=1 WHILE I<8 S=2I+3 I=I+2 WEND PRINT S END
- 1 - / 12

A.y=x3

B.y=3-x

C.y=3x

1
x D.y= 3

6.上右图的程序语句输出的结果 S 为( )

A.17

B.19

C.21

D.23

7. 已知命题 p :“ m ? ?1”,命题:“直线 x ? y ? 0 与直线 x ? m2 y ? 0 互相垂直”,

则命题 p 是命题的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要

8.已知命题 p:?x ? R, x2 ? x ?1 ? 0 ;命题 q:若 a2 ? b2 ,则 a<b.下列命题为真命题的是

()

A. p ? q

B. p ? ?q

C. ?p ? q

D. ?p ? ?q

9. 若双曲线 C:xa22-yb22=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为π6 ,则双曲线 C 的离心率

为( )

A.2 或 3

B.2 3 3

C.2 或2 3 3

D.2

10.从一批产品(其中正品、次品都多于 2 件)中任取 2 件,观察正品件数和次品件数,

下列事件是互斥事件的是( )

①恰好有 1 件次品和恰好有两件次品; ②至少有 1 件次品和全是次品;

③至少有 1 件正品和至少有 1 件次品; ④至少 1 件次品和全是正品.

A.①②

B.①③

C.③④

D.①④

11.在区间???-π2 ,π2 ???上随机取一个数 x,cos x 的值介于 0 到12之间的概率为(

)

1

2

1

2

A.3

B.π

C.2

D.3

12.在棱长为 2 的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,点 O 为底面 ABCD 的中心,在正方体 ABCD?A1B1C1D1

内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为( )

A.π12

B.1-1π2 C.π6

D.1-π6

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分)
13.将十进制数 15 转换成二进制数所得结果为______________. 14.样本中共有五个个体,其值分别为 0,1,2,3,m.若该样本的平均值为 1,则其样 本方差=________.

- 2 - / 12

15.已知抛物线 y2=4x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 B(3,2),则|PB|+
|PF|的最小值为________. x2 y2
16.已知 F1、F2 是椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上的一点,且 PF1 ⊥PF2,若△PF1F2 的面积为 9,则 b=________.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。)
17.(10 分)已知 p:???1-x-3 1???≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且 p 是 q 的充分而 不必要条件,求实数 m 的取值范围.
18.(12 分)某工厂有工人 1 000 名,其中 250 名工人参加过短期培训(称为 A 类工人), 另外 750 名工人参加过长期培训(称为 B 类工人).现用分层抽样方法(按 A 类,B 类分二 层)从该工厂的工人中共抽查 100 名工人,调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的 零件数). (1)A 类工人中和 B 类工人中各抽查多少工人? (2)从 A 类工人中的抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2. 表1

生产能 力分组

[100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150)

人数

4

8

x

5

3

表2

生产能 力分组

[110,120)

[120,130)

[130,140)

[140,150)

人数

6

y

36

18

①先确定 x,y,再补全下列频率分布直方图.就生产能力而言,A 类工人中个体间的差

异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方图直接回

答结论)

图 1 A 类工人生产能力的频率分布直方图 - 3 - / 12

图 2 B 类工人生产能力的频率分布直方图

②分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力的平

均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).

19.(12 分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与

相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据.

x3

456

y 2.5 3 4 4.5

^

^

^

(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的回归直线方程y =bx+a ;

(2)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出回归直线方

程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

(参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) 参考公式

? ? ?

n

n

?

(xi ? x)(yi ? y)

xi yi ? nx y

? ??b ? i?1
? ?

n
(xi ? x)2

? i?1

,

n

? xi2 ? nx 2

?

i ?1

i ?1

??a ? y ? bx.

20. (12 分)先后 2 次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为 a,b.

(1)求直线 ax+by+5=0 与圆 x2+y2=1 相切的概率;

(2)在区间[0,6]内任取 2 个实数 x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2 恒成立”的概率.

21.(12 分)已知圆 C 过定点 F(1,0),且与直线 x=-1 相切,圆心 C 的轨迹为 E,曲线 E 与直线 l:y=k(x-1)(k∈R)相交于 A,B 两点.
(1)求曲线 E 的方程;

(2)当△OAB 的面积等于 2 2 时,求 k 的值. 22.(12 分)已知椭圆 C:xa22+yb22=1(a>b>0)的离心率为12,椭圆的短轴端点与双曲线y22-x2 =1 的焦点重合,过点 P(4,0)且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点.

- 4 - / 12

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求O→A·O→B的取值范围.
- 5 - / 12

2017 年下期永州四中、祁阳一中宁远一中高二期中联考文科数学
参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.)
1.为了解 1 000 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本, 则分段的间隔为( C )
A.50 B.40 C.25 D.20 2.某品牌空调在元旦期间举行促销活动,如图所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销 售量情况(单位:台),则销售量的中位数是( C )

A.13

B.14 C.15 D.16

3.已知变量 x,y 呈线性相关关系,线性回归方程为 y=2x+0.5,则变量 x,y 是( A )

A.线性正相关关系 B.由回归方程无法判断其正负相关

C.线性负相关关系 D.不存在线性相关关系 4. 设 m∈R,命题“若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆否命题是( D ) A.若方程 x2+x-m=0 有实根,则 m>0 B.若方程 x2+x-m=0 有实根,则 m≤0 C.若方程 x2+x-m=0 没有实根,则 m>0 D.若方程 x2+x-m=0 没有实根,则 m≤0

5.下左边是一个算法的程序框图,当输入的 x 值为 3 时,输出 y 的结果恰好是13,则

处的关系式是( C)

B.y=x3

B.y=3-x

I=1 WHILE I<8 S=2I+3 I=I+2 WEND PRINT S END

C.y=3x

1
x D.y= 3

- 6 - / 12

6.上右图的程序语句输出的结果 S 为( A)

A.17

B.19

C.21

D.23

7. 已知命题 p :“ m ? ?1”,命题:“直线 x ? y ? 0 与直线 x ? m2 y ? 0 互相垂直”,

则命题 p 是命题的( A )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要

8.已知命题 p:?x ? R, x2 ? x ?1 ? 0 ;命题 q:若 a2 ? b2 ,则 a<b.下列命题为真命题的是

( B)

A. p ? q

B. p ? ?q

C. ?p ? q

D. ?p ? ?q

9. 若双曲线 C:xa22-yb22=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为π6 ,则双曲线 C 的离心率

为( B )

A.2 或 3

B.2 3 3

C.2 或2 3 3

D.2

10.从一批产品(其中正品、次品都多于 2 件)中任取 2 件,观察正品件数和次品件数,

下列事件是互斥事件的是( D )

①恰好有 1 件次品和恰好有两件次品; ②至少有 1 件次品和全是次品;

③至少有 1 件正品和至少有 1 件次品; ④至少 1 件次品和全是正品.

A.①②

B.①③

C.③④

D.①④

11.在区间???-π2 ,π2 ???上随机取一个数 x,cos x 的值介于 0 到12之间的概率为( A )

1

2

1

2

A.3

B.π

C.2

D.3

12.在棱长为 2 的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,点 O 为底面 ABCD 的中心,在正方体 ABCD?A1B1C1D1

内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为( )

A.π12

B.1-1π2 C.π6

D.1-π6

解析:选 B.点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球心,以 1 为半径的半球外.记“点

P

到点

O

的距离大于

1”为事件

M,则

23-12×4π3

P(M)=

23

×13 =1-π12.

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分)
13.将十进制数 15 转换成二进制数所得结果为______________答案 1111(2) 14.样本中共有五个个体,其值分别为 0,1,2,3,m.若该样本的平均值为 1,则其样

- 7 - / 12

本方差=________.2

15.已知抛物线 y2=4x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 B(3,2),则|PB|+

|PF|的最小值为________.4 x2 y2
16.已知 F1、F2 是椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上的一点,且 PF1

⊥PF2,若△PF1F2 的面积为 9,则 b=________.3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。)
17.(10 分)已知 p:???1-x-3 1???≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且 p 是 q 的充分而 不必要条件,求实数 m 的取值范围.
解:由 q:x2-2x+1-m2≤0,得 1-m≤x≤1+m,

所以 q:Q={x|1-m≤x≤1+m},

2分

由???1-x-3 1???≤2,解得-2≤x≤10,

所以 p:P={x|-2≤x≤10},

4分

因为 p 是 q 的充分而不必要条件,

所以 P

??m>0,

??m>0,

Q,所以 ?1-m<-2,或?1-m≤-2,

??1+m≥10

??1+m>10,

即 m≥9 或 m>9.所以 实数 m 的取值范围是 m≥9.

8分 10 分

18.(12 分)某工厂有工人 1 000 名,其中 250 名工人参加过短期培训(称为 A 类工人),

另外 750 名工人参加过长期培训(称为 B 类工人).现用分层抽样方法(按 A 类,B 类分二

层)从该工厂的工人中共抽查 100 名工人,调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的

零件数).

(1)A 类工人中和 B 类工人中各抽查多少工人?

(2)从 A 类工人中的抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2.

表1

生产能 [100,110 [110,120

[120,130) [130,140) [140,150)

力分组 )

)

人数 表2
生产能 力分组 人数

4
[110,120) 6

8

x

5

[120,130) y

[130,140) 36

3
[140,150) 18

- 8 - / 12

①先确定 x,y,再补全下列频率分布直方图.就生产能力而言,A 类工人中个体间的差

异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方图直接回

答结论)

②分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力的平

均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).

解 (1)A 类工人中和 B 类工人中分别抽查 25 名和 75 名.

2分

(2)①由 4+8+x+5+3=25,得 x=5,6+y+36+18=75,得 y=15.

频率分布直方图如下:

图 1 A 类工人生产能力的频率分布直方图

4分

图 2 B 类工人生产能力的频率分布直方图

6分

从直方图可以判断:B 类工人中个体间的差异程度更小. 7 分



x

4

8

5

5

3

A=25×105+25×115+25×125+25×135+25×145=123,9



x

6

15

36

18

B=75×115+75×125+75×135+75×145=133.8,

11 分

x =12050×123+17050×133.8=131.1.

A 类工人生产能力的平均数,B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数

的估计值分别为 123,133.8 和 131.1.

12 分

19.(12 分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与

相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据.

x3

456

- 9 - / 12

y 2.5 3 4 4.5

^

^

^

(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的回归直线方程y =bx+a ;

(2)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出回归直线方

程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

(参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)

? ? ?

n

n

?

(xi ? x)(yi ? y)

xi yi ? nx y

? ??b ? i?1
? ?

n
(xi ? x)2

? i?1

,

n

? xi2 ? nx 2

(1)

?

i ?1

i ?1

参考公式 ??a ? y ? bx.

解析:(1) x =3+4+4 5+6=4.5, y =2.5+3+4 4+4.5=3.5, 2 分

4
i∑=1xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5,

4
i∑=1x2i=32+42+52+62=86,

4

∴b^ =i∑=1xi4yi-4 x i∑=1x2i-4 x

2

y

66.5-4×3.5×4.5 = 86-4×4.52 =0.7,

6分

^

^

a= y -b x =3.5-0.7×4.5=0.35.

^
∴y =0.7x+0.35.

^
∴所求的回归直线方程为y =0.7x+0.35. 8 分

(2)现在生产 100 吨甲产品用煤

^
y =0.7×100+0.35=70.35,

10 分

∴90-70.35=19.65.

∴生产能耗比技改前降低约 19.65 吨标准煤.

12 分

20. (12 分)先后 2 次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为 a,b.

(1)求直线 ax+by+5=0 与圆 x2+y2=1 相切的概率;

(2)在区间[0,6]内任取 2 个实数 x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2 恒成立”的概率.

解:(1)先后 2 次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为 a,b 包含的基本事件有:(1,1),

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),…,(6,5),(6,6),共 36 个. 2 分

∵直线 ax+by+5=0 与圆 x2+y2=1 相切,

∴ a25+b2=1,整理得:a2+b2=25.

4分

- 10 - / 12

由于 a,b∈{1,2,3,4,5,6},∴满足条件的情况只有 a=3,b=4,或 a=4,b=3 两种情

况.∴直线

ax+by+5=0

与圆

x2+y2=1

21 相切的概率是36=18.

6分

(2)记“x2+y2>(a-b)2 恒成立”为事件 B,

则事件 B 等价于“x2+y2>25 恒成立”,

8分

(x,y)可以看成平面中的点的坐标,则全部结果所构成的区域为 Ω ={(x,y)|0≤x

≤6,0≤y≤6,x,y∈R},

而事件 B 构成的区域为 B={(x,y)|x2+y2>25,(x,y)∈Ω }.

所以所求的概率为 P(B)=1-π4 .

12 分

21.(12 分)已知圆 C 过定点 F(1,0),且与直线 x=-1 相切,圆心 C 的轨迹为 E,曲线 E 与直线 l:y=k(x-1)(k∈R)相交于 A,B 两点.
(1)求曲线 E 的方程;

(2)当△OAB 的面积等于 2 2 时,求 k 的值.

解:(1)由题意,点 C 到定点 F(1,0)和直线 x=-1 的距离相等,

故点 C 的轨迹 E 的方程为 y2=4x.

4分

y (2)由方程组

?? ?

2
? 4x 消去 x 后,

?? y ? k(x ?1)

整理得 ky2 -4 y-4k=0.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),

由根与系数的关系有 y1+y2= 4 ,y1y2=-4.

6分

k

设直线

l



x

轴交于点

F,所以

S S = △OAB

△OAF

+S△OBF

=12|OF ||y1|+12|OF||y2|,

k =12|OF ||y1-y2|=12×1×

(y1+y2)2-4y1y2=2

1?

1
2

10 分

k 因为 S△OAB=2

2 ,所以 2

1?

1 =2 2

2 ,解得 k=±1.

12 分

22.(12 分)已知椭圆 C:xa22+yb22=1(a>b>0)的离心率为12,椭圆的短轴端点与双曲线y22-x2

=1 的焦点重合,过点 P(4,0)且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点.

(1)求椭圆 C 的方程;

- 11 - / 12

(2)求O→A·O→B的取值范围.

解:(1)由题意知 e=ca=12,

所以 e2=ca22=a2-a2 b2=14,所以 a2=43b2.

2分

因为双曲线y22-x2=1 的焦点坐标为(0,± 3),

所以 b= 3,所以 a2=4,

4分

所以椭圆

C

x2 y2 的方程为 4 + 3 =1.

6分

(2)当直线 l 的倾斜角为 0°时,不妨令 A(-2,0),B(2,0),则O→A·O→B=-4, 7 分

当直线 l 的倾斜角不为 0°时,设其方程为 x=my+4,

由?????x3=x2+my4+y24=,12? 得(3m2+4)y2+24my+36=0,

由 Δ >0? (24m)2-4×(3m2+4)×36>0? m2>4,

设 A(my1+4,y1),B(my2+4,y2).

因为 y1+y2=-3m224+m 4,y1y2=3m32+6 4,

9分

所以→OA·→OB=(my1+4)(my2+4)+y1y2=m2y1y2+4m(y1+y2)+16+y1y2=3m121+6 4-4,11 分

因为 m2>4,所以O→A·O→B∈???-4,143???. 综上所述,O→A·O→B的取值范围为???-4,143???.

12 分

- 12 - / 12


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