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黑龙江省绥棱一中2015届高三第一次模拟考试 数学文

黑龙江省绥棱一中2015届高三第一次模拟考试 数学文


绥棱一中 2015 届高三第一次模拟考试 数学文
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则 CU M =( A、U B、{2,4,6} C、{3,5,6} ) C. 第三象限 D. 第四象限 ) )

D、{1,3,5}

1? i 2.在复平面内,复数 对应的点位于( i
A.第一象限 B. 第二象限

3.若向量 a =(1,1), b =(2,5), c =(3,x)满足条件(8 a — b )· c =30,则 x=( A.6 4.给定下列两个命题: ①“ p ? q ”为真是“ ?p ”为假的必要不充分条件; B.5 C. 4 D.3

②“ ?x ? R ,使 sin x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R ,使 sin x ? 0 ”.其中说法正确的是( A. ①真②假
x



B.①假②真

C. ①和②都为假 )

D.①和②都为真

5.设 f (x) ? e ? x ? 4 ,则函数 f ( x ) 的零点位于区间( A. ?- 1,0 ? 6.已知 sin ? ? cos ? ? B. ?2,3? C. ?1,2? )

D. ?0,1?

2 5? ,则 cos(2? ? ) 的值为( 3 2
B. ?

A.

7 9

7 9

C. ?

4 2 9

D.

4 2 9
2

7.已知 f(x)在 R 上是奇函数, 且满足 f(x+4)=f(x), 当 x∈(0,2)时, f(x)=2x , 则 f(7)等于( A.-2 B.2 C.-98 D.98 )

)

8.已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6 , a5 ? 15 ,若 bn ? a2 n ,则数列 ?bn ? 的前 5 项和等于( A.30 B.45 C.90 D.186

9.△ ABC 的内角 A , B , C 的对边为 a , b , c , 已知 b ? 2 , B ? ( ) B. 3 ? 1 C. 2 3 ? 2 )
·1 ·

?
6

,C ?

?
4

, 则△ ABC 的面积为

A. 2 3 ? 2

D. 3 ? 1

10.函数 f ( x) ? ln x ? 1 的图像大致是 ( y O x y O

y

y

x

O

x

O

x

11. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) (其中 A ? 0,| ? |? 图像,则只要将 f ( x) 的图像 A.向右平移 ( )

?
2

)的图象如图所示,为了得到 g ( x) ? sin 2 x 的

? 个单位长度 6

B.向右平移

? 个单位长度 12

C.向左平移

? 个单位长度 6

D.向左平移

? 个单位长度 12

? x) 12.已知函数 f ( x) 的定义域为 R, 对任意的 x ? R, 有f ( ? 3, 且f (?1) ? 3, 则 f ( x) ? 3x ? 6 的解集
为( ) B. (-1, ? ) C. (- ? ,-1) D. (- ? ,+ ? )

A. (-1,1)

二、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 13.曲线 y=x3-2x+3 在 x=1 处的切线方程为 . . .

14.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若 am=a1a2a3a4a5,则 m= 15.设 a ? log3 2 , b ? log5 2 , c ? log2 3 ,则 a, b, c 之间的大小关系为 16.已知函数 f ( x) ? cos x sin x ,给出下列四个结论: ①若 f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ,则 x1 ? ? x2 ; ③ f ( x) 在区间 [ ? ② f ( x) 的最小正周期是 2? ; ④ f ( x) 的图象关于直线 x ? .

? ?

, ] 上是增函数; 4 4

3? 对称. 4

其中正确的结论是

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分)

x 轴的正半轴为极轴, 17. (10 分)以直角坐标系的原点 O 为极点, 且两个坐标系取相等的单位长度. 已
知直线 L 经过点 P(1,1),倾斜角 ? ? (I)写出直线 L 的参数方程; (II)设 L 与圆 ? ? 2 相交与两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积.

?
6



·2 ·

18.(12 分)已知函数 f ( x) ? sin 2x ? 2 3 sin x ? 3 ? 1 .
2

(1)求 f ( x) 的最小正周期及其单调增区间; (2)当 x ? [ ?

? ?

, ] 时,求 f ( x) 的值域. 6 6

19.(12 分)已知公差不为零的等差数列 {an } 的前 10 项和 S10 ? 55 ,且 a2,a4,a8 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? an ? 2n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

20.(12 分)已知 | a |? 1 , | b |? 2 , a 与 b 的夹角为 60 , (1)求 a 在 b 方向上的投影; (2) c ? ? a ? b 与 d ? a ? 2b 的夹角为锐角,求 ? 的取值范围。

·3 ·

21.(12 分)已知 a , b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 。 (1)求 A 的大小; (2)若 a ? 7 ,求 ?ABC 的周长的取值范围.

22、 (12 分)设函数 f ( x) ? ax2 ? ax ? ln x . (1)若 a ? 1 ,求 f ( x) 的单调区间; (2) 若当 x ? 1 时恒有 f ( x) ? 0 ,求实数 a 的取值范围.

高三月考数学试题答案(文)
1、C 2、D 3、C 4、D 5、C 6、A 7、A 8、C 9、B 10、B 11、A 14、11 15、 c ? a ? b 16、③④ 12、C

13、x-y+1=0

17. (10 分) 【解析】

? 3 x ? 1? t, ? ? 2 (t是参数) ? ? y ? 1 ? 1 t; ? 2 (I)直线的参数方程是 ?
(II)因为点 A,B 都在直线 l 上,所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2,则点 A,B 的坐标分别为

A(1 ?

3 1 3 1 t1 ,1 ? t1 ), B(1 ? t 2 ,1 ? t 2 ) 2 2 2 2 .

2 2 2 2 圆 ? ? 2 化为直角坐标系的方程 x ? y ? 4 . 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x ? y ? 4 整理

得到

t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0



因为 t1 和 t2 是方程①的解,从而 t1t2=-2.

所以|PA|·|PB|= |t1t2|=|-2|=2. 18、 (12 分) 【解析】(1). f ( x) ? sin 2x ? 3(1 ? 2 sin x) ? 1
2

·4 ·

? 2? ?? . ? sin 2x ? 3 cos 2x ? 1 ? 2 sin( 2 x ? ) ? 1 .函数 f ( x) 的最小正周期 T ? 3 2 ? ? ? 由正弦函数的性质知,当 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , 2 3 2 5? ? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 时,函数 y ? sin( 2 x ? ) 为单调增函数, 即 k? ? 所以函数 f ( x) 的单 3 12 12 5? ? , k? ? ] , (k ? Z ) . 调增区间为 [ k? ? 12 12 ? ? ? 2? ? ] ,所以 sin( 2 x ? ) ? [0,1] , (2)因为 x ? [ ? , ] ,所以 2 x ? ? [0, 3 6 6 3 3 ? 所以 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ) ? 1? [1,3] ,所以 f ( x) 的值域为[1,3]. 3
19、 (12 分) 【解析】(Ⅰ) 设等差数列 {an } 的公差为 d,由已知得:

10 ? 9d ? ? 55 ?2a1 ? 9d ? 11 ?10a1 ? ?? 2 2 ? ?d ? a1 d ? 0 ?(a ? 3d ) 2 ? (a ? d )(a ? 7d ) 1 1 ? 1
因为

d ? 0 所以 d ? a1

所以 2a1 ? 9a1 ? 11,所以 a1 ? 1, d ? 1 所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? n

(Ⅱ).bn ? n ? 2n ,? Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? (2 ? 2 ? 2 ?
2 3

? bn ? 2n )

(1 ? n)n 2(1 ? 2n ) ? 2 1? 2 2 n ?n ? 2n ?1 ? ?2 2
20 . ( 12 分 ) 【 解 析 】 (1) ;(2)(?3, )

1 2

1 2

1 ( , ??) 解 析 : 解 : (1) a 在 b 方向上的投影为 2

1 1 ? ; (2)若 c ? ? a ? b 与 d ? a ? 2b 的夹角为锐角,则 c ? d ? 0 且两向量不 2 2 1 1 共线,得 ? a ? b ? a ? 2b ? 3? ? 9 ? 0 且 ? ? ,得 ? ? ?3且? ? . 2 2

a cos 60 = 1 ?

?

? ?

?

21. (12 分)解: (1)由正弦定理得:

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C

·5 ·

? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin(a ? C ) ? sin C ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? 30? ) ? ? A ? 30? ? 30? ? A ? 60?
(Ⅱ)由已知: b ? 0, c ? 0 , b+c>a=7 由余弦定理 49 ? b ? c ? 2bc cos
2 2

1 2

?
3

? (b ? c) 2 ? 3bc ? (b ? c)2 ? (b ? c)2 ? (b ? c)2

3 4

1 4

(当且仅当 b ? c 时等号成立) ∴(b+c) ≤4×49, ∴7<b+c≤14 从而 ?ABC 的周长的取值范围是 (14,21] 22、 (12 分)解: (1) a ? 1 时, f ( x) ? x ? x ? ln x,
2
2

又 b+c>7,

f '( x) ? 2 x ? 1 ?

1 2 x 2 ? x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? ? , x x x

x ? 0,? 2 x ? 1 ? 0, 令 f '( x) ? 0, 得 x ? (1, ??); 令 f '( x) ? 0, 得 x ? (0,1);

故 f ( x) 的单调递增区间为 (1, ??); 单调递减区间为 (0,1).

(2) f '( x) ? 2ax ? a ?

1 2ax 2 ? ax ? 1 ? x x

( x ? 1) ,

2 2 令 g ( x) ? 2ax ? ax ?1 ? a(2 x ? x) ?1 ( x ? 1) ,

2 ①当 a ? 0 时,有 g ( x) ? 2ax ? ax ? 1在 [1, ??) 上单调递增,

? g ( x)min ? g (1) ? a ?1,
1) 当 a ? 1 时, g ( x)min ? g (1) ? a ? 1 ? 0, f ( x) 在 [1, ??) 上单调递增,

此时恒有 f ( x) ? f (1) ? 0 ,? a ? 1 满足题意;
·6 ·

2) 当 0 ? a ? 1 时 , g ( x)min ? g (1) ? a ? 1 ? 0, 故在 g ( x) 在 (1, ??) 上有且只有一个零点 ,设其为

x0

,则

x ? (1, x0 )

时,

g ( x) ? 0, f '( x) ? 0, f ( x) 在 ?1, x0 ? 上 单 调 递 减 , 此 时 有

f ( x) ? f (1) ? 0 ,? 0 ? a ? 1 不合题意;

②当 a ? 0 时,

x ? 1,? 2x2 ? x ? 1, g ( x) ? 0, 所以 f '( x) ? 0, f ( x) 在 (1, ??) 上单调递减,此时恒

有 f ( x) ? f (1) ? 0 ,? a ? 0 不合题意;

综上可知, a 的取值范围为 [1, ??)

·7 ·


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