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新课程高中数学教学设计例说

新课程高中数学教学设计例说


数学教学设计的内涵及案例分析

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? 引言 ? 数学教学设计的内涵
? 数学教学设计的案例分析
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引 言
? 数学教学实践中的一些现象: (1)有些教师前20分钟就把课前准备的内容讲 完了,剩下的时间不知道该做些什么。 (2)有些教师的板书比较凌乱,在课堂教学进 程中,想写在哪里就写在哪里,随意性太强, 板书缺乏美感和整体感。 (3)有些教师的课题引入、课堂提问等教学环 节单一,难以引起学生学习的积极性。
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(4)有些教师在讲解数学概念、数学定理、 数学题目时,偏重“照字面意义讲解”, 过多强调机械记忆,学生只能达到表面理解。 (5)有些教师仅copy一些优秀教案,缺乏结 合学生的实际情况来进行有关的思考,教学 效果并不太理想。 …… 以上这些现象导致教学效率不高、教学 效果不佳。这些现象的出现有很多原因,其 中一条重要的原因就是教师缺乏教学设计的 方法和思想。
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一、数学教学设计的内涵
1.什么是数学教学设计 2.为什么要进行数学教学设计 3.数学教学设计的基本要素 4.数学教学设计中教师所需要具 备的几个意识 5.数学教学设计的前期分析
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1.什么是数学教学设计
教学设计是指教师为达到一定 的教学目标,对教学活动进行的系 统规划、安排与决策。

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2.为什么要进行数学教学设计 (1)教学设计依据教学原理,遵循 教学过程的基本规律,制定教学目 标,以解决教什么的问题。 (2)教学设计对怎样才能达到教学 目标进行创造性的决策,以解决怎 么教的问题。 (3)教学设计把教学过程各要素看 成一个系统。分析教学问题和需求, 确立解决的程序纲要,使教学过程 最优化。
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(4)教学设计是提高学习者获得知识、 技能的效率和兴趣的技术过程,其功能 在于运用适宜的教学方法设计教学过程, 使之成为一种具有操作性的程序。

简而言之,教师进行教学设计的最终 目的是为了使学生更高效地学习,开发 学生的学习潜能,塑造学生的健全人格, 以促进学生的全面发展。
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3.数学教学设计的基本要素
数学教学 目标分析

数学教学 内容分析

形成教学 设计意图

数学教学 设计方案

数学教学 设计方案 的实施与 评价

学生情况 分析
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在进行数学教学设计时,需要格外注意以下 两个问题: (1)“预设”与“生成”的关系。教师在实施教 学之前需要进行教学设计,但在教学过程中又不 可拘泥于教学设计,防止被教学设计束缚了手脚, 一切应以学生为学习的主体,以教促学,对课堂 教学的各种变化进行综合把握,及时作出正确的 判断,采取有效的应对措施。这也是教学中的 “预设”与“生成”的关系。 (2)处理好“模仿”与“创新”的关系。“仿” 是“创”的必经之路,“创”是“仿”的目的所 在。 10

4.数学教学设计中教师所需要具备的 几个意识
对于教学设计而言,数学教师的观念更新意 识、问题意识、反思意识、创新意识显得尤其 重要。 这些意识是教师素质的重要组成部分,是形 成教育、教学能力的前提,是影响教师行为的 诱因,因而对教学设计有直接的制约作用。

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(1)观念更新意识 ? 所谓观念,指教育观念,即教师对教育本质 的认识和体悟。作为数学教师,其教育观念就 是对数学教育本质的认识和体悟。 ? 观念更新意识,指教师对自已所持的教育观 念有清晰的认识,对不断萌生和发展的新的教 育观念有敏锐的洞察力,进而产生更新自身旧 观念的经常性愿望和行为。 ? 数学教育观念分为数学观和教育观两个层面。 数学观是对数学学科本质的认识;教育观是对 学与教本质的认识。
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对数学本质的理解,历史上曾有许多不同的 观点,有学者将其梳理为15种学说:万物皆数说、 哲学说、符号说、科学说、工具说、逻辑说、创 新说、直觉说、集合说、结构说、模型说、活动 说、精神说、审美说、艺术说。 这些观点实际上是人们从不同侧面对数学作 出的解释,显然,这些对数学本质的不同看法会 对应不尽相同的教育理念。 如果一个教师注重数学的学科结构,他就会 自觉地把数学视为模式的科学;如果注重过程, 就会认为数学是直觉和逻辑的产物;如果注重社 会价值,又会把数学理解为是一种工具,等等。 这些个人的数学观反映在教学设计中,就会产生 不同的教学目标和价值取向。 13

从认识论的层面看,由把数学视为绝对真理的绝对 主义演化而成的静态数学观,与把数学视为相对真理 的可误主义演化而成的动态数学观对数学教育的影响 最大。 如果把数学看成绝对真理,看成是静态知识的堆砌, 那么教学的目的就是教师把这些知识原样地传授给学 生,教学设计就是一种“结果型”范式,教学评价则 以学生掌握的知识量作为评价指标。 如果认为数学真理不是绝对的,而是可误的,把 数学看作由问题、语言、命题、理论和观念组成的复 合体,是动态的知识发展系统,那么反映在教育上便 是一种实现人的发展的教育观,以培养学生的批判意 识和创造力为主要目的,其教学设计是一种“过程型” 的范式。 14

同样,不同的教学理论对教学的本质有不同 的解释,从而对应着不同的教学设计思想。 行为主义强调剌激与反应的联结,教学设 计就只关注教师的教学操作和学生学习结果的 操作。 认知主义以信息加工学说解释学习的本质, 教学设计就要涉及教师的教学操作、学习者的 特征、学习的信息加工过程、学习所获得的知 识类型以及学生学习结果的操作。 人本主义强调以人的发展为本,教学设计就 会更多地体现使学生达到自我实现的目的。 建构主义认为知识学习是学习者自我建构和 社会建构的结果,教学设计就会渗透着促进学 15 生知识建构的策略。

新观念的产生不是对旧观念的完全 扬弃,而是一种整合。事实上,每一 种观念都有自身合理的一面,因教学 内容不同,教学设计可以以不同的理 论作为基础。 因此,更确切地说,观念更新意识 要求教师有整合观念的意识、接受新 观念的意识、替代旧观念的意识。
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(2)问题意识 问题意识是指在人们的认识 活动中,活动主体对既有的知 识经验和一些难于解决的实际 问题或理论问题所产生的怀疑、 困惑、焦虑、探究的心理状态, 并在其驱动下,不断提出问题 和解决问题。
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在数学教学设计中,教师的问题意 识主要表现在两个方面, 其一,追溯问题产生的背景和缘由 的意识。 其二,不断提出新问题的意识。

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? 例

对于问题:已知a,b∈R,并且a<b。求证:

a?m a ? b?m b

? 现实背景:建筑学规定,民用建筑的采光度等 于窗户面积与地面面积之比,但窗户面积必须 小于地面面积。采光度越大说明采光条件越好, 问:当窗户与地面增加同样面积后,采光条件 是变好了,还是变坏了,为什么? ? 数学背景:请探究是否所有的矩形都相似。 ? 逻辑延伸问题:(1)若a,b∈R,且a>b。则 上述结论会变为什么形式?
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(3)反思意识 反思是立足于自我之外的批判地 考察自己的行动及情境的能力。 反思意识即教师自觉产生对自己 的活动目的、活动计划、活动策略、 活动过程及活动评价的反思欲望和信 念。 反思不是单纯的事后行为,还包 括事前和办事过程中的反思。
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在数学教学设计中, 首先,设计者要对教学目的进行反 思。 一个教学设计应反映出教学目的 的多维性。数学知识的建构、数学技 能的形成、数学能力的发展、数学思 想方法的渗透、数学精神的领悟、数 学知识产生过程的体验等,都是数学 教学的目的。
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第二,要对教学设计的理论基础进行反思。 在教学设计中,自己所持有的数学观是什么? 是以哪一种教育或心理学理论作为基础的?为 什么要这样做?等等。 第三,对教学程序的设计及教学策略的选择 的反思。反思知识展示的顺序是否合理;选择 的教学策略是否恰当;例题与习题的搭配是否 符合教学目的的要求;采用的媒体是否能真正 发挥辅助教学的功能;为什么要这样设计教学 程序?为什么要选择这样的教学策略?等等。 第四,教学实施后的反思。主要是对教学效 果评价的反思,如何改进教学设计的反思。 22

(4)创新意识 创新意识指教师的创新的 欲望和信念,其核心是自我批 判的意识,不受固有思维模式 的束缚,勇于立新。

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一般说来,教学设计中的创新主要包括: ①教学内容组织的创新。譬如,以不同的材 料作为“先行组织者”;对教材内容的解构与 重组;对概念、命题赋予不同的现实模型或不 同的数学模型;对例题、习题的改造与扩充等, 均是在原有基础上的创新。 ②教学模式构建的创新。根据不同的教学内 容合理地选择教学模式,在此基础上,更注意 综合一些教学模式,创建一些新的教学模式。 模式创新的最高境界,或许是一种不受模式的 约束,融有模式于无模式之中。 ③教学组织形式的创新。 ④教育技术的创新。表现为多媒体的合理组 24 合,课件编制更富创意等。

值得强调的是,教师的创新 意识不仅能体现在教学设计的 “外部产品”上,而且更重要 的在于这种榜样式的创新意识 能够渗透在教学实施的过程中, 给学生以潜移默化地熏陶,从 而达到培养学生创新意识的目 的。
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5.数学教学设计的前期分析 数学教学设计的前期分析可以从目 标分析、内容分析、学生分析3个方 面来进行。 (1)数学教学的目标分析 数学教学设计首先要进行目标设 计,即分析教什么?达到什么程度? 这是数学教学设计的核心问题之一。
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教学目标有不同的类型,也有 不同的要求。有些教师的教学之 所以效果不佳、达不到课程的要 求,最主要的原因是教学目标设 计出现了一些问题。比如目标内 涵不清楚;目标串位;目标层次 要求不清楚;目标空洞无物;目 标与内容不协调;目标与学生实 际不相符合。
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①数学教学目标的类型 数学教学目标的类型可以分为总体目标、具 体目标、内容目标和课堂教学目标四类。 《普通高中数学课程标准》明确指出了高中数 学课程的总体目标、具体目标和内容目标,这三 种目标是宏观目标,是远期目标。至于课堂教学 目标,则是一节课的教学目标,是近期目标。远 期目标要由课堂教学目标来体现、落实,近期目 标受制于远期目标,是实现远期目标的基础。 链接1
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②数学课堂教学目标的设计 数学课堂教学目标的设计可以按照知识与技能、 过程与方法、情感态度与价值观这3个维度来进行设 计。 ●知识与技能 知识与技能目标的内容主要包括3类:一类是数学 概念、数学命题(数学定理、性质、公式、法则等) 和基本的数学事实结论;一类是数学概念、数学命 题和基本的数学事实结论的运用;一类是数学操作 性技能(作图等)。 知识与技能目标的要求可分为4个层次:了解、 理解、掌握和综合运用。 在写知识与技能目标时,根据其知识与技能的内 容与层次要求来写。比如,“了解什么”、“理解 什么”、“掌握什么”、“综合运用什么”。 29

●过程与方法 过程与方法的内容是:通过数学学习过程, 把握数学思想方法、形成数学能力,发展数 学思想和数学意识(如统计意识、应用意识、 创新意识),提高解决问题能力。 描述过程与方法的常见术语有:经历…… 过程、培养……能力、领悟……数学思想方 法、发展……意识、学习……的问题解决方 法;观察、参与、尝试;探索、研究、发现; 合作、交流、反思。
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●情感态度与价值观 这里的情感是指,在数学活动过程中的比较稳定 的情绪体验。 数学态度是指,对数学活动、数学对象的心理倾 向或立场,表现出兴趣、爱好、喜欢与否、看法立 场。数学态度可以演变为数学信念——对数学持有 的较为稳定的总体看法、观念。 数学态度包括对数学学科的态度(数学信念)、 对数学的兴趣、对数学具体内容的态度。 这一维度目标的内容还包括宏观的价值观和数学 审美观。例如,对数学的科学价值、应用价值和文 化价值的看法;辩证法的观点;数学的简洁整齐之 美、统一和谐之美、抽象概括之美、对称之美、精 确之美。 刻画情感态度目标的术语有:感受……、体会……、 领悟……;形成……观点、养成……习惯、欣 31 赏……之美。

需要注意的是,情感态度与价值观属于内 隐的心理结构,不是显性知识,而是意会知 识(缄默知识),无法通过传授直接获得, 必须通过学生的过程学习间接获得。 所以,教师在进行教学设计时,要以知识 技能为基础,以过程方法为途径,在引导学 生学习数学的过程中,为学生情感态度与价 值观的发展创设适宜的土壤,把知识与技能 的学习与情感态度与价值观的培养结合起来, 使学生受到潜移默化的影响,最终形成良好 的情感态度与价值观。 32

? 案例1 “两条直线的位置关系”的教学目标设计 知识与技能 ①理解两条直线平行与垂直充要条件的推导、公式及应 用。 ②能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。 过程与方法 ①通过探索两条直线平行或垂直的充要条件和推导过程, 培养学生观察、归纳的数学逻辑思维能力,并渗透算法 的思想。 ②通过灵活运用公式的过程,提高学生类比化归、数形 结合的能力。 情感态度与价值观 ①培养学生主动探究知识、合作交流的意识。 33 ②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。

(2)数学教学内容的内容分析 数学教学内容的内容分析主要包括基本分析、 背景分析、结构分析、数学分析和重难点分 析。 ①基本分析:学习教材的配套教参,了解 教材的编写意图和编写特点,理解课程学习 目标,熟悉教学要求。 ②背景分析:了解相关数学知识产生的背 景和发展历程以及与其他知识、学科、实际 的联系,挖掘其教学价值。
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③结构分析:通览教材,熟悉教材内容知识结构 图,从整体上把握教材。明确本课内容在相关章 节中的地位和作用,弄清楚本节课内容与相关内 容之间的上下位关系,明确例题、习题的编排与 教学功能。 ④数学分析:研究数学概念、数学命题以及例题 和习题的解法,把握其数学本质,尤其是所包含 的数学思想方法。例如,数形结合思想、分类讨 论思想、化归思想、函数与方程思想、统计思想; 配方法、换元法、待定系数法、坐标法、归纳法、 演绎法、分析法、综合法和反证法等。 ⑤重难点分析:先分析教材中的重难点,预估学 生易混淆和易出错之处,再根据课堂教学目标要 35 求,确定本堂课的教学重难点。

案例2 “概率的加法公式”的背景分析和重难点 分析 背景分析 为了将一些较为复杂的概率的计算转化为较简 单的概率的计算,首先要学会将所考虑的事件作 出相应的正确运算。这一节先讲事件的和的意义, 然后再讲对于怎样的事件可应用哪一种概率加法 公式计算事件的概率。接着研究事件的简单运算: 互斥事件的加法运算及相互独立事件的乘法运算, 使可以计算事件概率的范围得以扩充。
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重点、难点分析 两个互斥事件的概率加法公式是一个很基本 同时又是很重要的公式。之所以说基本,是因为 它是一个最简单的概率运算公式,它是任意两个 事件的概率加法公式的特例。而其重要性主要在 于它是从单个事件向多个事件过渡的起点和中介, 它起着承前启后的作用。如果说单个事件的概率 问题依靠比例还可以解决的话,那么两个以上的 事件的概率问题仅仅依靠比例就很难解决。对于 一些较复杂的事件的概率,直接依据概率的定义 来进行计算是很不方便的。本章主要包括两个基 本公式:互斥事件概率加法公式及对立事件概率 和公式,而前者既是教学重点又是教学难点。 37

(3)数学教学的学生分析 学生是学习的主体,一切教学都要从学生的实际 出发,只有对学生情况熟悉,才可能做到有的放 矢、对症下药、因材施教,才可能调动学生的积 极性。

①基本情况分析:主要是了解学生学习情况、能力 差异、年龄性格特征、兴趣爱好、身体状况、家 庭状况等。

②认知结构分析:主要是了解学生的知识结构、认 知水平的准备情况。例如,教师在讲授“指数函 数与对数函数互为反函数”时,教师必须检测了 解学生对函数概念的认知水平情况,教学才能有 38 效。

③学生的认知方式分析:认知方式表现在人的知觉、记忆、 思维和解决问题能力等方面的不同风格。比如, ●场依存性与场独立性: 场依存性的学生在认知活动中倾向于以外部参照作为 信息加工的依据,容易受周围人们和环境的影响。他们 喜欢有人际交流的集体学习情境,对社会学科材料的学 习记忆效果较好,较依赖于学习材料的预先组织,需要 明确的指导和讲授,喜欢结构严密的教学; 场独立性学生则相反,他们在认知活动中倾向于以 内部参照作为信息加工的依据,不容易受周围人们和环 境的影响。他们的知觉比较稳定,不易为背景改变而改 变。善于学习数理学科,能独立思考,对学习材料能进 行分析和重组。
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●沉思型和冲动型:在有几种可能解答的情境中,有些学 生倾向于深思熟虑且错误较少,但回答速度较慢。这种 认知方式称为沉思型认知方式。另一些学生倾向于很快 地作出反应和检验假设,但常常出错。这种认知方式称 为冲动型认知方式。 ●辐合型和发散型:辐合型认知方式是指学生在解决问题 时,通过收集或综合信息,运用逻辑规律,缩小解答范 围,直至找到正确的解答。发散型认知方式是指学生在 解决问题时,思维沿着许多不同方向扩展,使观念发散 到各个有关方面,最终产生多种答案。

●整体策略和序列策略:有些学生倾向于把问题看作一个 整体,从各个角度对问题进行观察和思考,采用整体策 略,有些学生则倾向于把重点放在解决一系列子问题, 一步一步呈直线的方式进展,采用序列策略。
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学生认知方式的差异对学生的学习和教师的教 学都会产生一定的影响,通过对学生认知方式的 分析,可以更好地针对学生的实际情况进行教学。 了解学习的一般方法有访谈法、观察法、课堂 提问、检查作业、问卷法等。具体方法有: ●向前任老师、班主任或家长了解 ●通过与学生交往了解 ●根据课堂教学中反馈的信息了解 ●从练习、作业、个别辅导、测验中了解 ……
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二、高中数学教学设计的案例分 析
数学教学设计贯穿于整个数学教学活动过程。 从数学教学的构成元素来看,有板书设计、 教学媒体设计、问题情境设计、问题设计、讨论 设计、小结设计等; 从数学教学内容来看,有数学概念设计、数 学命题设计、数学习题的设计等; 从数学课型来看,有数学新课的教学设计、 数学复习课的教学设计、数学活动课的教学设计 等。 下面分别择其一二而阐述。
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1.问题情境设计 (1)问题情境的含义 问题情境的核心是通过情境来提出问题,问题是教学 设计的核心。此外,在进行问题情境设计时,“情境” 与“问题”是一个融合的整体,刻意去寻找热闹的“情 境”或人为编造的问题,都会发生偏差。 从教学内容看,问题情境大致可以分为:实际背景、 数学背景、文化背景等。其中,实际背景主要指现实生 活的情境;数学背景主要指数学内部规律、数学内部矛 盾等;文化背景主要指数学发生、发展的历史和数学在 认识自然改造过程的作用等。 从教学环节看,问题情境包括引入新课的情境、过程 展开的情境、回顾反思的情境。 从呈现方式看,问题情境包括叙述、活动、实物、问 题、图形、游戏、欣赏等形式。
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(2)问题情境的设计 问题情境的设计主要是为了引起学生学习 的兴趣,激发学生的好奇心,使学生能从情 境中提出数学问题,进而为了解决问题而进 行积极的学习。 因而,问题情境设计的原则是有利于学生 思维能力的发展,有利于学生发现问题、提 出问题能力的发展,有利于学生创新意识的 发展。 在设计问题情境时应注意问题情境的适度 性、导向性和探究性。
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①适度性 问题情境应与数学知识相连,与 学生认知起点相吻合。有些情境过 分追求数学理论的严谨性,追求数 学的逻辑起点,而没有与学生已有 的数学知识相连,这样的问题情境 没有实际内容,难以发挥应有的积 极效果。

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案例3 “复数概念”的引入 设计1 在遨游数学王国时,你还记得数的概念发生和发展的 过程吗?在历经几次“添加新数”之后,数集已经扩充 到实数集。但是,由于负数在实数范围内不能开平方, 所以代数运算在实数集内仍不能永远实施。例如,当△ <0时,实系数一元二次方程没有实数根。再例如,一 元三次方程x3=1只有一个实数根。根的个数与方程的次 数“不一致”,有悖于数学的“和谐美”。这样看来, 数的概念需要进一步发展:实数集如何扩充?在新的数 集里,怎样实施数的运算? 剖析 这里设计的问题情境符合“数”的科学扩充过程,但 与学生已有知识相差太远,脱离了学生的认知起点,过 分注重数学的逻辑起点,因而难以真正实现学生思维的 46 启动。

设计2

16世纪,意大利数学家卡尔达诺(Gardano) 在解决求两个数,使其和为10,积为40时, 认为这两个数是5+ ?15 和5-?15。这是因为 (5+ ?15 )+(5-?15 )=10,(5+ ?15 )(5 - ?15)=40。在实数集内,一个正数有两个 平方根,它们互为相反数,0的平方根是0。 ?15 表示什么意义呢?尽管很长一段时间 然而, ? 15 内,部分数学家都认为“5+?15 ”和“5 - ” 这两个式子没有意义,是虚构的、想像的。 但在解决许多问题时,使用类似这样的式子 ?15 却带来极大的方便。那么, 能作为数吗? 它真的是无意义的、虚构的吗? 47

评析
这个问题情境是通过数学史上真实发生 的故事作为情境。当年,这个问题困扰 过许多数学家。今天,学生同样会对这 个看似荒谬但又难以否定的问题感兴趣, 这个问题情境符合学生的认知起点,一 般学生都能理解,从而可顺利进入复数 概念的建立阶段。

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教育心理学家奥苏伯尔曾说:“假如让我 把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话, 那么,我将一言以蔽之:影响学习的唯一最 重要的因素,就是学习者已经知道了什么。” 在进行问题情境设计时,首先要考虑的是学 生的认知起点。若违背这条原则,表现为过 分追求知识的逻辑起点,那么,所谓的问题 情境不能真正启动学生的思维,实际上仍然 是教师的“灌输”。 49

②导向性 所谓导向性指的是所设计的问题要有 利于学生提出问题。有些情境设计过分 追求视觉效果,追求新奇,追求浅层次 的趣味。面对这样的情境,学生不能产 生疑问,不能自觉提出问题。

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案例4 “圆的标准方程”的引入 设计1 展示一些与圆有关的生活图片,创设情境, 引入新课。 评析 这里给出几幅图片,表面上看是与圆有关, 与生活实际联系密切,但是,整个情境没有 问题,学生只是接受视觉的刺激,没有思维 的发生。这样的情境不仅无助于本节课内容 的学习,相反可能会分散学生的注意力,给 学生带来负面的影响。
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设计2 圆是最美丽的曲线,圆是到定点的距离等于定长的点 的集合,定点是圆心,定长是半径。那么,怎样求圆的 方程? 评析 这里根据学生已有的关于圆的知识,直接给出 圆的几何关系,单刀直入,引导学生提出解析几何的基 本问题:如何把几何问题转化为代数问题:求圆的方程, 就是要建立适当的直角坐标系,并写出圆上任意一点P (x,y)所满足的关系式。 小结 问题是数学的心脏,问题是思维的核心。没有 问题,思维便无法启动。这里的问题是以多种形式出现 的,但在问题情境设计时必须同时考虑问题的提出、解 决和拓展,否则问题情境将失去价值,难以达到预期的 目的。这也就是导向性原则。
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③探究性
问题情境应当是开放的、挑战的、新奇 的,应当能够激发学生主动发现问题、 提出问题和解决问题的欲望。 链接2:案例5 “导数”的引入

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(3)几点注意 ①防止出现惟生活情境,以生活情境代替问题情境 的现象。在许多情况下,数学内部的问题就是好 的问题情境。 ②防止出现假情境、为情境而情境、只有情境没有 问题的现象。 ③防止出现过分重视数学逻辑起点,忽视学生接受 能力的现象。 ④防止出现一个内容一个情境,情境遍地开花的现 象。要注重学生对所学内容的整体认识。
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2.问题设计 (1)“问题”的含义 “问题”在数学学习中是十分重要的。在 数学学习中,“问题”是引导学生发现数学、 探究数学的一种心理困境,这种困境是学生 有目的准备去追求但尚未找到适当手段解决 的一种状态。 根据数学内容与教学环节的不同,教学中 的“数学问题”可以分为多种类别,有的是 为了揭示核心内容的核心问题,有的是为了 引出新内容的导向性问题,有的是为了渗透 55 数学思想方法的启迪性问题。

(2)问题设计 如何进行问题设计?根据问题在数学 学习中的作用,必须注重问题的核心性、 整体性、探究性和开放性等。

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①注重问题的核心性 案例6 “集合”的引言 蓝蓝的天空中,一群鸟在欢快地飞翔;茫茫的 草原上,一群羊在悠闲地走动;清清的湖水中, 一群鱼在自由地游泳…… 鸟群、羊群、鱼群……都是“同一类对象汇集 在一起”,这就是本章将要学习的“集合”。那 么,我们要问: 第一,集合的含义是什么? 第二,集合之间有什么关系? 第三,怎样进行集合的运算?
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评析 这里的问题就是本章要研究的核心内容, 本章的学习实际上就是要解决这三个问题。 而为了解决这三个问题,又产生出若干小问 题,每个小问题的解决,就构成整个内容的 学习与探究过程。核心问题有利于学生对知 识的整体把握,通过核心问题的引领,学习 过程可以有序、有效。

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案例7 “反函数”的课堂小结 问题 为什么叫做反函数?你觉得这个“反”到底反 在什么地方? 评析 此问题的提出独具特色,也带有一定的诙谐, 让学生觉得很有意思。在这样的教学活动中,学 生不需要教师的再三叮嘱,也不会忘记反函数 “反”在哪里?同时,此问题又是本学习内容的 核心所在,因为反函数的“反”也就是它的主要 内涵、性质所在!
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②注重问题的整体性 整个课堂是一个有机的整体,从初始问题开始, 到回顾反思为止,应该是一个系统的、完整的思 维整体。否则,课堂被分解地支离破碎,没有合 力。问题只有以“问题串”的形式出现,在“问 题串”的引领下,学生才能进行系列、连续的思 维活动。 链接3: 案例8 研究性学习课“怎样烧开水最省煤 气”中的“问题串” ③注重问题的探究性 如何引导学生进行有效的教学探究,关键在于 问题的“设计”,即问题本身应具有探究性。
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案例9 “均值不等式”的变式问题 问题 甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀 速行驶到乙地,速度不超过80km/h。已知 汽车每小时的运输成本(以元为单位)由 可变部分和固定部分组成。可变部分与速 度v(km/h)的平方成正比,比例系数为 1/10,固定部分490元。 (1)把全部运输成本y表示为v(km/h)的 函数,并指出这个函数的定义域。 (2)为了使运输的成本最小,汽车以多大 的速度行驶?

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变式问题1:在问题1中,只把汽车的“速度 不超过80km/h”改为“速度不超过 60km/h”,其他条件不变,让学生探索同 样的问题。 变式问题2:在问题1中,把汽车的“速度不 超过80km/h”改为“速度不超过c (km/h)”,其他条件不变,让学生探索 同样的问题。 变式问题3:在问题1中,把汽车的“速度不 超过80km/h”改为“速度不超过c (km/h)”,把“比例系数为1/10,固定 62

评析 问题的基本解答为:全部运输成本y与v(km/h) 的关系式是(0<v≤80)。运用均值不等式,得 到当汽车以70 km/h的速度行驶时,运输的成本最 低。 在问题的基础上给出了三个变式问题。教师为 什么要在变式问题1中把汽车的“速度不超过 80km/h”改为“速度不超过60km/h”?其实它是针对 函数定义域的变化而来的:问题中所求70 km/h在 其定义域(0<v≤80)之内,但不在变式问题2中 的定义域(0<v≤60)内。 进一步地,变式问题2-3把有关问题抽像化了。 这样的问题不仅可推动学生更加主动地、积极地 去探究学习,而且也培养了他们的逻辑思维和抽 63 象思维能力。

④注重问题的开放性 有些数学教师在教学中也力图提出一 些问题来促进学生思考。可是,这些问 题大多数都是指向性明确的封闭性问题, 即为“是/否”(Yes/No)问题。我们 不能否认这些问题在有些情况下的价值, 但是,若要更好地促进学生的思维建构, 则需要教师提出开放性的问题。 链接4:案例10 “一条直线到另一条直线 的角(到角)”的引入
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案例11 “反函数”概念及性质 (请学生回忆前面学习过的指数函数和 对数函数,且根据学生的回答,在黑板 上画出有关指数函数、对数函数一些性 质的对照表) 问题 学习完一些知识以后,我们要 有一个习惯,就是能不能把这些知识横 向联系起来?那么,现在请同学们思考 这样一个问题,你觉得指数函数和对数 函数有哪些关系?你打算如何研究?
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评析 教师的第一句话,其实是培养学生良好的 学习方法。 教师的第二句话看似是教师提问,其实是 把学习的主动权交给学生,让学生来发现问 题:发现指数函数与对数函数之间的关系, 并用某种方法来研究它们。 给时间让学生讨论、发言,可得到一个猜 想:指数函数的图像与对数函数的图像关于 直线y=x对称等。
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教师再给时间让学生继续证明自己的猜想。 而在学生思考的时间内,老师不要有多余的 话语,只是在教室里四处走动,不时停下来 解答学生的问题。 等到学生思考出大致的进程后,老师请 有想法的学生举手回答,与全班学生一起分 享他的想法。 然后,师生又通过几何画板验证学生自 己得出的猜想。 至此,教师对以上学生的有关讨论做出 一个小结,指出指数函数和对数函数有如此 的关系,教材上给一名称把它们叫做一对反 函数,从而引出反函数的概念。 67

3.数学概念的教学设计 (1)数学概念学习的内容 数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式。 它具有抽象性和具体性双重特点。 因为数学概念代表了一类事物的本质属性, 因此它是抽象的,没有实际的物质存在。以“三 角形”的概念为例,现实世界中,没有见过抽象 的三角形,而只能见到具体的三角形。它是客观 现实的抽象。这是概念抽象性的一面。 另一方面,尽管概念作为一种抽象,物质世 界中没有实际的存在,但是从数学教学方面来看, 学生可以获得概念,概念一旦为学生掌握,对学 生来说就是“实在”的东西了,这是概念具体性 68 的一面。

数学概念是进行数学推理、证明的基础和依据,数学 中的推理和证明实质上是由一连串的概念、判断和命题 组成的,而数学中的命题又都是一些概念构成的。因此, 数学概念学习是数学学习的基础 ,数学概念的教学是 数学教学最重要的组成部分。 一般来说,数学概念学习包括以下四个方面: ①数学概念名称。例如“三角形”、“正方体”、 “椭圆”等。 ②数学概念定义。例如“三角形”的定义是“由不在 同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形”。 ③数学概念的例子。符合数学概念定义的事物是数学概 念的正例,不符合数学概念定义的事物是数学概念的反 例。 ④数学概念属性。例如“三角形”这个数学概念的属 69 性是平面图形、封闭的、有三条边、有三个角等。

(2)数学概念学习的形式 数学概念学习的形式一般有两种,一是概念的 形成,二是概念的同化。 第一,概念的形成 概念的形成是在教学条件下,从大量具体例子 出发,从学生实际经验的肯定例证中,以归纳的 方法概括出一类事物的本质属性。 第二,概念的同化 概念的同化是利用学生已有的知识经验,以定 义的方式直接向学生揭示概念的本质。
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(3)数学概念教学设计所需要注意的几个问题 为帮助学生透彻理解并掌握所学的数学概念, 教师要注意以下几个方面: ①加强对数学概念的解剖分析 数学概念是借助于数学语言符号来表达的,其 用语、用词一般都非常严密、精练,具有高度的 概括性。因此,教师必须抓住概念中的关键词句 进行解剖分析,揭示每一个词、句、符号、式子 的内在含义,使学生深刻理解概念的本质属性。 链接5:案例12 对“正弦函数”概念的分析
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②利用变式,突出概念的本质属性 变式是指概念例证在非本质属性方面的变化。 利用变式的目的是通过非本质属性的变化来突出 本质属性,使学生获得的概念更精确。 例如,为了使学生全面理解无理数的概念,教 师可以呈现下面的各种变式: ●开不尽的数: 3

2, 2 3, 5,?
2

●负无理数: ?3 3, ?2 7, ? 2 ,?

●超越数:

? , e, lg 2,?
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●无限不循环小数:4.12112111211112…

③注意概念的对比 数学中许多概念是相互联系的。因此,在数学学 习中,可把它们联系起来进行对比学习或类比学 习。 案例13 “不等式的解”与“方程的解”的对比 学习 ●方程的解是使方程两边的值相等的未知数的值; 不等式的解是使不等式成立的未知数的取值范围 ●从使原式成立这一点来看,方程的解和不等式的 解的意义相同 ●从解的个数来看,方程在一般情况下解的个数是 有限的,而不等式的解的个数是无数个 ●反映在数轴上,方程的解是数轴上某一个或几个 73 孤立的点,而不等式的解则是无数个点的集合

④注意概念的直观化 数学概念通常是经过多层次的抽象概 括而得来的,它往往脱离了具体的原型。 对这类比较抽象的概念,应引导学生将 概念具体化、形象化。 链接6: 案例14 “最值”与“极值”的直观 化学习

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⑤注意概念体系的建立 在数学概念教学中,不但要使学生掌 握单个的概念,而且还要使学生掌握概 念体系,建构良好的数学认知结构。在 经过每一章节的学习之后,应引导学生 将所学的概念加以整理、归类,理清概 念之间的关系,建立章节、学科的概念 网络体系,使概念纵横贯通,这样,有 助于学生对概念的深入理解。
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(4)数学概念教学设计案例 链接7:案例15 “函数单调性”的有 关教学设计

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4.数学命题的教学设计 数学命题的学习主要是公式、法则、定 理和性质的学习。教材中的数学命题不是 孤立零散的知识,而是一个有系统的知识 体系。认清数学命题在数学知识体系中的 地位、作用以及数学命题之间的内在联系, 可以加深学生对数学命题的理解。 (1)数学命题学习的形式 在数学课堂教学中,数学命题的学习一般 有两种形式,即由例子到命题的学习和由 命题到例子的学习。
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①由例子到命题的学习 由例子到命题的学习是指从若干例证中归 纳出一般结论的学习,它是一种发现学习。 这种学习形式类似于概念形成学习,需要 教师提供例证、辨别对象、提出假设、验 证假设和进行概括。但是,它对学生的认 知水平要求更高,因为它概括的是由某些 概念构成的特定关系。教师在为学生提供 丰富的例证时,不能仅仅提供命题的正例, 还要提供命题的反例,以强化对命题的认 识,使学生透彻理解命题。
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②由命题到例子的学习 由命题到例子的学习是指先向学生 呈现要学习的命题,然后再用实例说 明命题(有时还要给予逻辑证明), 从而使学生掌握命题,它是一种接受 学习。这种学习的前提条件是学生必 须事先掌握构成命题的各个概念和命 题。
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(2)数学命题的教学设计 链接8:案例16 “等差数列的前项 和(第1课时)”的教学设计 案例17 “两角差的余弦公式”的教学
设计

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5.数学习题的教学设计 按照不同的分类标准,数学习题有不 同的类别。常见的分法是把数学习题分 为计算题、证明题、作图题、轨迹题等。 (1)数学习题中“一题多变”的方法 在中学数学教学中,我们反对“题海 战术”,就必须在习题的设计上下工夫。 一题多变是实现这一目标的主要途径之 一。中学数学教学中主要有以下5种 “一题多变”的方法:
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? ? ? ? ? ?

①类比法 ②引申法 ③推广法 ④联想法 ⑤反思法 链接9: 数学习题教学设计

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6.数学复习课的教学设计 复习课是教学环节中不可缺少的一 种课型。 目前,复习课有两种偏向:一种是 不进行知识技能的整理,以题海代替复 习;另一种是复习整理干巴巴,学生不 爱听。 所以,要想把复习课上出新意来, 在教学设计上就要注意以下几个方面:
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(1)以新的知识内容为线索贯穿 旧知识 (2)以新的逻辑顺序、思想方法 为线索归纳、整理旧知识 (3)以新的问题角度为线索串联 旧知识 链接10:数学复习课的教学设计

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