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数列知识点总结及同步练习

数列知识点总结及同步练习


沿途教育 第二章 85649 数列 一、数列的概念及简单表示法
1、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 2、数列的项:数列中的每一个数. 3、有穷数列:项数有限的数列. 4、无穷数列:项数无限的数列. 5、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列(即:an+1>an) . 6、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列(即:an+1<an) . 7、常数列:各项相等的数列(即:an+1=an) . 8、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 9、数列的表示法:图像法,列表法,解析法。 10、数列的通项公式:表示数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 11、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系的公式.

二、等差数列
1、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为 等差数列,这个常数称为等差数列的公差.符号表示: an?1 ? an ? d 。注:看数列是不是等差 数列有以下三种方法:
)② ① an ? an?1 ? d (n ? 2, d为 常 数 2 a n ? a n ?1 ? a n?1 ( n ? 2 ) ③a n ? kn ? b ( n, k 为常数

2、由三个数 a , ? , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a 与 b 的等 差中项.若 b ? 3、若等差数列
a?c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2

?an ? 的首项是 a ,公差是 d ,则 a
1

n

? a1 ? ? n ?1? d .

4、通项公式的变形: ①an ? am ? ? n ? m? d ;②a1 ? an ? ? n ?1? d ; ③d ?

a ?a a ?a an ? a1 ;④n ? n 1 ? 1 ;⑤d ? n m . d n?m n ?1

1

沿途教育
5、若 ?an ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 am ? an ? ap ? aq ;若 ?an ? 是 等差数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 2an ? ap ? aq . 6、 等差数列的前 n 项和的公式: ①Sn ? 7、等差数列的前 n 项和的性质: ① 若项数为 2n ? n ? ? * ? ,则 S2n ? n ? an ? an?1 ? ,且 S偶 ? S奇 ? nd , ② 若项数为 2n ? 1? n ? ? * ? , 则 S2n?1 ? ? 2n ?1? an , 且 S奇 ? S
S奇 a ? n . S偶 an ?1

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? ; ②Sn ? na1 ? ③sn ? a1 ? a2 ? d. 2 2

? an



a ?

n

S n ,奇 ? (其中 S奇 ? nan , S偶 n ? 1

.当数项为奇数 2n+1 时, S2n?1 ? (2n ? 1)an?1 S偶 ? ? n ?1? an )

三、等比数列 1、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为 等比数列,这个常数称为等比数列的公比.符号表示: 现值为 0 的项;② 同号位上的值同号) 注:看数列是不是等比数列有以下四种方法: ①a n ? a n?1q(n ? 2, q为常数, 且 ? 0) ③a n ? cq n ( c, q 为非零常数). ④ 正数列{ a n }成等比的充要条件是数列{ logx a n }( x ? 1 )成等比数列. 2、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a ,G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若
G 2 ? ab ,则称 G 为 a 与 b 的等比中项. (注:由 G 2 ? ab 不能得出 a , G , b 成等比,由 a ,
G , b ? G 2 ? ab )
2 ②a n ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 , a n a n ?1 a n ?1 ? 0 )

an ?1 等比数列中不会出 ? q (注:① an

3、若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1qn?1 .
n ?m 4、通项公式的变形:①an ? amq ;②a1

? an q
2

?? n?1?

;③q n ?1 ?

a n?m an ? n . ;④q am a1

沿途教育
5、若 ?an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;若 ?an ? 是等比数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 an ? a p ? aq .
2

6











?an ?





n













?na1 ? q ? 1? ? ①Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q .②sn 1 n ? q ? 1 ? ? ? 1? q ? 1? q

? a1 ? a2 ? ? an

?s1 ? a1 (n ? 1) 7、对任意的数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系: a n ? ? ?s n ? s n ?1 (n ? 2)

8、等比数列的前 N 项和的主要性质:
S偶 ?q ?在等比数列中,若项数为 2n,S 偶和 S 奇分别为偶数与技术想的和,则 S奇 ,若项数为
S奇 - a1 ?q 2n+1,则 S偶

?

Sn?m ? Sn ? q n .Sm

[注]: ①a n ?a1 ??n ? 1?d ? nd ? ?a1 ?d ? ( d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常数列也是等 差数列)→若 d 不为 0,则是等差数列充分条件).
d? 2 ? d? ② 等差{ a n }前 n 项和 S n ? An2 ? Bn ? ? ? ? n ?? a 1 ? ? n ?2? ? 2?



d 可以为零也可不为零→为等差的充 2

要条件→若 d 为零,则是等差数列的充分条件;若 d 不为零,则是等差数列的充分条件. ③ 非零 常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列) ..

四、几种常见的数列的思想方法:
⑴ 等差数列的前 n 项和为 S n ,在 d ? 0 时,有最大值. 如何确定使 S n 取最大值时的 n 值,有两 种方法: 一:求使 a n ? 0, a n?1 ? 0 ,成立的 n 值;

3

沿途教育
二:是由 S n ? n 2 ? (a1 ? )n 利用二次函数的性质求 n 的值.
d 2 d 2

数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下:
数列 等差数列 等比数列 通项公式 对应函数 ( 时为一次函数)

(指数型函数)

数列 等差数列 等比数列

前 n 项和公式

对应函数 ( 时为二次函数)

(指数型函数)

我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”, 将数列的通项公式以及前 n 项和看成是关于 n 的函数,为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。

五、数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

? c ? 2.裂项相消法:适用于 ? ? 其中{ an }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部分无理数 ? an an?1 ?
列、含阶乘的数列等。 例题:已知数列{an}的通项为 an=
1 1 解:观察后发现:an= ? n n ?1

1 ,求这个数列的前 n 项和 Sn. n(n ? 1)

sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an



1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) 2 2 3 n n ?1 1 ? 1? n ?1

3.错位相减法:适用于 ?an bn ?其中{ an }是等差数列, ?bn ?是各项不为 0 的等比数列。
4

沿途教育
例题:已知数列{an}的通项公式为 an ? n ? 2n ,求这个数列的前 n 项之和 s n 。 解:由题设得:

sn ? a1 ? a2 ? a3 ???? ? an
= 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ??? ? n ? 2n 即

s n = 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ??? ? n ? 2n
把① 式两边同乘 2 后得



2 sn = 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ??? ? n ? 2n?1
用① -② ,即:



s n = 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ??? ? n ? 2n 2 sn = 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ??? ? n ? 2n?1


① ②

? sn ? 1? 2 ? 22 ? 23 ? ??? ? 2n ? n ? 2n ?1 2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 1? 2 ? 2n ?1 ? 2 ? n ? 2n ?1 ? ? (1 ? n)2n ?1 ? 2
∴sn ? (n ?1)2n?1 ? 2 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. 5.常用结论 1): 1+2+3+...+n =
n( n ? 1) 2

2) 1+3+5+...+(2n-1) = n 2
2

?1 ? 3) 13 ? 23 ? ? ? n 3 ? ? n(n ? 1)? ?2 ?
5)
1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

4)

12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ?

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

6)

1 1 1 1 ? ( ? ) ( p ? q) pq q ? p p q

5

沿途教育 第二章 数列 基础训练
一、选择题 1
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在数列 1,1,2,3,5,8, x,21,34,55 中, x 等于( A
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等差数列 {an }中, a1 ? a4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27, 则数列 {an }前9 项的和 S9 等于( A
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等比数列 ?an ? 中, a2 ? 9, a5 ? 243 , 则 ?an ? 的前 4 项和为( A
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D )

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2 ? 1 与 2 ? 1 ,两数的等比中项是(
A
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1 2 1 是此数列的第( 2

5

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已知一等比数列的前三项依次为 x,2 x ? 2,3x ? 3 ,那么 ? 13 A
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)项

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在公比为整数的等比数列 ?an ? 中,如果 a1 ? a4 ? 18, a2 ? a3 ? 12, 那么该数列的前 8 项之和 )
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为( A
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C

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225 8

二、填空题 1 2 3 4 5 6
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等差数列 ?an ? 中, a2 ? 9, a5 ? 33, 则 ?an ? 的公差为______________ 数列{ an }是等差数列, a4 ? 7 ,则 s7 ? _________ 两个等差数列 ?an ?, ?bn ?,

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a1 ? a 2 ? ... ? a n 7n ? 2 a ? , 则 5 =___________ b1 ? b2 ? ... ? bn n?3 b5
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在等比数列 ?an ? 中, 若 a3 ? 3, a9 ? 75, 则 a10 =___________

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在等比数列 ?an ? 中, 若 a1 , a10 是方程 3x 2 ? 2 x ? 6 ? 0 的两根,则 a4 ? a7 =___________ 计算 log 3 3 3 ... 3 ? ___________
n
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三、解答题 1.成等差数列的四个数的和为 26 ,第二数与第三数之积为 40 ,求这四个数
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2.在等差数列 ?an ? 中, a5 ? 0.3, a12 ? 3.1, 求 a18 ? a19 ? a20 ? a21 ? a22 的值

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3.求和: (a ? 1) ? (a 2 ? 2) ? ... ? (a n ? n), (a ? 0)

4.设等比数列 ?an ? 前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? S 6 ? 2S 9 ,求数列的公比 q

综合训练 一、选择题 1. A. 2. A. 已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,若 a1 ,a 3 , a4 成等比数列, 则 a2 ? (
?4



B.

?6

C.

?8

D.

?10

设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若
1

a5 5 S ? ,则 9 ? ( a3 9 S5
D.
1 2



B.

?1

C.

2

7

沿途教育
3. A. 4. A. 若 lg 2, lg(2 x ? 1), lg(2 x ? 3) 成等差数列,则 x 的值等于(
1



B.

0 或 32

C.

32

D.

log 25


已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为 q ,则 q 的取值范围是(

(0,

1? 5 ) 2

B.

1? 5 ( ,1] 2 ( ?1? 5 1? 5 , ) 2 2

C. 5.

[1,

1? 5 ) 2

D.

在 ?ABC 中, tan A 是以 ?4 为第三项, 4 为第七项的等差数列的公差, )

1 tan B 是以 为第三项, 9 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是( 3

A. C.

钝角三角形 等腰直角三角形

B. D.

锐角三角形 以上都不对

6 、 在 等 差 数 列 ?a n ? 中 , 设 S1 ? a1 ? a2 ? ... ? an , S 2 ? an?1 ? an?2 ? ... ? a2n ,

S 3 ? a2n?1 ? a2n?2 ? ... ? a3n ,则 S1 , S 2 , S 3 , 关系为(
A. C. 等差数列 等差数列或等比数列 B. D. 等比数列 都不对



7、 等比数列 ?an ? 的各项均为正数, 且 a5a6 ? a4 a7 ? 18 , 则o g l A.
12

31

a o g l ? .3.o . g la ? ? 2 2 ? l o3g 5

30 1

a?





B.

10

C.

1 ? l o 3g 5

D.

二、填空题 1. 2. 3. 4. 5. 等差数列 ?an ? 中, a2 ? 5, a6 ? 33, 则 a3 ? a5 ? _________. 数列 7,77,777,7777 …的一个通项公式是______________________. 在正项等比数列 ?an ? 中, a1a5 ? 2a3a5 ? a3a7 ? 25 ,则 a3 ? a5 ? _______. 等差数列中,若 S m ? S n (m ? n), 则 S m? n =_______. 已知数列 ?an ? 是等差数列,若 a4 ? a7 ? a10 ? 17 ,

a4 ? a5 ? a6 ?
6.

? a12 ? a13 ? a14 ? 77 且 ak ? 13 ,则 k ? _________.

等比数列 ?an ? 前 n 项的和为 2 n ? 1 ,则数列 ?an 2 ? 前 n 项的和为______________.
8

沿途教育
三、解答题 1. 三个数成等差数列,其比为 3 : 4 : 5 ,如果最小数加上 1 ,则三数成等比数列,

那么原三数为什么?

2.

求和: 1 ? 2 x ? 3x 2 ? ... ? nxn?1

3.

已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? ?2n ? 11,如果 bn ? an (n ? N ) ,

求数列 ?bn ? 的前 n 项和.

4.

在等比数列 ?a n ? 中, a1a3 ? 36, a2 ? a4 ? 60, S n ? 400, 求 n 的范围.

提高训练 一、选择题 1.数列 ?an ? 的通项公式 a n ? A. 98 C. 96 B. 99 D. 97
9

1 n ? n ?1

,则该数列的前(

)项之和等于 9 。

沿途教育
2.在等差数列 ?an ? 中,若 S 4 ? 1, S8 ? 4 ,则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 的值为( A. 9 C. 16 B. 12 D. 17 ) )

3.在等比数列 ?an ? 中,若 a2 ? 6 ,且 a5 ? 2a4 ? a3 ? 12 ? 0 则 an 为( A. 6 C. 6 ? 2 n ? 2 B. 6 ? (?1) n?2 D. 6 或 6 ? (?1) n?2 或 6 ? 2 n ? 2

4.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? ... ? a50 ? 200, a51 ? a52 ? ... ? a100 ? 2700,则 a1 为( A. ?22.5 C. ?20.5 B. ?21.5 D. ?20



2 5.已知等差数列 {an }的前n 项和为 S n , 若m ? 1, 且am?1 ? am?1 ? am ? 0, S 2m?1 ? 38, 则m 等于

( )

A. 38 C. 10

B. 20 D. 9

6.等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ,若 A.
2 3

Sn a 2n ,则 n =( ? Tn 3n ? 1 bn
D.
2n ? 1 3n ? 4



B.

2n ? 1 3n ? 1

C.

2n ? 1 3n ? 1

二、填空题 1.已知数列 ?a n ?中, a1 ? ?1 , an?1 ? an ? an?1 ? an ,则数列通项 an ? ___________。 2.已知数列的 S n ? n 2 ? n ? 1 ,则 a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 =_____________。 3.三个不同的实数 a, b, c 成等差数列,且 a, c, b 成等比数列,则 a : b : c ? _________。 4.在等差数列 ?a n ?中,公差 d ?
1 ,前 100 项的和 S100 ? 45 , 2

则 a1 ? a3 ? a5 ? ... ? a99 =_____________。 5.若等差数列 ?a n ?中, a3 ? a7 ? a10 ? 8, a11 ? a4 ? 4, 则 S13 ? __________. 6.一个等比数列各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则公比 q 为 _______。

10

沿途教育
三、解答题 1.已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 3 ? 2n ,求 an

2.一个有穷等比数列的首项为 1 , 项数为偶数, 如果其奇数项的和为 85 , 偶数项的和为 170 , 求此数列的公比和项数。

3.数列 lg1000 , lg(1000? cos600 ), lg(1000? cos2 600 ),...lg(1000? cosn?1 600 ), … 的前多少项和为 最大?

4.已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 1 ? 5 ? 9 ? 13 ? ... ? (?1) n?1 (4n ? 3) ,求 S15 ? S 22 ? S 31 的值。

11

沿途教育 (数学 5 必修)第二章数列 [基础训练 A 组]

参考答案
一、选择题 1 2
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C an ? an?1 ? an?2 B

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a1 ? a4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27,3a4 ? 39,3a6 ? 27, a4 ? 13, a6 ? 9

S9 ?
3 B

9 9 9 ( a1 ? a9) ? ( a4 ? a6) ? ( 1 3? 9 ) ? 99 2 2 2

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a5 a2 3(1 ? 34 ) 3 ? 27 ? q , q ? 3, a1 ? ? 3, S4 ? ? 120 a2 q 1? 3

4 5

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C B

x2 ? ( 2 ?1)( 2 ?1) ? 1, x ? ?1
x(3x ? 3) ? (2x ? 2)2 , x ? ?1或x ? ?4, 而x ? ?1 ? x ? ?4
q? 3x ? 3 3 1 3 ? , ?13 ? ?4 ? ( ) n ?1 , n ? 4 2x ? 2 2 2 2

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C

a1 (1 ? q3 ) ? 18, a1 (q ? q 2 ) ? 12,

1 ? q3 3 1 ? , q ? 或q ? 2, 2 q?q 2 2

而 q ? Z , q ? 2, a1 ? 2, S8 ? 二、填空题 1
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2(1 ? 28 ) ? 29 ? 2 ? 510 1? 2

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8

3

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65 12

a5 ? a2 33 ? 9 7 49 S7 ? ( a1 ? a7) ? 7 a4 ? 4 9 ? ?d ?8 2 5?2 5?2 2 9 a5 2a5 a1 ? a9 2 (a1 ? a9 ) S9 7 ? 9 ? 2 65 ? ? ? ? ? ? b5 2b5 b1 ? b9 9 (b ? b ) S "9 9?3 12 1 9 2
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4 5 6

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? 753 3
?2

q6 ? 25, q ? ? 3 5, a10 ? a9 ? q ? ?75 3 5
a4 a7 ? a1 a1 ? 2 0 ?
log3 3 3 ... 3 ? log 3 (3 ? 3 ??? 3 ) ? log 3 (3
2n n 1 2 1 4 1 1 1 1 ? ?...? n 2 4 2

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1 1? n 2

)

1 1 [1 ? ( )n ] 1 1 1 2 ? 1? 1 ? ? 2 ? ... ? n ? 2 1 2 2 2 2n 1? 2
三、解答题
12

沿途教育
1. 解:设四数为 a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,则 4a ? 26, a2 ? d 2 ? 40

13 3 3 ,d ? 或? , 2 2 2 3 当 d ? 时,四数为 2,5,8,11 2 3 当 d ? ? 时,四数为 11,8,5, 2 2
即a ? 2. 解: a18 ? a19 ? a20 ? a21 ? a22 ? 5a20 , a12 ? a5 ? 7d ? 2.8, d ? 0.4

a20 ? a12 ? 8d ? 3.1 ? 3.2 ? 6.3
∴ a18 ? a19 ? a20 ? a21 ? a22 ? 5a20 ? 6.3? 5 ? 31.5 3. 解:原式= (a ? a2 ? ... ? an ) ? (1 ? 2 ? ... ? n)

? (a ? a 2 ? ... ? a n ) ?

n(n ? 1) 2

? a(1 ? a n ) n(n ? 1) ? (a ? 1) ? ? 1? a 2 ?? 2 ? n ? n (a ? 1) ? ?2 2
4. 解:显然 q ? 1 ,若 q ? 1 则 S3 ? S6 ? 9a1 , 而 2S9 ? 18a1 , 与 S 3 ? S 6 ? 2S 9 矛盾 由 S3 ? S6 ? 2S9 ?

a1 (1 ? q3 ) a1 (1 ? q 6 ) 2a1 (1 ? q9 ) ? ? 1? q 1? q 1? q

1 2q 9 ? q 6 ? q 3 ? 0, 2(q 3 ) 2 ? q 3 ? 1 ? 0, 得q 3 ? ? , 或q 3 ? 1, 2
而 q ? 1 ,∴ q ? ?
3

4 2

(数学 5 必修)第二章数列

[综合训练 B 组]

参考答案
一、选择题 1. B

a1a4 ? a32 ,(a2 ? 2)(a2 ? 4) ? (a2 ? 2)2 ,2a2 ? ?12, a2 ? ?6
S9 9a5 9 5 ? ? ? ?1 S5 5a3 5 9

2. A

3. D

lg 2 ? lg(2x ? 3) ? 2lg(2x ?1), 2(2x ? 3) ? (2x ?1)2
13

沿途教育
x 2 (2 )? 4 ? x2 ? 5 ? 0x, 2 ?x 5, ? 2

log 5

4. D

?a ? aq ? aq 2 ?q 2 ? q ? 1 ? 0 ? ? 设三边为 a, aq, aq 2 , 则 ?a ? aq 2 ? aq ,即 ?q 2 ? q ? 1 ? 0 ?aq ? aq 2 ? a ?q 2 ? q ? 1 ? 0 ? ?

?1 ? 5 1? 5 ?q? ? 2 2 ? ?1 ? 5 1? 5 ? 得 ?q ? R ,即 ?q? 2 2 ? ? 1 ? 5 ? 1 ? 5 ?q ? , 或q ? ? 2 2 ? 1 5. B a3 ? ?4, a7 ? 4, d ? 2, tan A ? 2, b3 ? , b6 ? 9, q ? 3, tan B ? 3 3
tan C ? ? tan( A ? B) ? 1 , A, B, C 都是锐角
6. A 7. B

S1 ? Sn , S2 ? S2n ? Sn , S3 ? S3n ? S2n , Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , 成等差数列

log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 a10 ? log3 (a1a2 ...a10 ) ? log3 (a4a5 )5 ? log3 (310 ) ? 10
a3 ? a 5 ? a 2? a ? 6 38
7 (10 n ? 1) 9
1 9, 99, 999, 999 9 ? . . . 120? 1 , 3 1? 0

二、填空题 1. 2. 3. 4. 5.

38

an ?
5

7 14, ? 1 0 ?1 , 1 ?0 9

1, 7

9

2 2 (a3 ) ? 2 a3 a5? (a52) ? ( a3? a5 ) ? 2 5a ,3? a5 ?

5

0 18

2 (m ? n,0) ,即 Sm?n ? 0 Sn ? a n ? b该二次函数经过 n

17 ,a 11 9? 7 2 13 ? 7 ? (k ? 9) ? , k ? 18 3 3a7 ? 1 7a , 7?

2 a 77 ? d ?7 , ak ? a, ? 9, 9 k ? 3

d (

9)

6.

4n ? 1 3

2 Sn ? 2n ? 1, Sn ?1 ? 2n ?1 ? 1, an ? 2n ? 1, an 2? 4n ? , 1 a1 ? 1, q ? 4, Sn ?

1 ? 4n 1? 4

三、解答题
2 1. 解:设原三数为 3t , 4t ,5t ,(t ? 0) ,不妨设 t ? 0, 则 (3t ? 1)5t ? 16t , t ? 5

3t ? 1 5 , t4?
2.

2 0t,? 5 ∴原三数为 25, 15, 20, 25 .
1 n(n ? 1) 2

解:记 Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ? ... ? nxn?1, 当 x ? 1 时, S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? 当 x ? 1 时, xSn ? x ? 2x2 ? 3x3 ? ... ? (n ?1) xn?1 ? nxn ,
14

沿途教育
(1 ? x)Sn ? 1 ? x ? x2 ? x3 ? ... ? xn?1 ? nxn , Sn ?
?1 ? x n ? nxn ( x ? 1) ? ? 1? x ∴原式= ? ? n(n ? 1) ( x ? 1) ? ? 2
3. 解: bn ? an ? ?

1 ? xn ? nx n 1? x

?11 ? 2n, n ? 5 n 2 ,当 n ? 5 时, S n ? (9 ? 11 ? 2n) ? 10n ? n 2 2 n ? 11, n ? 6 ?
n?5 (1 ? 2n ? 11) ? n 2 ? 10n ? 50 2

当 n ? 6 时, S n ? S5 ? S n ?5 ? 25 ? ∴ Sn ? ? 4.
2 ? ?? n ? 10n, (n ? 5) 2 ? ?n ? 10n ? 50, (n ? 6)

解: a1a3 ? a22 ? 36, a2 (1 ? q2 ) ? 60, a2 ? 0, a2 ? 6,1 ? q2 ? 10, q ? ?3, 当 q ? 3 时, a1 ? 2, Sn ?

2(1 ? 3n ) ? 400,3n ? 401, n ? 6, n ? N ; 1? 3

当 q ? ?3 时, a1 ? ?2, Sn ? ∴ n ? 8, 且n为偶数

?2[1 ? (?3)n ] ? 400,(?3)n ? 801, n ? 8, n 为偶数; 1 ? (?3)

(数学 5 必修)第二章 [提高训练 C 组]参考答案
一、选择题 1.B

an ?

1 n ? n ?1

? n ? 1 ? n , Sn ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ... ? n ? 1 ? n

Sn ? n ?1 ?1 ? 9, n ?1 ? 10, n ? 99
2.A

S4 ? 1, S8 ? S4 ? 3, 而 S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 , S20 ? S16 , 成等差数列
即 1,3,5,7,9, a17 ? a18 ? a19 ? a20 ? S20 ? S16 ? 9

3.D

a5 ? 2a4 ? a3 ? 2a2 ? 0, a5 ? a3 ? 2a4 ? 2a2 , a3 (q2 ?1) ? 2a2 (q2 ?1)
a3 ? 2a2或q2 ?1 ? 0, q ? 2,1或 ?1 ,当 q ? 1 时, an ? 6 ;
当 q ? ?1 时, a1 ? ?6, an ? ?6 ? (?1)n?1 ? 6 ? (?1)n?2 ;
15

沿途教育
当 q ? 2 时, a1 ? 3, an ? 3 ? 2n?1 ? 6 ? 2n?2 ; 4.C

2700 ? 200 ? 50d ? 50, d ? 1, S50 ?

50 (a1 ? a50 ) ? 200 , 2

a1 ? a50 ? 8, 2a1 ? 49d ? 8, 2a1 ? ?41, a1 ? ?20.5
5.C

am ? am ? am2 ? 0, am (am ? 2) ? 0, am ? 2,
2m ? 1 (a1 ? a2 m ?1 ) ? (2m ? 1)a2 m ? 38, 2m ? 1 ? 19 2 2n ? 1 (a1 ? a2 n ?1 ) S an 2an 2(2n ? 1) 2n ? 1 2 ? ? ? 2 n ?1 ? ? bn 2bn 2n ? 1 (b ? b ) T2 n ?1 3(2n ? 1) ? 1 3n ? 1 1 2 n ?1 2 S2 m?1 ? 1 n
1 1 1 1 1 ? ? 1 1 ? ?1, ? ? ? 1, ? ? 1 , ? 是以 为首项,以 ?1 为 an an?1 a? an a a a1 n1 1 n ? ?
公差的等差数列,

6.B

二、填空题 1. ?

1 1 ? ?1 ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n, an ? ? an n

2.

100

a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 ? S12 ? S7 ? 122 ? 12 ? 1? (72 ? 7 ? 1) ? 100
2 2 a ? c ?2 b , c? 2 b? a , ab ? c?( 2 b ?2 )a2, a ?5 a ?b 4

3. 4 : 1 : (?2)

b ?0

a? b , a? 4 b , c ? ?2 b
4. 10

S1 0 0?

100 (a ? ) 0?0 45, a ? a ?10.9, 1 a 1 1 0 0 a ? a 1? a ? 9 9a 2 50 50 S " ? (a1 ? a 9 9)? ? 0 . ? 4 10 2 2

? 0.4, 1 d ?1 00

5. 156 a3 ? a7 ? a10 ? a11 ? a4 ? 12, a3 ? a11 ? a10 ? a4 , a7 ? 12, S13 ?

13 (a1 ? a13 ) ? 13a7 2

6.

5 ?1 ?1 ? 5 2 2 设 an ? an ?1 ? an ? 2 ? qan ? q an , q ? q ? 1 ? 0, q ? 0, q ? 2 2

三、解答题 1. 解: Sn ? 3 ? 2n , Sn?1 ? 3 ? 2n?1, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 (n ? 2) 而 a1 ? S1 ? 5 ,∴ a n ? ?

?5, (n ? 1)
n ?1 ?2 , (n ? 2)

2. 解:设此数列的公比为 q, (q ? 1) ,项数为 2 n ,

16

沿途教育
则 S奇 ?

a2 (1 ? q 2n ) 1 ? (q 2 ) n ? 85, S ? ? 170, 偶 1 ? q2 1 ? q2

S偶 S奇

?

a2 1 ? 22n ? q ? 2, ? 85, 22n ? 256, 2n ? 8, a1 1? 4

∴ q ? 2, 项数为 8 3. 解: an ? 3 ? (n ?1)lg 2, ?an ? 是以 3 为首项,以 ? lg 2 为公差的等差数列,

n lg 2 2 6 ? lg 2 Sn ? [3 ? 3 ? (n ? 1) lg 2] ? ? n ? n, 2 2 2
对称轴 n ?

6 ? lg 2 ? 10.47, n ? N * ,10,11 比较起来10 更靠近对称轴 2lg 2

∴前 10 项和为最大。

另法:由 ?

? an ? 0 ,得 9.9 ? n ? 10.9 ? an ?1 ? 0

?n ? (?4), n为偶数 ? ??2n, n为偶数 ?2 ,Sn ? ? , 4. 解: S n ? ? ?2n ? 1, n为奇数 ? n ? 1 ? (?4) ? 4n ? 3, n为奇数 ? ? 2

S1 5 ? 2 9 ,S 2 2? ? 4 4S , S15 ? S22 ? S31 ? ?76

31

? 6 1,

17


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