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【名师解析】广东省佛山市佛山一中2015届高三9月月考数学(理)试题 Word版含解析

【名师解析】广东省佛山市佛山一中2015届高三9月月考数学(理)试题 Word版含解析


佛山市第一中学 2015 届高三 9 月考理数试题
【试卷综析】试题试卷结构稳定,考点分布合理,语言简洁,设问坡度平缓,整体难度适中. 注重基础. 纵观全卷,选择题、填空题比较平和,立足课本,思维量和运算量适当.内容丰 富,考查了重点内容,渗透课改,平稳过渡.针对所复习的内容进行考查,是优秀的阶段性测 试卷. 一、选择题: (本题共 8 小题,每小题 5 分,总分 40 分;每个小题仅有一个最恰当的选项, 请将你的答案填涂在答题卡上) 【题文】1、已知全集 U=R,集合 A={1,2,3,4,5},B=[3,+∞),则图 中阴影部分所表示的集合为 A.{0,1,2} B.{0,1} C.{1,2} D.{1} 【知识点】Venn 图表达集合的关系及运算.A1 【答案解析】C 解析:由已知中阴影部分在集合 A 中,而不在集合 B 中,故阴影部分所表 示的元素属于 A,不属于 B(属于 B 的补集),即(CRB)∩ A={1,2}.故选 C. 【思路点拨】由已知中 U 为全集,A,B 是集合 U 的子集,及图中阴影,分析阴影部分元 素满足的性质,可得答案. 【题文】 2 、设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于一、三象限的角平分线轴对称,

z1 ? 1 ? 2i ,则 z1 z2 ?
A. 4 ? 5i B. 4i C. 5i 【知识点】复数的代数表示法及其几何意义.L4 D. 5

【答案解析】C 解析:∵ 复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于一、三象限的角平分线轴对称, z1=1+2i,∴ z2=2+i,∴ z1z2=(1+2i) (2+i)=5i,故选:C. 【思路点拨】先求出 z2=2+i,再计算 z1z2. 【题文】3、下列说法正确的是 A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2=1,则 x≠1” 2 B.命题“?x≥0,x2+x-1<0”的否定是“?x0<0,x0 +x0-1≥0” C.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为假命题 D.若“ p ? q ”为真命题,则 p,q 中至少有一个为真命题 【知识点】复合命题的真假;四种命题间的逆否关系;命题的否定。A3 【答案解析】D 解析:对于 A:否命题为“若 x ≠1,则 x≠1”,故 A 错误; 2 对于 B:否定是“?x0≥0,x0 +x0﹣1≥0”,故 B 错误; 对于 C:逆否命题为:若“sin x≠sin y,则 x≠y”,是真命题,故 C 错误; A,B,C,都错误,故 D 正确, 故选:D. 【思路点拨】通过复合命题的定义,四种命题的关系,命题的否定,逐项进行判断. 【题文】4、若 x ? (2,4) ,则下列结论正确的是 A. 2 ? x ? log 2 x
x 2

2

B. x ? log 2 x ? 2
2

x

C. log 2 x ? x ? 2
2

x

D. x ? 2 ? log 2 x
2 x

【知识点】不等式比较大小.E1 【答案解析】D 解析:如图所示, 2 x 当 x∈(2,4) ,x >2 >4. 而 log2x<2. 2 x 综上可得:x >2 >log2x.故选:D.

【思路点拨】如图所示,当 x∈(2,4) ,x >2 >4.而 log2x<2.即可得出 【题文】5、设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x)+2.当 0≤x<2 时,f(x)=1,则 f(2014)= A.2013 B.2014 C.2015 D.2016 【知识点】抽象函数及其应用;函数的值.B1

2

x

【来.源:全,品…中&高*考* 网】

【答案解析】C 解析:因为 f(x+2)=f(x)+2,所以 f(2014)=f(2012)+2=f(2010) +4=…=f(0)+2014, 18 而当 0≤x<2 时,f(x)=1,则 f(2014)=1+2014=2015.故选 C.
8 【思路点拨】根据递推式 f(x+2)=f(x)+2 进行递推,结合当 0≤x<2 时,f(x)=1,从 8

16 14 12

而可求出所求.
6

【题文】6、已知函数 g ( x) ?| e ? 1 | 的图象如右图所示,则函数 y ? g ?( x) 图
6

x

10 8

8

8

象大致为 4

4
6

6
6

4
4

2

2
4

g(x) =

ex

1

2

2

2

25
5
10

20

15

10
5

5 2 4 6

5
10

10

5
10 5

5 10
5

10

10

5
2

5

10

2

2
2

A B 【知识点】函数的图象 B1 4
4 6

C
4

D

8 10

4

【答案解析】C 解析:根据函数图象可知当 x<0 时,切线的斜率小于 0,且逐渐减小, 12 6 14 当 x>0 时,切线的斜率大于 0,且逐渐增加,故选 C. 6
6
8

16 【思路点拨】根据导数的几何意义:表示切线斜率,结合原函数图象可得切线斜率的变化情
8

8

况,从而可得正确选项 【题文】7、设函数 D ( x) ? ?

8

18

?1,x 为有理数 ,关于函数 D ( x) 有以下四个结论: ?0,x 为无理数

① D ( x) 值域为[0,1];② D ( x) 是周期函数;③ D ( x) 是单调函数;④ D ( x) 是偶函数; 其中正确的结论个数为: A.0 B.1 C .2 【知识点】命题的真假判断与应用.A3 【答案解析】C 解析:解:∵ 函数 D(x)=

D.3



∴ D(x)值域为{0,1},故① 错误; ∵ D(x+1)=D(x) ,∴ T=1 为其一个周期,故② 正确; ∵ D( )=0,D(2)=1,D( )=0,显然函数 D(x)不是单调函数,故③ 错误; ∵ D(﹣x)=D(x) ,故 D(x)是偶函数,故④ 正确; 故正确的结论有 2 个,故选:C 【思路点拨】由函数值域的定义易知① 错误;由函数周期性定义可判断② 正确;由函数单调 性定义,易知③ 错误;由偶函数定义可证明④ 正确; 【题文】8、如图,对于曲线 Ψ 所在平面内的点 O,若存在以 O 为顶点的角 α,使得 α≥∠ AOB 对于曲线 Ψ 上的任意两个不同的点 A、 B 恒成立,则称角 α 为曲线 Ψ 的相对于点 O 的 “ 界角 ” ,并称其中最小的 “ 界角 ” 为曲线 Ψ 的相对于点 O 的 “ 确界角 ” .已知曲线 C :

? 3x 2 ?1 , x ? 0 ? (其中 e=2.71828…是自然对数的底数) ,O 为坐标原点,则曲 f ( x) ? ? 4 x ? e ? e , x?0
线 C 的相对于点 O 的“确界角”为 A.

? 3

B.

5? 12

C.

? 2

D.

7? 12

【知识点】分段函数的应用.B1 【答案解析】B 解析:画出函数 f(x)的图象,过点 O 作出两条直线与曲线相切,设它们 的方程分别为 y=k1x,y=k2x, 当 x>0 时,y′ =f′ (x)= ,设切点为(m,n) ,则对应的切线方程为



令 m=0,n=0,则 y=k1x 的倾斜角为 ,

,解得 m=e,即切线斜率 k1=

,则切线

当 x≤0 时,函数的导数 f′ (x)=

,设切点为(a,b) , (a<0)则切线斜率 k=f′ (a)=



则对应的切线方程为 y﹣( 令 a=b=0,则﹣( 则 y=k2x 的斜率 k2=f′ ( )= ﹣

)=

(x﹣a) , ,则 × = ,解得 a= , ,

?a,即 )=

,则切线 y=k2x 的倾斜角为

由两直线的夹角 θ=



=

,故选:B

【思路点拨】画出函数 f(x)的图象,过点 O 作出两条直线与曲线相切; ,再由两直线的夹 角公式即可得到所求的“确界角”. 二、填空题:(本题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分,请将你的答案写在答卷上相应位置) 【题文】9、 log16 8 ? (

8 ?3 ) = 125

2



【知识点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值.B6 B7 【答案解析】7 解析: = 故答案为:7. + = +

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= +

=7,

【思路点拨】根据对数函数的运算性质和幂的运算性质,化简计算即可. 【题文】10、

?

2

1

(2 x ? 1) 2 dx =________. x

【知识点】定积分 B13
2 2

【答案解析】π ﹣2 解析:

dx=

(4x+ +4)dx=(2x +lnx+4x)

=

(8+ln2+8)﹣(2+0+4)=10+ln2, 故答案为:10+ln2 【思路点拨】 根据定积分的计算法计算即可.

【题文】11、已知函数 f ( x) ? 数,则 a 的取值范围是

1 3 1 2 x ? ax ? (a ? 1) x ( a ? R )是区间 (1,4) 上的单调函 3 2


【知识点】利用导数研究函数的单调性.B12 【答案解析】(-∞,2]∪[5,+∞)
2

解析:∵ f(x)=

+(a﹣1)x

∴ f′ (x)=x ﹣ax+(a﹣1)=(x﹣1)[x﹣(a﹣1)], ∵ f(x)是区间(1,4)上的单调函数,∴ a - 1 1或 a - 1 ∴ a ? 2 或 a ? 5 ,故答案为(-∞,2]∪[5,+∞) .

4

【思路点拨】求导,判断函数的单调性,由题意可得 a ? 2 或 a ? 5 ,解得即可. 【题文】12、若函数 f ( x) ? ( x ? 2 x ? k ) ? 2( x ? 2 x ? k ) ? 3 恰有两个零点,则 k 的取
2 2 2

值范围为 ; 【知识点】函数的零点与方程根的关系. B9 2 2 2 【答案解析】(-2,2) 解析:∵ f(x)=(x +2x+k) +2(x +2x+k)﹣3 2 2 =(x +2x+k+3) (x +2x+k﹣1) 2 2 =[(x+1) +2+k](x +2x+k﹣1)恰有两个零点, 2 2 ∴ (x+1) +2+k=0 无解,x +2x+k﹣1=0 有 2 个解,
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x

40m

40m



,解得:﹣2<k<2,故答案为: (﹣2,2) .
2 2

【思路点拨】由题意得: (x+1) +2+k=0 无解,x +2x+k﹣1=0 有 2 个解,得不等式组,解 出即可. 【题文】13、 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于 300m2 的内接矩形花园 (阴影部分), 则其边长 x(单位 m)的取值范围是 【知识点】相似三角形的性质. L4
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.

【答案解析】

[10,30] 解析:设矩形的另一边长为 ym,由相似三角形的性质可得:

,解得 y=40﹣x, (0<x<40) ∴ 矩形的面积 S=x(40﹣x) , 2 ∵ 矩形花园的面积不小于 300m , ∴ x (40﹣x) ≥300, 化为 (x﹣10) (x﹣30) ≤0, 解得 10≤x≤30. 满足 0<x<40. 故其边长 x(单位 m)的取值范围是[10,30]. 故答案为[10,30]. 【思路点拨】设矩形的另一边长为 ym,由相似三角形的性质可得: 40) .矩形的面积 S=x(40﹣x) ,利用 S≥300 解出即可. 【题文】14、已知真命题:“函数 y ? f ( x) 的图像关于点 P (a, b) 成中心对称图形”的充要 条件为“函数 y ? f ( x ? a ) ? b 是奇函数”.则函数 f ( x) ? x ? 3 x ? x ? 2 图像的对称中
3 2

, (0<x<

心坐标为

.
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【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. A3 【答案解析】(-1,1) 解析:设 f(x)=x +3x ﹣x﹣2 的对称中心为点 P(a,b) 3 2 则函数 y=f(x+a)﹣b=(x+a) +3(x+a) ﹣(x+a)﹣2﹣b 是奇函数, 由 f(﹣x+a)﹣b=﹣[f(x+a)﹣b], ∴ f(﹣x+a)﹣b=﹣f(x+a)+b, ∴ f(﹣x+a)+f(x+a)﹣2b=0, 2 3 2 ∴ (6a+6)x +2a +6a ﹣2a﹣4﹣2b=0, ∴ ,解得: ,故答案为: (﹣1,1) .
3 2

【思路点拨】设 f (x) 的对称中心为点 P(a,b) ,由 f (﹣x+a) +f(x+a)﹣2b=0,得: (6a+6) x +2a +6a ﹣2a﹣4﹣2b=0,得方程组解出即可. 三、解答题:本题共 6 小题,共 80 分,请在答卷的相应位置作答) 【题文】15、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1( x ? R) (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (6 分) π (2)若 ? x∈?0, ?,都有 f(x)-c≤0,求实数 c 的取值范围. (6 分) 2? ? 【知识点】两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法.C4 【答案解析】 (1) ? ; (2) c ? 2 解析: (1)由 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1 ,得
2 3 2

f ( x) ? 3(2sin x cos x) ? (2 cos 2 x ? 1) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6
所以函数 f ( x) 的最小正周期为 ? ????6 分

?

4分

? ? 在区间 ? ? ? 上为增函数,在区间 ? ? ? ? 上为减函数,?10 分 (2)因为 f ( x) ? 2sin ? 0, , ? 2x ? ? ? ? 6? ? ? 6? ? ?6 2? ?
又 f (0) ? 1, f ?

?? ? ? ? 2, ?6?

?? ? f ? ? ? ?1 , ?2?
????11 分

所以函数 f ( x) 在区间 ? 0, 故 c ? f(x) max ? 2 。

? ?? 上的最大值为 2,最小值为-1 ? 2? ?

????12 分

【思路点拨】 (1)函数 f(x)=2 函数 f(x)的最小正周期; (2)先求得 f(x)=2sin(2x+ 数,f(0)=1,f( )=2,f(

sinxcosx+2cos x﹣1 可化简为 2sin(2x+

2

) ,从而可求

)在区间[0,

]上为增函数,在区间[



]上为减函

)=﹣1,所以函数 f(x)在区间[0,

]上的最大值为 2,

从而可求实数 c 的取值范围. 【题文】16、(本小题满分 12 分) 如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, DE ? 平面 ABCD , AF // DE ,

DE ? 3 AF , BE 与平面 ABCD 所成角为 60 0 .
⑴求证: AC ? 平面 BDE ; (5 分) ⑵求二面角 F ? BE ? D 的余弦值; (7 分) 【知识点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定.G10 【答案解析】 (1)见解析; (2)二面角 F ? BE ? D 的余弦值为 解析:⑴证明: 因为 DE ? 平面 ABCD , AC ? 面 ABCD 所以 DE ? AC . ????????2 分 因为 ABCD 是正方形,所以 AC ? BD , 又 BD, DE 相交且都在面 BDE 内, 从而 AC ? 平面 BDE . ????????5 分 ⑵解:因为 DA, DC , DE 两两垂直, 所以建立空间直角坐标系 D ? xyz 如图所示. 因为 DE ? 面 ABCD ,所以 BE 与平面 ABCD 所 成角就是 ?EBD , 已知 BE 与平面 ABCD 所成角为 60 0 , 即 ?DBE ? 60 , ???????6 分

13 . 13

ED ? 3. DB 由 AD ? 3 可知 DE ? 3 6 , AF ? 6 . 则 A(3, 0, 0) , F (3, 0, 6) , E (0, 0,3 6) , B (3,3, 0) , C (0,3, 0) ,
所以 所以 BF ? (0, ?3, 6) , EF ? (3, 0, ?2 6) , 设平面 BEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? 令z ? ????????8 分 ,即 ?

? ?n ? BF ? 0 ? ?n ? EF ? 0

? ??3 y ? 6 z ? 0 ?3 x ? 2 6 z ? 0 ?



6 ,则 n ? (4, 2, 6) .
n ? CA n CA 6 13 . ? 13 3 2 ? 26

???????10 分

因为 AC ? 平面 BDE ,所以 CA 为平面 BDE 的法向量, CA ? (3, ?3, 0) , 所以 cos? n, CA? ?

?

???????11 分

因为二面角为锐角,所以二面角 F ? BE ? D 的余弦值为

13 .??????12 分 13

【思路点拨】 (Ⅰ ) 因为 DE⊥ 平面 ABCD, 所以 DE⊥ AC. 因为 ABCD 是正方形, 所以 AC⊥ BD, 从而 AC⊥ 平面 BDE; (Ⅱ ) 建立空间直角坐标系 D﹣xyz, 分别求出平面 BEF 的法向量为 和 平面 BDE 的法向量,利用向量法能求出二面角的余弦值. 【题文】17、 (本小题满分 14 分) 某公司从一批产品中随机抽出 60 件进行检测. 下图是根据抽样检测后的产品净重(单 位: 克) 数据绘制的频率分布直方图, 其中产品净重的范围是[96, 106], 样本数据分组为[96, 98) ,[98,100),[100,102),[102,104),[104,106]. (1)求图中 x 的值,并根据频率分布直方图估计这 60 件抽样产品净重的平均数、众数 和中位数; (5 分) (2)若将频率视为概率,从这批产品中有放回地随机抽取 3 件,求至多有 2 件产品的净 重在[96,98)的概率; (3 分) (3)若产品净重在[98,104)为合格产品,其余为不合格产品. 从这 60 件抽样产品中任 选 2 件,记 ? 表示选到不合格产品的件数,求 ? 的分布列及数学期望。 (6 分)

【知识点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图.K6 【答案解析】 (1)平均数为 101.3(克) ;众数为 101;设中位数为 (2)0.999(3)见解析.
2分



解析: (1) 由频率分布直方图知, 解得 x ? 0.05 . ? ( x ? 0.075 ? 0.1 ? 0.125 ? 0.15) ? 2 ? 1 , 故估计这 60 件抽样产品净重的平均数为

97 ? 0.1 ? 99 ? 0.2 ? 101? 0.3 ? 103 ? 0.25 ? 105 ? 0.15 ? 101.3 (克). ???4 分 众数为 101. ??????????????????????????5 分 设 中 位 数 为 a , 则 0.1? 0.2 ? (a ? 100)? 0.15? 0.5 , 解 得
3 (2)恰好抽取到 3 件产品的净重在 ?96,98 ) 的概率为 C3 ? 0.13 ? 0.001 ,

1 a ? 101 . ????????6 分 3

故至多有 2 件产品的净重在 ?96,98 ) 的概率为 1 ? 0.001 ? 0.999 . ????????9



(3)这 60 件抽样产品中,不合格产品有 60 ? (0.1 ? 0.15) ? 15 件,合格产品有 45 件. ? 的可能取值为 0,1, 2,3 . ?10 分

?13 分

E? ? 0 ?

33 45 7 59 1 ? 1? ? 2? ? ? . ?????????????14 分 59 118 118 118 2

【思路点拨】 (1)运用频率分布直方图,求解即可. (2)根据概率分布关系,结合对立事件 求解运算. (3)求出随机变量的取值,判断求解对应的概率的值,再求期望的数值. 【题文】18、(本小题满分 14 分) 某商场销售某件商品的经验表明, 该商品每日的销量 y(单位: 千克) 与销售价格 x(单 位:元/千克)满足关系式 y ?

a ? 10( x ? 6) 2 ,其中 3 ? x ? 6 , a 为常数。已知销售价 x?3

格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克。 (1)求实数 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得 的利润最大。 【知识点】函数模型的选择与应用;利用导数研究函数的单调性.B12
菁B

【答案解析】 (1) a ? 2 (2) x ? 4 解析: (1)根据题意可得,当 x ? 5 时, y ? 11 ,代入解析式得:

a ? 10 ? 11 ,所以 a ? 2 ; 2

????4 分

(2)因为 a ? 2 ,所以该商品每日销售量为: y ? 每日销售该商品所获得的利润为:

2 ? 10( x ? 6) 2 , (3 ? x ? 6) x?3

? 2 ? f ( x) ? ( x ? 3) ? ? 10( x ? 6) 2 ? ? 10( x ? 3)( x ? 6) 2 ? 2 , (3 ? x ? 6) ?x ?3 ?
所以 f ( x) ? 10[( x ? 6) ? 2( x ? 3)( x ? 6)] ? 30( x ? 6)( x ? 4)
/ 2

??8 分

??10 分

所以, x, f ( x), f ( x) 的变化情况如下表:

'

x
f / ( x)
f ( x)

(3,4) + 递增

4 0 极大值 42

(4,6) 递减

由上表可得, x ? 4 是函数在区间(3,6)上的极大值点,也是最大值点; 所以当 x ? 4 时,函数 f ( x) 取得最大值 42; 因此,当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大。 ??14 分

【思路点拨】 (1)由 f(5)=11 代入函数的解析式,解关于 a 的方程,可得 a 值; (2)商场 每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润, 可得日销售量的利润函 数为关于 x 的三次多项式函数, 再用求导数的方法讨论函数的单调性, 得出函数的极大值点, 从而得出最大值对应的 x 值. 【题文】19、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (1)若 a =

1 ? ax 2 (a ? R) , ex

1 ,求函数 f ( x) 的极值; 3

(2)求函数 f ( x) 的单调区间。 【知识点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.B12 【答案解析】 (1)极大值 f(﹣1)= 解析:f(x)的定义域为 R,f ′(x)= ,极小值 f(3)=﹣
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. (2)见解析

ax2―2ax―1 . ex

3―x2 x2―2x―3 1 (1)若 a= ,则 f (x)= x ,f ′(x)= . 3 3e 3ex 令 f ′(x)=0,解得 x=-1 或 x=3.????2 分 当 x 变化时,f ′(x),f (x)的变化情况如下表: x f ′(x) f(x) (-∞,-1) + 递增 -1 0 极大值 (-1,3) - 递减 3 0 极小值 (3,+∞) + 递增 ??4 分 -2 2e ∴当 x=-1 时,f(x)取得极大值 f(-1)= ,当 x=3 时,f(x)取得极小值 f(3)= 3 .?6 分 3 e (2) 设 g(x)=ax2―2ax―1 1 1 ①若 a=0,则 f (x)= x,f ′(x)=- x<0,f (x)的减区间为 (-∞,+∞). e e ②若 a>0,则Δ =4a2+4a>0,g(x)=ax2―2ax―1 的两个零点为 x1=1― a2+a .令 f ′(x)<0 解得 x1<x< x2,所以 f(x)的减区间为(x1,x2) a ③若 a<0, i)当―1≤a<0 时,则Δ ≤0,g(x)≤0 恒成立, f ′(x)≤0 恒成立,所以 f (x)的减区间为 (-∞, +∞). ii)当 a<―1 时,则Δ >0,令 f ′(x)<0 解得 x< x2 或 x> x1,所以 f(x)的减区间为(-∞,x2)和(x1, +∞) . a2+a ,x2=1+ a

故当 a>0 时,f (x)的减区间为(x1,x2) ; 当―1≤a≤0 时,f (x)的减区间为 (-∞,+∞); 当 a<―1 时, f(x)的减区间为(-∞,x2)和(x1,+∞) . 【思路点拨】 (1)利用导数求函数的极值,求导 f′ (x)= 得 x=﹣1 或 x=3,即可得出函数的极值; (2)利用导数判断函数的单调性,注意对 a 分类讨论. 【题文】20、 (本小题满分 14 分) 已知函数错误!未找到引用源。(a 是常数,错误!未找到引用源。). (1)若错误!未找到引用源。是函数错误!未找到引用源。的极值点,求曲线错误! 未找到引用源。在点错误!未找到引用源。处的切线方程; (2)当错误!未找到引用源。时,方程错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。上有两解,求实数错误!未找到引用源。的取值范围; (3)求证: 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,令 f′ (x)=0,解

n ? N *, ln(en) ? 1 ?

1 1 1 ? ??? 2 3 n

【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程.B12 【答案解析】 (1) x ? y ? 2 ? 0 (2)错误!未找到引用源。.(3)见解析 解析: (1) 错误!未找到引用源。 .切线方程为 x ? y ? 2 ? 0 错误!未找到引用源。.…….4 分 (2)当错误!未找到引用源。时, f ( x) ?

1 x ?1 ? ln x ? 1, f ?( x) ? 2 错误!未找到引 x x

用源。,其中错误!未找到引用源。, 当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。;错误!未找到引用源。时,错 误!未找到引用源。,????6 分 ∴错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。 上唯一的 极小值点,∴ 错误!未找到引用源。 . ??8 分 又 f ( ) ? e ? 2, f (e 2 ) ?

1 e

1 1 ? ln e 2 ? 1 ? 2 ? 1 错误!未找到引用源。错误!未找到 2 e e

引用源。, 综上,所求实数错误!未找到引用源。的取值范围为错误!未找到引用源。. ????10 分 (3) ln(en) ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 等价于 ln n ? ? ? ? ? 2 3 n 2 3 n

若错误!未找到引用源。时,由(2)知错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。 上为增函数, 当错误!未找到引用源。时,令错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。,故 错误!未找到引用源。,

n 1 ? .…….13 分 n ?1 n 2 3 n 1 1 1 故 ln ? ln ? ? ? ln ? ? ?? ? 1 2 n ?1 2 3 n 2 3 n 1 1 1 即 ln( ? ? ? ? ) ? ? ?? ? 1 2 n ?1 2 3 n 1 1 1 1 1 1 ln n ? ? ? ? ? ,即 ln(en) ? 1 ? ? ? ? ? 。…….14 分 2 3 n 2 3 n
即错误!未找到引用源。,∴ln 【思路点拨】 (1)先根据 x=2 是函数 f(x)的极值点求出 a 的值,然后利用导数求出切线 的斜率,从而可求出切线方程; (2)利用导数研究函数的单调性,求出函数 f(x)的最小值,以及区间端点的函数值,结 合图象可得 m 的取值范围; (3) 在[1,+∞)上为增函数,可证得 等价于 ,若 a=1 时,由(2)知 f(x) ,从而可得结论.


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