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(教师用书)高中数学 第四章 导数应用章末归纳提升课件 北师大版选修1-1_图文

(教师用书)高中数学 第四章 导数应用章末归纳提升课件 北师大版选修1-1_图文

导数与函数的单调性 对函数单调性的讨论,往往先确定定义域,然后在定义 域内据 f′(x)的符号处理问题.在这里充分体现了数形结合的 数学思想,应重视数学思想方法的归纳提炼,并且它比用定 义法更为简便,应提高应用导数法解决问题的能力,优化解 题思想、简化解题过程. ex 设 f(x)= ,其中 a 为正实数.若 f(x)为 R 1+ax2 上的单调函数,求 a 的取值范围. 【思路点拨】 函数 f(x)是 R 上的单调函数, 即导函数 f′(x) 在 R 上恒大于等于 0 或恒小于等于 0. ex(1+ax2-2ax) 【规范解答】 f′(x)= (1+ax2)2 ①. 若 f(x)为 R 上的单调函数,则 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0. 结合①式与已知条件 a>0 可知,ax2-2ax+1≥0 在 R 上 恒成立.对于方程 ax2-2ax+1=0,则有 Δ=4a2-4a=4a(a -1)≤0,解得 0<a≤1.经验证,a=1 符合题意. 所以 a 的取值范围为(0,1]. 若函数 f(x)=-x3+ax 在区间(-1,1)上是增加的,则 实数 a 的取值范围是________. 【解析】 易知 f′(x)=-3x2+a,当 x∈(-1,1)时,令 f′(x)≥0, 即-3x2+a≥0, 即 a≥3x2, 又 x∈(-1, 1), 故 a≥3. 当 a=3 时,f(x)=-x3+3x,f′(x)=-3x2+3,在区间(-1, 1)上,显然符合题意.所以实数 a 的取值范围是[3,+∞). 【答案】 [3,+∞) 导数与函数的极值、最值 用导数求函数的极值、最值是高中学习的重点,也是高 考的热点.最值可根据函数的单调性、基本不等式的性质等 知识来求.而用导数求最值,是一种重要而又简单的方法, 利用导数作工具,判断函数的单调性,进而求出极值和区间 端点的函数值,最后比较大小,得到函数的最值. 已知函数 f(x)=x3+mx2-m2x+1(m 为常数,且 m>0)有极大值 9. (1)求 m 的值; (2)若斜率为-5 的直线是曲线 y=f(x)的切线,求此直线 方程. 【思路点拨】 根据函数极值的求解步骤求出 m 的值. 根 据导数的几何意义求得切线的方程. 【规范解答】 (1)f′(x)=3x2+2mx-m2=(x+m)(3x-m) 1 =0,得 x=-m 或 x= m. 3 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表: 从而可知, 当 x=-m 时, 函数 f(x)取得极大值 9, 即 f(- m)=-m3+m3+m3+1=9, ∴m=2. (2)由(1)知,f(x)=x3+2x2-4x+1,依题意知 f′(x)=3x2+ 4x-4=-5, 1 ∴x=-1 或 x=- . 3 1 68 又 f(-1)=6,f(- )= , 3 27 68 1 ∴切线方程为 y-6=-5(x+1),或 y- =-5(x+ ). 27 3 即 5x+y-1=0 或 135x+27y-23=0. 设函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在 x=1 和 x=-1 处均有极 值,且 f(-1)=-1 求 a+b+c 的值. 【解】 f′(x)=3ax2+2bx+c. 因为函数 f(x)在 x=1 和 x=-1 处均有极值,所以 f′(1) =0,即 3a+2b+c=0 ①, f′(-1)=0,即 3a-2b+c=0 ②. 由 f(-1)=-1, 得-a+b-c=-1 ③. 联立①②③, 1 3 解得 a=- ,b=0,c= . 2 2 1 3 故 a+b+c=- +0+ =1. 2 2 导数的实际应用 利用导数求实际问题的最大(小)值时,应注意的问题: (1)求实际问题的最大(小)值时,一定要从问题的实际意 义去考查,不符合实际意义的值应舍去. (2)在实际问题中,由 f′(x)=0 常常仅解到一个根,若能 判断函数的最大(小)值在 x 的变化区间内部得到, 则这个根处 的函数值就是所求的最大(小)值. 请你设计一个包装盒, 如图所示, ABCD 是边长 为 60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的 等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点 重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状包装盒,E, F 在 AB 上, 是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点, 设 AE=FB=x(cm). (1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应 取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何 值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 【思路点拨】 根据侧面积和体积公式建立侧面积和体 积关于 x 的函数,利用配方法或导数法求出最值. 【规范解答】 设包装盒的高为 h cm, 底面边长为 a cm. 60-2x 由已知得 a= 2x,h= = 2(30-x),0<x<30. 2 (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800, 所以当 x=15 时,S 取得最大值. (2)V=a2h=2 2(-x3+30x2),V′=6 2x(20-x). 由 V′=0,得 x=0(舍)或 x=20. 当 x∈(0,20)时,V′>0; 当 x∈(20,30)时,V′<0. 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最大值. h 1 1 此时 = ,即包装盒的高与底面边长的比值为 . a 2 2 某种型号的电器降价 x 成(1 成为 10%), 那么销售数量 就增加 mx 成(m∈R+).某商店此种电器的定价为每台 a 元, 则可以出售 b 台, 若经降价 x 成后, 此种电器营业额为 y 元. 试 5 建立 y 与 x 的函数关系,并求 m= 时,每台降价多少成其营 4 业额最大? 【解】 由条件知降价后的营业额为 y=a(1-x)b(1+mx) =ab[

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