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优化方案2017高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性新人教A版必修1_图文

优化方案2017高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性新人教A版必修1_图文

第一章 集合与函数概念
1 . 3 . 2 奇偶性

1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.掌 握判断函数奇偶性的方法,了解奇偶性与函数图象对称性之间 的关系. 3.会利用函数的奇偶性解决简单问题.

函数奇偶性的概念

偶函数

奇函数

对于函数 f(x)定义域内任意一个 x,都有

定 条件

f(-x)=__f_(x_)_

f(-x)=__-f_(_x_)



结论 函数 f(x)叫做偶函数 函数 f(x)叫做奇函数

图象特征 图象关于_y_轴___对称 图象关于_原__点__对称

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称.( √ ) (2)函数 f(x)=x2 的图象关于原点对称.( × ) (3)对于定义在 R 上的函数 f(x),若 f(-1)=-f(1),则函数 f(x)一定是奇函数.( × ) (4)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则 f(-x)+f(x)=0. (√ )

2.若函数 y=f(x),x∈[-2,a]是偶函数,则 a 的值为( B )

A.-2

B.2

C.0

D.不能确定

3.下列函数是偶函数的是( B )

A.y=x

B.y=2x2-3

C.y=

1 x

D.y=x2,x∈[0,1]

4.函数 f(x)=x3 在定义域 R 上是___奇_____函数(填“奇”或 “偶”).
5.若函数 f(x)是奇函数且 f(2)=3,则 f(-2)=__-__3____.

探究点一 函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x12; (2)f(x)= x2-1+ 1-x2; (3)f(x)=x-x 1.

[解] (1)函数 f(x)=x12的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}, 因为对定义域内的每一个 x, 都有 f(-x)=(-1x)2=x12=f(x), 所以函数 f(x)=x12为偶函数.

(2)因为函数 f(x)的定义域为{-1,1}, 关于原点对称,且 f(x)=0, 又因为 f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x), 所以 f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)显然函数 f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,所 以 f(x)是非奇非偶函数.

(1)定义法:

函数奇偶性判断的方法

(2)图象法: 若函数的图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图 象关于 y 轴对称,则函数为偶函数.此法多用在解选择、填空 题中.

1.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x2(x2+2); (2)f(x)=|x+1|-|x-1|; (3)f(x)= 1-x x2; (4)f(x)=?????x-+x1+,1x,>x0<,0.

解:(1)因为 x∈R,所以-x∈R. 又因为 f(-x)=(-x)2[(-x)2+2]=x2(x2+2)=f(x), 所以 f(x)为偶函数. (2)因为 x∈R, 所以-x∈R, 又因为 f(-x)=|-x+1|-|-x-1| =|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|) =-f(x), 所以 f(x)为奇函数.

(3)f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1].

即有-1≤x≤1 且 x≠0,

则-1≤-x≤1,且-x≠0,

又因为 f(-x)=

1-(-x)2 -x

=- 1-x x2=-f(x).

所以 f(x)为奇函数.

(4)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 当 x>0 时,-x<0, f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x); 当 x<0 时,-x>0, f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x). 综上可知,对于 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有 f(-x)=f(x), f(x)为偶函数.

探究点二 函数奇偶性的应用 (1)若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a= ____0____. (2)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=2x(1 +x),求函数 f(x)的解析式.

[解] (1)法一:显然 x∈R,由已知得 f(-x)=(-x)2-|-x +a|=x2-|x-a|.又 f(x)为偶函数,所以 f(x)=f(-x),即 x2-|x +a|=x2-|x-a|,即|x+a|=|x-a|.
又 x∈R,所以 a=0.故填 0. 法二:由题意知 f(-1)=f(1),则|a-1|=|a+1|,解得 a= 0.故填 0. (2)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以 f(-x)=-f(x),f(0)=0, 当 x>0 时,-x<0,所以 f(x)=-f(-x)=2x(1-x). 所以函数 f(x)的解析式为 f(x)=?????22xx( (11- +xx) ), ,xx≥<00,.

[变条件]若把本例(2)中“奇函数”变为“偶 函数”,其他条件不变,当 x>0 时,则 f(x)=_2_x_(_x_-__1_) .
解析:因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 所以 f(-x)=f(x).当 x>0 时,-x<0, 所以 f(x)=f(-x)=-2x(1-x)=2x(x-1).

(1)利用奇偶性求函数解析式的思路 ①“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式,x 就设在哪个区 间内. ②利用已知区间的解析式代入. ③利用 f(x)的奇偶性写出-f(x)或 f(-x),从而解出 f(x).

(2)利用奇偶性求参数值 ①定义域含参数:奇、偶函数 f(x)的定义域为[a,b],根据 定义域关于原点对称,利用 a+b=0 求参数. ②解析式含参数:根据 f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)列式, 比较系数即可求解.

2.(1)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0

时,f(x)=2x2-x,则 f(1)=( A )

A.-3

B.-1

C.1

D.3

(2)已知 f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且满足 f(x)+g(x)=

x-1 1,求 f(x),g(x).

解:(1)法一:当 x>0 时,-x<0,则 f(-x)=2(-x)2-(- x)=2x2+x,又 f(x)为 R 上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x),即 当 x>0 时,f(x)=-f(-x)=-2x2-x,则 f(1)=-2-1=-3.
法二:因为函数 f(x)为奇函数,所以 f(1)=-f(-1)=- [2×(-1)2-(-1)]=-3.

(2)由 f(x)+g(x)=x-1 1,① 把 x 换成-x,得 f(-x)+g(-x)=-x1-1, 因为 f(x)为偶函数,所以 f(-x)=f(x). 又因为 g(x)为奇函数,所以 g(-x)=-g(x), 所以 f(x)-g(x)=-x+1 1.② 由①②得 f(x)=x2-1 1,g(x)=x2-x 1.

探究点三 函数奇偶性与单调性的综合应用(规范解答) (本题满分 12 分)已知函数 f(x)=a3xx2++b2是奇函数,
且 f(2)=53. (1)求实数 a,b 的值. (2)判断函数 f(x)在(-∞,-1]上的单调性,并用定义证明.

[解] (1)因为 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x). (1 分) 所以-ax32x++2b=-a3xx2++b2=-ax32x+-2b,(3 分)
解得 b=0.(4 分) 又因为 f(2)=53,所以4a+ 6 2=53, 解得 a=2.(6 分)

(2)由(1)知 f(x)=2x32+x 2=23x+32x,f(x)在(-∞,-1]上为增 函数,(7 分)
证明:设 x1<x2≤-1, 则 f(x1)-f(x2)=
=23(x1-x2)·x1xx12x-2 1.(9 分) 因为 x1<x2≤-1,

所以 x1-x2<0,x1x2>1. 所以 f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2).(11 分)

解答此类问题需要根据奇、偶函数的定义建立关于参数的 恒等式,通过比较等式两边来确定关于参数的方程.解题时要 挖掘隐含条件,具备式子变形能力.如本例由奇函数要挖掘出 f(-x)=-f(x)这一隐含条件.

3.(1)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)上单调递减, 则 f(1)和 f(-10)的大小关系为( A )
A.f(1)>f(-10) B.f(1)<f(-10) C.f(1)=f(-10) D.f(1)和 f(-10)关系不定

(2)设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(1)=0,则不 等式f(x)-xf(-x)<0 的解集为( C )
A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)

解析:(1)因为 f(x)是偶函数,所以 f(-10)=f(10).又 f(x)
在[0,+∞)上单调递减,且 1<10,所以 f(1)>f(10),即 f(1)>f(-
10). (2)因为 f(x)为奇函数,f(x)-xf(-x)<0,即f(xx) <0, 因为 f(x)在(0,+∞)上为减函数且 f(1)=0, 所以当 x>1 时,f(x)<0. 因为奇函数图象关于原点对称,所以在(-∞,0)上 f(x)为
减函数且 f(-1)=0, 即 x<-1 时,f(x)>0. 综上使f(xx)<0 的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).

1.函数奇偶性的判断 奇 函 数 ?f( - x) = - f(x)?f(x) + f( - x) = 0 , 偶 函 数 ?f(-x)=f(x)?f(x)-f(-x)=0. 即奇函数满足互为相反数的两个自变量的函数值也互 为相反数,偶函数满足互为相反数的两个自变量的函数值 相等.

2.奇偶函数定义中 x 的再认识 定义要求对函数 f(x)定义域中的任意 x,都有 f(-x)= f(x)(或 f(-x)=-f(x)),则称 f(x)为偶(或奇)函数. (1)x 必须任意. (2)因为函数 y=f(x)的奇偶性考查的是 f(-x)与 f(x)的关系, 所以 f(x)与 f(-x)都应有意义,即 x 与-x 都应在函数的定义域 内,所以定义域在数轴上关于原点对称.否则,这个函数一定 不具有奇偶性,例如函数 y=x2 在 R 上是偶函数,但在区间[- 1,2]上既不是奇函数,也不是偶函数.

3.函数的奇偶性和单调性的区别 函数的奇偶性是相对于函数的定义域而言的,而函数的单 调性是相对于定义域的某个子集而言的,从这个意义上讲,函 数的单调性属于“局部性质”,而函数的奇偶性则属于“整体性 质”.

1.已知 y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则 F(x) 是( B )
A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 解析:F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x). 又 x∈(-a,a)关于原点对称, 所以 F(x)是偶函数.

2.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函

数是( B )

A.y=x3

B.y=|x|+1

C.y=-x2+1

D.y=-2x

解析:对于函数 y=|x|+1,f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),

所以 y=|x|+1 是偶函数,当 x>0 时,y=x+1,所以在(0,+∞)

上单调递增.另外函数 y=x3 不是偶函数,y=-x2+1 在(0,+

∞)上单调递减,y=-2x不是偶函数.故选 B.

3.奇函数 f(x)在区间[0,+∞)上的图象如图,则函数 f(x) 的增区间为_(_-__∞_,__-__1_]_,__[_1_,__+__∞_).
解析:奇函数的图象关于原点对称,可知函数 f(x)的增区 间为(-∞,-1],[1,+∞).

4.已知函数 f(x)=x+mx ,且 f(1)=3. (1)求 m 的值; (2)判断函数 f(x)的奇偶性. 解:(1)由题意知,f(1)=1+m=3, 所以 m=2. (2)由(1)知,f(x)=x+2x,x≠0. 因为 f(-x)=(-x)+-2x=-???x+2x???=-f(x), 所以函数 f(x)为奇函数.


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