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2010学年高三年级第一次练习数学试卷理参考答案

2010学年高三年级第一次练习数学试卷理参考答案

嘉定区 2010 学年高三年级第一次质量调研 数学试卷(理)参考答案与评分标准

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内

直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
1.答案:1. 因 (1? i)(1? ai) ? 1? a ? (1? a)i 是实数,所以 a ? 1.

2.答案:[0 , 2] .

由 2x ? x2 ? 0 ,得 x2 ? 2x ? 0 ,所以 x ?[0 , 2].

3.答案:1. a2 ? a1 ? 1, a4 ? a1 ? 3 ,由已知得 a22 ? a1a4 ,即 (a1 ? 1)2 ? a1 (a1 ? 3) ,解得 a1 ? 1 . 4.答案: ? 7 .
25

由 sin?? ? ? ? ?? ? 3 ,得 cos? ? 3 ,所以 cos2? ? 2cos2 ? ?1 ? ? 7 .

?2 ? 5

5

25

5.答案: ? 2 .

解法一:函数 f (x) ? ? x 的反函数为 f ?1 (x) ? x 2 ( x ? 0 ),由 f ?1 (x) ? 4 得 x2 ? 4 ,

因为 x ? 0,故 x ? ?2 . 解法二:由 f ?1 (x) ? 4 ,得 x ? f (4) ? ?2 .

6.答案: arccos 5 . 10

因为 AB ∥ A1B1 ,故 ?BAC1 就是异面直线 AC1 与 A1B1 所成的角,连结 BC1 ,在 ABC1 中,

1

1

AB ? 1, AC1 ? BC1 ?

AB

5 ,所以 cos?BAC1

?

2 AC1

?

2 ? 5. 5 10

7.答案: 0 .

因 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,所以 f (0) ? 0 ,在等式 f (x ? 2) ? ? f (x) 中令 x ? ?2 ,

得 f (?2) ? 0 .

8.答案: 2 .

(1 ? 2 x )9 展开式的第 3 项为T3

?

C

2 9

(

?2

x

)

2

?

288

,解得 x

?

3 2



所以 lim ?? 1 n??? x

?

1 x2

???

1 xn

?? ?

?

lim

? ?

2

n???? 3

? ?? 2 ??2 ?3?

?

?

?

??

2

??

n

? ?

? 3 ? ??

?

lim
n??

2 3

? ?1

?

??

2

??

n

? ?

?? ? 3 ? ??

1? 2

?

2.

3

9.答案:1.

2 35 三 阶 行 列 式 x ? a 4 1 中 元 素 3 的 余 子 式 为 f (x) ? x ? a 1 , 由 f (x) ? 0 得
2x 2 1x

x2 ? ax ? 2 ? 0 ,由题意得 ?1? b ? ?a ,所以 a ? b ? 1. 10.答案:16 .

a ? 1 ,满足 a ? 3,于是 b ? 21?1 ? 4 ; a ? 2 ,满足 a ? 3, b ? 22?1 ? 8; a ? 3,满足

a ? 3,则 b ? 23?1 ? 16 ; a ? 4 ,不满足 a ? 3,则输出 b , b ? 16 .

11.答案: 1 . 2

满足条件的选法可分为三类:

A



2

人,

B



C

组各1

人,有

C52

C31C

1 2

种选法;

B



2

人,

A

、C

组各1人,有

C51C32

C

1 2

种选法;

C



2

人,

A



B

组各1人,有

C51C31C

2 2

种选法.所



A



B



C

三组的学生都有的概率

P

?

C52C31C21

?

C51C32C21 C140

? C51C31C22

? 105 ? 1 . 210 2

12.答案: 5? . 6

由题意, cos2

2?

?

1 6

且 sin 2

2?

?

1 2



?a ?

?

b

?

?ab ? 2

4

3

cos2?



?1 ??b ?? 1 ??b

? 1 ? ?2 sin a
?1 ?1 a2

2?



所以 2 3 cos 2? ? ?2sin 2? ,tan 2? ? ? 3 ,因 2? ? (? , 2? ) ,故 2? ? 5? ,? ? 5? .

3

6

1由|(3aa??.?f|?x?(答1x)?案?),(?a?:所f?(①以y?y?))③①??a?④、2x?.③?? y?、(,a?④?得x?都)[?x能?(?a?使?2等y(?a?)式,? x?成当) 立? aa??.]??[0?y?

?

? 2(a

?

? y)

?

? a]

?

? x

?

时,等式成立;当

? y ? a

,化简得

?

? 0

时,有

? a

2

? 1 ,即

14.答案: 4 .

t ? a1 ? t ? 1,则 a2 ? a1 ? t ? 1 ? t , a3 ? t ? 2 ? a2 ? 2t ? 2 ? a1 ? t ? 1 ? t ,

a4 ? a3 ? t ? t ? 2 ? a1 ? t , a5 ? t ? 2 ? a4 ? a1 .所以{an } 是以 4 为周期的周期数列.

(第 14 题也可取满足条件的 t 和 a1 的特殊值求解)

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生必须 在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.C.16.A.17.D.16.B.
15.由 a : b : c ? 3 : 4 : 5 可得 a ,b ,c 成等差数列;若 a ,b ,c 成等差数列,则 2b ? a ? c ,

由勾股定理, a2 ? b2 ? c2 ,得 a 2 ? ?? a ? c ??2 ? c2 , 5a2 ? 2ac ? 3c2 ? 0 ,解得 a ? 3 ,

?2?

c5

令 a ? 3k ( k ? 0 ),则 c ? 5k ,得 b ? 4k .所以 a : b : c ? 3 : 4 : 5 .
16.①错.不在同一直线上的三点才能确定一个平面;②错.若圆锥的侧面展开图是一个圆 面,则可得圆锥底面半径的长等于圆锥母线的长;③错.如果三棱锥的底面是等边三角形, 一条侧棱垂直于底面且长度等于底面边长,则三个侧面都是等腰三角形;④错.若这两点是 球的直径的两个端点,过这两点可作无数个大圆.

17.作出函数 y ? 2 x 与 y ? x 2 ,可发现两函数图像在第二象限有一个交点,在第一象限有

两个交点(第一象限的两个交点是 (2 , 4) 和 (4 , 16) ).

18.若取 x1、 x2 为区间[2 , 4]的两个`端点,则 f (x1) f (x2 ) ? 8 .若 C ? 8 ,取 x1 ? 2 , f (x1) ? 4 ,对任意 x2 ?[2 , 4] , f (x2 ) ? 16 ,于是 f (x1) f (x2 ) ? 4 f (x2 ) ? 8 ; 若 C ? 8 ,取 x1 ? 4 , f (x1 ) ? 16 ,对任意 x2 ?[2 , 4] , f (x2 ) ? 4 ,于是
f (x1) f (x2 ) ? 16 f (x2 ) ? 8 .所以 C ? 8 .

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的

规定区域内写出必要的步骤.

19.(本题满分 12 分)

A

解:设半圆的半径为 r ,在△ ABC中,

?ACB ? 900 , ?ABC ? 300 , BC ? 3 , 连结 OM ,则 OM ? AB,……(2 分) 设 OM ? r ,则 OB ? 2r ,…………(4 分) 因为 BC ? OC ? OB,所以 BC ? 3r ,
即 r ? 3 .………………(6 分) 3

M

C

O

N

B

AC ? BC ? tan 300 ? 1.

阴影部分绕直线 BC 旋转一周所得旋转体为底面半径 AC ? 1,高 BC ? 3 的圆锥中间挖掉

一个半径 r ? 3 的球.………………(8 分) 3

所以,V

? V圆锥

? V球

?

1 ?? 3

?12

?

3

?

4 3

?

?

?

????

3 3

????

3

? 5 3? 27

.…………(12 分)

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

解:(1)若 ?

?

1,则

a?

?

????1

,

cos?? ?

x

?

? 6

?? ?

????

? ,b

?

????

2

,

2 s in?? ?

x

?

? 6

?? ?

????

,由

? a



? b

的充要条

件知,存在非零实数

?

,使得

? b

?

?

?

? a

,即

?2 ? ? ? ???2 s in???

x

?

? 6

?? ?

?

?

?

cos?? ?

x

?

? 6

?? ?



所以 sin?? x ? ? ?? ? cos?? x ? ? ?? , tan?? x ? ? ?? ? 1,…………(3 分) ? 6? ? 6? ? 6?
(以下有两种解法:)

解法一: x ? ? ? k? ? ? , k ? Z , x ? k? ? 5? , k ? Z ,

6

4

12

tan x ? tan?? k? ? 5? ?? ? tan 5?

? tan?? ? ? ? ?? ? 1 ?

3 3

? 3?

? 12 ?

12

? 4 6 ? 1? 3 3?

3

3 ?2? 3

3 .…(6 分)

解法二:

tan

x

?

tan??????

x

?

? 6

?? ?

?

? 6

? ? ?

?

tan?? x ? ? ?? ? tan ? ? 6? 6
1? tan?? x ? ? ?? tan ?

1? ?
1?

3 3 3

? 2?

3.

? 6? 6

3

所以 tan x ? 3 ?1 ? 2 ? 3 .…………(6 分) 3 ?1

(2) f (x) ? 2 ? 2sin??? x ? ? ?? cos??? x ? ? ?? ? 2 ? 2sin??? x ? ? ?? cos??? x ? ? ??

? 6? ? 6?

? 6? ? 6?

? sin?? 2? x ? ? ?? ,…………(8 分)

?

3?

因为 f (x) 的最小正周期为? ,所以 2? ? ? ,? ? 1, 2?

所以 f (x) ? sin?? 2x ? ? ?? ,…………(10 分) ? 3?



x?

???0

,

?? 2 ??

时, 2x

?

? 3

? ????

? 3

,

2? 3

? ??

,…………(12

分)

? 所以函数 f (x) 的值域为 ??
?

3 2

? , 1?
?

.…………(14

分)

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

解:(1)由已知,当 x ? 0时, C(x) ? 8 ,即 k ? 8 ,所以 k ? 40 ,……(1 分) 5

所以 C(x) ? 40 ,…………(2 分) 3x ? 5

又加装隔热层的费用为 C1 (x) ? 6x .

所以

f

(x)

?

20 ? C(x)

?

C1 ( x)

?

20 ?

40 3x ?

5

?

6x

?

6x

?

800 3x ? 5

,…………(5

分)

f (x) 定义域为[0 , 10] .…………(6 分)

(2) f (x) ? 6x ? 800 ? 6x ? 800 ? 6?? x ? 5 ?? ? 800 ?10 ? 2 6 ? 800 ?10

3x ? 5

3?? x ? 5 ?? ? 3 ? 3?? x ? 5 ??

3

? 3?

? 3?

? 70 ,…………(10 分)

当且仅当 6?? x ? 5 ?? ? 800 , ? 3 ? 3?? x ? 5 ?? ? 3?

?? x ? 5 ??2 ? 800 , x ? 5 ? 20 ,即 x ? 5时取等号.…………(13 分)

? 3 ? 18

33

所以当隔热层加装厚度为 5 厘米时,总费用 f (x) 最小.最小总费用为 70 万元.…(14 分)

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 6 分.
解 :( 1 ) m ? 1 时 , f (x) ? x 2 ? 1 , 因 为 a1 ? 0 , 所 以 a2 ? f (a1 ) ? f (0) ? 1 , a3 ? f (a2 ) ? 2 , a4 ? f (a3 ) ? 5 .…………(3 分,每求对一项得 1 分) (2) f (x) ? x 2 ? m ,则 a2 ? m , a3 ? m2 ? m , a4 ? (m2 ? m)2 ? m ? m4 ? 2m3 ? m2 ? m ,…………(5 分) 如果 a2 , a3 , a4 成等比数列,则 (m2 ? m)2 ? m(m4 ? 2m3 ? m2 ? m) , m4 ? 2m3 ? m2 ? m5 ? 2m4 ? m3 ? m2 ,

m5 ? m4 ? m3 ? 0 ,…………(6 分)

因为 a2

?

m

?

0 ,所以 m2

? m ?1? 0,m

?

?1? 2

5 或m ? ?1? 2

5 .……(8 分)

当 m ? ?1 ? 5 时,数列的公比 q ? a3 ? m2 ? m ? m ? 1 ? 1 ? 5 .……(9 分)

2

a2

m

2

当 m ? ?1 ? 5 , q ? 1 ? 5 .…………(10 分)

2

2

(3) f (x) ? x 2 ? 1, x ?[0 ,??) ,所以 f ?1 (x) ? x ? 1 ( x ? ?1),……(11 分)

? ? b1 ? 1,bn?1 ?

bn2

?

1

,所以

b2 n ?1

? bn2

? 1,而 b12

? 1,所以

bn2

是以1为首项,1为公比

的等比数列, bn2 ? n ,…………(13 分)

所以 Sn

?1?

2 ???

n

?

n(n ?1) 2

,…………(14

分)

由 Sn

?

2010

,即

n(n ?1) 2

?

2010,解得 n ? 63 ,所以所求的最小正整数 n

的值是 63.

…………(16 分)

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 6 分,第 3

小题满分 7 分.

23.解:(1)设点 P(x , y) 是函数 f (x) 图像上任意一点,P 关于点 A 对称的点为 P?(x? , y?) ,

则 x ? x? ? 1, y ? y? ? 2 ,于是 x? ? 2 ? x , y? ? 4 ? y ,…………(2 分)

2

2

因为 P?(x? , y?) 在函数 g(x) 的图像上,所以 y? ? 4 ? a|x??2| ? 2 ? a x??2 ,……(3 分)

即 4 ? y ? 4 ? a|?x| ? 2 ? a ?x , y ? a|x| ? 2 ? a ?x , 所 以 f (x) ? a|x| ? 2 ? a ?x ( 或

f

(x)

?

a | x|

?

2 ax

).………………(5 分)

(2)令 a x ? t ,因为 a ? 1 , x ? 0,所以 t ? 1,所以方程 f (x) ? m 可化为 t ? 2 ? m , t

即关于 t 的方程 t 2 ? mt ? 2 ? 0 有大于1的相异两实数解.…………(8 分)

?h(1) ? 0

作 h(t)

?

t2

?

mt

?

2

,则

?? ? ?

m 2

?

1

,…………(11 分)

??m2 ? 8 ? 0

解得 2 2 ? m ? 3 .所以 m 的取值范围是 (2 2 , 3) .…………(12 分)

(3) g(x) ? a|x| ? 2a x , x ?[?2 , ? ?) .

当 x ? 0 时,因为 a ? 1 ,所以 a x ? 1 , g(x) ? 3a x ?[3 , ? ?) ,所以函数 g(x) 不存在最

大值.…………(13 分)

当?2?

x ? 0 时, g(x)

?

2a x

?

1 ax

,令 t

?

2x ,则 g(x)

?

h(t

)

?

2t

?

1 t



t

?

? ??

1 a2

, 1?? , ?

当1 ? a2

2 2

,即1 ? a ?

4

2

时,

h(t

)



? ??

1 a2

, 1?? 上是增函数,存在最小值 a2 ?

?

2 a2

,与 a

有关,不符合题意.…………(15 分)

当0? 1 ? a2

2 2

,即 a

?

4

2

时,

h(t

)



?
? ?

1 a2

,

2 2

?
? ?

上是减函数,在

?
? ?

2 2

, 1???? 上是增函数,

当t ?

2 2



x

?

?

1 2

log

a

2

时,

h(t)

取最小值

2

2 ,与 a 无关.…………(17 分)

综上所述, a 的取值范围是[4 2 , ? ?) .…………(18 分)


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