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浙江省杭州十四中10-11学年高一下学期期中试题(数学)

浙江省杭州十四中10-11学年高一下学期期中试题(数学)

杭十四中二〇一〇学年第二学期阶段性测试 高一年级数学试卷
考试说明:
1.考试时间:2011 年 04 月 26 日 8 时至 9 时 30 分。 2.本卷不得使用计算器。 3.本卷分试题卷和答题卷,本卷满分 100 分,附加题满分 20 分。共 2 页。 4.答题前,请在答题卡指定区域内填涂好相关信息。所有答案必须写在答题卡上,写在试题卷上无效。

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。

(1)设 a

?

( 3 ,sin? ) , b

?

(cos ? ,

1)

,且 a //

? b

,则锐角 ?



2

3

(A) 300

(B) 600

(C) 750

(D) 450

(2)若 a, b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是

(A) ? 6
(3)已知下列命题中:

(B) ? 3

(C) 2? 3

(D) 5? 6

A.若 k ? R ,且 kb ? 0 ,则 k ? 0 或 b ? 0

B.若 a ?b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0

? ? ? ? C.若不平行的两个非零向量 a, b ,满足 a ? b ,则 a ? b ? a ? b ? 0

D.若 a 与 b 平行,则 a ?b ? a ? b 其中真命题的个数是

(A) 0

(B)1

(C) 2

(D) 3

(4)设 a ? sin140 ? cos140 , b ? sin160 ? cos160 , c ? 6 ,则 a,b, c 大小关系 2

(A) a ? b ? c

(B) b ? a ? c

(C) c ? b ? a

(5)若? ?(0,? ) ,且 cos? ? sin? ? ? 1 ,则 cos 2? ? 3

(A) 17 9

(B) ? 17 9

(6)已知 sin(? ? x) ? 3 , 则 sin 2x 的值为

4

5

(A) 19 25

(B) 16 25

(C) ? 17 9
(C) 14 25

(D) a ? c ? b
(D) 17 3
(D) 7 25

(7)若三点 A(2,3), B(3, a),C(4,b) 共线,则有

(A) a ? 3,b ? ?5 (B) a ? b ?1 ? 0 (C) 2a ?b ? 3 (D) a ? 2b ? 0

(8)在△ABC 中,若

tan A tan B

?

a2 b2

,则△ABC 的形状是

(A)直角三角形 (B)等腰或直角三角形(C)等腰三角形

(D)不能确定

(9)已知数列1, 3 , 5 ,…, 2n ?1 ,…,则 21 是这个数列的

(A)第 10 项

(B)第 11 项

(C)第 12 项

(D)第 21 项

(10)定义运算

?a ??c

b?

d

? ?

?

?e

? ?

f

? ? ?

?

?ae ? bf ??ce ? df

? ? ?

,如

?1 ??0

2? 3??

?

?4? ??5??

?

?14? ??15??

.已知?

?

?

??

,?

?

?

?

? 2





?s in ? ??cos?

cos? ? ?cos? ?

sin

?

? ?

?

??sin

?

? ?

?

(A)

?0 ??0

? ? ?

(B)

?0?

??1

? ?

(C)

?1 ? ??0??

(D)

?1? ??1??

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分。

(11)函数 f (x) ? cos x ? 1 cos2x(x ? R) 的最大值等于



2

(12)已知数列的 Sn ? n2 ? n ? 1 ,则 a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 =___________.

? ? (13)已知数列 an 是等差数列,若 a4 ? a7 ? a10 ? 17 ,

a4 ? a5 ? a6 ? ? a12 ? a13 ? a14 ? 77 ,且 ak ? 13 ,则 k ? _________. (14)若 a = (2,3) , b = (?4,7) ,则 a 在 b 上的投影为_____________. (15)已知向量 a ? (cos?,sin? ) ,向量 b ? ( 3,?1) ,则| 2a ? b | 的最大值,

最小值分别是_________.

(16)给出下列命题:①存在实数 x ,使 sin x ? cos x ? 3 ; 2
②若?, ? 是第一象限角,且? ? ? ,则 cos? ? cos ? ;

③函数 y ? sin( 2 x ? ? ) 是偶函数; 32

④函数 y ? sin 2x 的图象向左平移 ? 个单位,得到函数 y ? sin(2x ? ? ) 的图象.

4

4

其中正确命题的序号是____________.(把正确命题的序号都填上)

三、解答题:本大题共 4 小题,共 42 分。
(17)(本小题 10 分)在△ABC 中, A ?1200, c ? b, a ? 21, S?ABC ? 3 ,求 b, c .
(18)(本小题 10 分)已知等差数列{an}中,a3 + a4 = 15,a2a5 = 54,公差 d < 0. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)求数列的前 n 项和 Sn 的最大值及相应的 n 的值.
(19)(本小题 10 分)已知函数 f (x) ? a(cos2 x ? sin x cos x) ? b .

(1)当 a ? 0 时,求 f (x) 的单调递增区间;

(2)当 a ? 0 且 x ?[0, ? ] 时, f (x) 的值域是[3, 4], 求 a, b 的值. 2

(20)已知向量,

a

?

? ??

cos

3 2

x,

sin

3 2

x

? ??

,

b

?

? ??

cos

x 2

,

?

sin

x 2

? ??

,



x

?

???0,

? 2

? ??

,

f

?x?

?

a?b

?

2?

a

?

b

(?

为常数).

(1) 求 a ? b 及 a ? b ;
(2)若 f ? x? 的最小值是 ? 3 ,求实数 ? 的值.
2

四、附加题:本大题共 2 小题,21,22 题各 10 分,共 20 分。 (21)(本小题 10 分)
(I) A 为△ABC 的内角,则 sin A ? cosA的取值范围是________ .

(II)给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为120o .

如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动.

若 OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R ,则 x ? y 的最大值是________.

(22)已知 ?ABC 中,| AC |?1 , ?ABC ?1200 , ?BAC ?? ,

记 f (? ) ? AB ? BC . (1)求 f (? ) 关于? 的表达式; (2)求 f (? ) 的值域.



120°

A?



命题:徐剑 校对:马茂年

高一数学卷参考答案及评分细则

1.D 3 ? 1 ? sin? cos?,sin 2? ? 1, 2? ? 900,? ? 450 23

2.B

a2 ? 2a ?b ? 0,b 2 ? 2a ?b ? 0, a2 ? b 2, a

?

b

, cos?

?

a?b ab

?

1 a2 2 a2

?1 2

3. C (1)是对的;(2)得 a ? b ;(3) (a ? b ) ? (a ? b ) ? a2 ? b 2 ? a 2 ? b 2 ? 0

(4)平行时分 00 和1800 两种, a b ? a ? b cos? ? ? a ? b

4.D a ? 2 sin 590 , b ? 2 sin 610 , c ? 2 sin 600

5. A (cos? ? sin? )2 ? 1 ,sin? cos? ? ? 4,而sin? ? 0, cos? ? 0

9

9

cos? ? sin? ? ? (cos? ? sin? )2 ? 4sin ? cos? ? ? 17 3

cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? (cos? ? sin? )(cos? ? sin? ) ? ? 1 ? (? 17 ) 33

6.D sin 2x ? cos(? ? 2x) ? cos 2(? ? x) ? 1? 2sin2(? ? x) ? 7

2

4

4

25

7.C AB ? (1, a ? 3), AC ? (2,b ? 3), AB // AC ? b ? 3 ? 2a ? 6, 2a ? b ? 3

8.B

sin A cos A

?

cos B sin B

?

sin 2 sin 2

A, B

cos B cos A

?

sin sin

A ,sin B

A cos

A

?

sin

B cos

B

s i n A2 ? s i nB 2 A,?2 或B 2 A?2 B??2

9.B 10.A
3
11.
4

f ( x)? ? c o2 s x ? c oxs?1 当 , cxo?1s时

2

2

f

m,xa x (

?3) 4

12. 100 a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 ? S12 ? S7 ? 122 ?12 ?1? (72 ? 7 ?1) ? 100

13. 18

3a7

?

1

7a,

7?

17 3

,a1 19?

a7 7?9 ,

d

?7 ,2 3

ak

?

a,

?9

k?

d(

9)

13 ? 7 ? (k ? 9)? 2 , k ? 18 3

14. 65 a cos? ? a b ? 13

5

b 65

15.









4











0

2a ? b ? (2cos? ? 3, 2sin? ?1),| 2a ? b |? (2cos? ? 3)2 ? (2sin? ?1)2

16. ③

? 8 ? 4sin? ? 4 3 cos? ? 8 ? 8sin(? ? ? ) ,最大值为 4 ,最小值为 0 3

对于①, sin x ? cos x ? 2 sin(x ? ? ) ? 2 ? 3 ;

4

2

对于②,反例为? ? 300, ? ? ?3300 ,虽然? ? ? ,但是 cos? ? cos ?

对于④, y ? sin 2x ? y ? sin 2(x ? ? ) ? sin(2x ? ? )

4

2

17.

解: S?ABC

?

1 bc sin A ? 2

3, bc ? 4, (4 分)

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A,b ? c ? 5 ,(8 分)

而 c ? b ,所以 b ? 1, c ? 4 (10 分)

18. 解:(1)?{an }为等差数列,? a2 ? a5 ? a3 ? a4

?

?a 2 ??a2

? a5 ? 15 ? a5 ? 54

解得

?a2 ??a5

? ?

6
(因
9

d<0,舍去)

?a 2 ??a5

? ?

9 6

?d ? ?1 ? ??a1 ? 10

? an ? 11 ? n. (5 分)

(2)? a1 ? 10, an ? 11 ? n

? Sn

?

n(a1 ? an ) 2

?

? 1 n2 2

?

21 n. 2



?

1 2

?

0

,对称轴为

21 2

,故当

n

=

10



11

时,Sn

取得最大值,其最大值为

55.(10

分)

19. 解: f (x) ? a ? 1? cos 2 x ? a ? 1 sin 2x ? b ? 2a sin(2 x ? ? ) ? a ? b (3 分)

2

2

2

42

(1) 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? ? , k? ? 3? ? x ? k? ? ? ,

2

4

2

8

8

[k? ? 3? , k? ? ? ], k ? Z 为所求(6 分)

8

8

(2) 0 ? x ? ? , ? ? 2x ? ? ? 5? , ? 2 ? sin(2x ? ? ) ? 1,

24

44 2

4

f

( x)min

? 1? 2

2

a?b

? 3,

f

( x) max

?b

?

4,

? a ? 2 ? 2 2b, ? (4 10 分)

a ? b ? cos 3 x ? cos x ? sin 3 x ? sin x ? cos2x

20. 解:⑴

2

22

2

(2 分)

| a ? b |? ( c o 3s x ? c o sx )2 ? ( s i n3 x ? s i nx )2

2

2

2

2

? 2 ? 2cos2x ? 2 cos2 x

? x ?[0, ? ],?c o sx ? 0,?| a ? b |? 2c o sx

2

(6 分)

⑵ f (x) ? cos2x ? 4? cosx ? 2(cos x ? ?)2 ?1 ? 2?2
? x ?[0, ? ],?0 ? cosx ? 1. 2
①当 ? ? 0时,当且仅当 cosx ? 0 时, f (x) 取得最小值-1,这与已知矛盾;

②当 0 ? ? ? 1时,当且仅当 cos x ? ? 时, f (x) 取得最小值 ?1 ? 2?2 ,

?1 ? 2?2 ? ? 3 ,解得? ? 1

由已知得:

2

2;

③当 ? ? 1时,当且仅当 cos x ? 1时, f (x) 取得最小值1? 4? ,

1 ? 4? ? ? 3

由已知得

2,

?
解得

?5 8 ,这与 ?

? 1相矛盾,

??1 综上所述, 2 为所求. (12 分)

21.(1) (?1, 2] ;
(2) 解 设 ?AOC ? ?

??OC ? ??OC

? ?

OA OB

? ?

xOA ? OA xOA ? OB

? ?

yOB ? OA, yOB ? OB,

,即

???cos? ?

?

x

?

1 2

y

???cos(1200 ?? ) ?

?

1 2

x

?

y

∴ x ? y ? 2[cos? ? cos(1200 ?? )] ? cos? ? 3 sin? ? 2sin(? ? ? ) ? 2 6

22.



120°

A?



解:(1)由正弦定理有: | BC | sin?

?

1 sin1200

?

| AB | sin(600 ?? )





|

BC

|?

1 sin1200

sin?

,|

AB

|?

sin(600 ?? sin1200

)

.(3

分)

∴ f (? ) ? AB ? BC ? 4 sin? ? sin(600 ?? ) ? 1 ? 2 ( 3 cos? ? 1 sin? )sin?

3

2 32

2

? 1 sin(2? ? ? ) ? 1 (0 ? ? ? ? ) (7 分)

3

66

3

(2)由 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? 5? ;

36

66

∴ 1 ? sin(2? ? ? ) ?1 ;∴ f (? ) ?(0, 1] .(10 分)

2

6

6


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