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江苏省南通市天星湖中学2017届高三数学寒假在线课堂练习:专题3-5 数列综合复习(2)

江苏省南通市天星湖中学2017届高三数学寒假在线课堂练习:专题3-5 数列综合复习(2)

专题 3-5 【学习目标】 数列综合复习(2) 1.掌握几种常见求通项及求和的方法; 2.会处理一些数列综合题,如数列与不等式、函数及数论相结合; 3.体会数形结合、转化与化归、函数与方程以及分类讨论几种重要的数学思想. 【知识链接】 1.若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 1 ,则数列 ?an ? 的通项公式 an =___________. 2.若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2an ? 1 ,则数列 ?an ? 的通项公式 an =___________. 3.若数列 ?an ? 的通项公式是 an ? (?1) n (3n ? 2) ,则 a1 ? a2 ??? a10 ? ___________. 4.数列 ?an ? 的首项为 3, ?bn ? 为等差数列.若 bn ? an?1 ? an (n ? N* ) , b3 ? ?2 , b10 ? 12 ,则 a8 ? ________. 5.数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a2 ? 3 , an ? an ?1 ( n ? ?? , n ≥ 3 ) ,则 a2011 ? an ? 2 . 【知识建构】 题型一 与解析几何相结合的综合问题 例 1 设 ?an ? , ?bn ? 是两个数列,点 M (1, 2) , An (2, an ), Bn ( 对 n ? N* ,若三点 M , An , Bn 共线. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足: log 2 cn ? a1b1 ? a2 b2 ? ? ? an bn ,其中 ?cn ? 是第三项为 8,公比 a1 ? a2 ? ? ? an n ?1 2 , ) 为直角坐标平面上的点, n n 为 4 的等比数列,求证:点列 P 1 (1, b 1 ), P 2 (2, b2 ),?, P n (n, bn ) 在同一条直线上. 题型二 Sn 与 an 关系式的处理 例 2 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足: a1 ? a (a ? 0) , an ?1 ? rSn (n ? N* , r ? R , 且 r ? ?1) . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若存在 k ? N* ,使得 S k ?1 , Sk , S k ? 2 成等差数列,试判断:对于任意的 m ? N* , 且 m ≥ 2 , am ?1 , am , am? 2 是否成等差数列,并证明你的结论. 题型三 数列中最大(小)项问题的处理 例 3 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 2a ? 1 ( a ? R ,且 a ? ?1 ), an ? 2an?1 ? n2 ? 4n ? 2 (n ≥ 2) , 数列 ?bn ? 的首项 b1 ? a , bn ? an ? n2 (n ≥ 2) . (1)证明: ?bn ? 从第二项起是以 2 公比的等比数列; (2)设 Sn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,且 ?Sn ? 是等比数列,求实数 a 的值; (3)已知当 n ≥ 3 时,总有 2n ? 2n ? 1 成立,求当 a ? 0 时,数列 ?an ? 的最小项. 【学习诊断】 n ? ? ? ?2? ? 1.若数列 ?n(n ? 4) ? ? ? 中的最大项是第 k 项,则 k =___________. ?3? ? ? ? ? 2.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,其中 an ? 0 , a1 为常数,且 ? a1 、 Sn 、 an ?1 成等差数列. (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? 1 ? Sn ,问:是否存在 a1 ,使数列 {bn } 为等比数列?若存在,求出 a1 的值; 若不存在,请说明理由. 3.已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? 0 , a6 ? a8 ? ?10 ; (1)求数列 ?an ? 的通项公式; ?a ? (2)求数列 ? nn 的前 n 项和. ?1 ? ?2 ? 4.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 且 1 1 ? ?1. 1 ? an?1 1 ? an (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 1 ? an?1 n ,记 S n ? ? bk ,证明: Sn ? 1 . k ?1 n 【巩固练习】 1.观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 …… 照此规律,第 n 个等式为 ?an ? ___________. 2.如上,从点 O (0, 0) 作 x 轴的垂线交曲线 y ? e x 于点 Q1 (0,1) ,曲线在 Q1 点处的切线与 x 轴交于点 P 2 .再从 P 2 作 x 轴的垂线交曲线于点 Q2 ,依次重复上述过程得到一系列点: . P 1 , Q1 ; P 2 , Q2 ;…; P n , Qn ,记 P k 点的坐标为 ( xk ,0) ( k ? 0,1,2,?, n ) (1)试求 xk 与 xk ?1 的关系 (2 ? k ? n) ; (2)求 | PQ 1 1 | ? | PQ 2 2 | ? | PQ 3 3 | ??? | PQ n n |. 3.已知关于 x 的二次方程 an x2 ? an?1 x ? 1 ? 0(n ? N? ) 的两根 ? , ? 满足 a1 ? 1 且 6? ? 2?? ? 6? ? 3 . (1)试用 a n 表示 an ?1 ; 2 (2)求证: {an ? } 是等比数列; 3 (3)求数列的通项公式 a n ; (4)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn . 4.在数列 ?an ? 中, a1 ? 0 ,且对任意 k ? N* , a2k ?1 , a2 k , a2k ?1 成等差数列,其公差为 2 k . (1)证明:

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