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2018年成都市2015级高中毕业班第三次诊断性检测文科数学试卷和答案

2018年成都市2015级高中毕业班第三次诊断性检测文科数学试卷和答案


成都市 2 0 1 5 级高中毕业班第三次诊断性检测

数学 ( 文科 ) 参考答案及评分意见
第 Ⅰ 卷( 选择题 , 共6 0 分)

( 一? 选择题 : 每小题 5 分 , 共6 0 分)

; ; ; ; ; ; 1 . A; ? 2 . C ? 3 . D; ? 4 . B ? 5 . A; ? 6 . C ? 7 . B ? 8 . C ? 9 . D; ? 1 0 . A; ? 1 1 . C ? 1 2 . D.

1 π 1 5 ; ; 1 3. ??1 4. ; ??1 5. ??1 6. 2 2 -2 . s i n 1 2 5 ( 三? 解答题 : 共7 0 分) ( 解: 1 7. Ⅰ) ?S2 , S4 , S3 成等差数列 , ?S4 -S2 =S3 -S4 , a3 +a4 =-a4 . ?2 a4 =-a3 . 2 分 是等比数列 , 设公比为q. ?{ a ? a3 ?0. n} a4 1 ? q = =- a3 2 3 2 3 4 分 ? a2 +a3 +a4 =a1( ? a1 =1. =- , q +q +q ) 8 1 n-1 n- 1 6 分 ? a a1 - ) . n = q =( 2 1 n-1 ( Ⅱ) b n( ) . n = 2 1 0 1 1 1 2 1 n-1 ① ?Tn =1? ( ) +2? ( ) +3? ( ) + +n ? ( ) , 2 2 2 2 1 11 12 13 1 n- 1n 1 ) T 2 3 n- 1 n? ( ) . ?② 9分 ? ( )+ ? ( )+ ? ( )+ + ( ?( ) + n =1 2 2 2 2 2 2 1 1 0 1 1 1 2 1 n-1 1 n 由 ① - ②, 得 Tn = ( ) 0分 + ( ) + ( ) + + ( ) -n ? ( ) . 1 2 2 2 2 2 2 n +2 1 ?Tn =4- n-1 . 2分 2 ( 1 8.解 : Ⅰ )先求产品研发费的自然对数值z 和销售额y 的回归直线方程 .

( 二. 填空题 : 每小题 5 分 , 共2 0 分)

第 Ⅱ 卷( 非选择题 , 共9 0 分)

^ ? b=

i=1

z ?(



i

) ( y -z i -y)

^ ? 1. 9 9 l n x +2 1. 8 6. y =1 ^ ( Ⅱ )由已知 , 1 1 . 9 9 l n x +2 1. 8 6=7 0. = y ? l n x ?4. 0 2. ?x ?5 5. 5.

^ - ^ =4 ? a =y b z 2-1 1. 9 9?1. 6 8?2 1. 8 6. ^ ? 1. 9 9 z +2 1. 8 6. y =1

i=1

2 ) z z i- ?(



8 1. 4 1 1. 9 9, = ?1 6. 7 9

2 分 4 分 6 分 8 分 1 0分

数学 ( 文科 ) 三诊参考答案第 ? 共 4页) 1 页(

需要的产品研发费大约为 5 ? 若2 0 1 8 年的销售额要达到 7 0 万元 , 5. 5 万元 . 1 2分 ( 解: 连接 B 并连接 D 1 9. Ⅰ )如图 , D 交E C 于点 Q , E. ?A B =4, E 为A B 中点 , ?B E =A E =2. ?B E C D A E. 四边形 B ? 四边形 A E C D, E D C 是平行四边形 . ?AD =C E. 又 AD =B C, ?C E =B C. ? 四边形 E B C D 为菱形 .

又 ?A B C =6 0 ?, ?C B =B E. 即B ?B D ?E C, Q ?E C 且 DQ ? E C. ?E C ? 平面 PDQ .

2 分 4 分

? 在四棱锥P -A E C D 中, ? P Q ?E C 且D Q ?E C, D Q ?P Q = Q, 又 PD ? 平面 PDQ , ?PD ? E C. 又P Q ?E C, P Q ? 平面 P E C, ?P Q ? 平面 A E C D.

5 分 6 分

( Ⅱ) ? 二面角 P -E C -A 是直二面角 ,

( 解: 知动点 M 的轨迹C 是以 A , 2 0. Ⅰ )由已知及椭圆的定义 , B 为焦点的椭圆 .

1 1 1 ? VP-AECD = S四 边 形AECD P Q = ? ?2?2 3 ? 3 =2 3 3 2

9 分 1 2分

x2 y2 ( ) 设椭圆 C 的方程为 2 + 2 =1 a >b >0 . a b
由已知 , 有2 a =4, c =1.
2 ? a =2, b = a2 -c = 3.

x2 y2 ? 曲线 C 的方程为 + =1. 4 3
( Ⅱ )联立

3 分 4 分 5 分 7 分 8 分

{

k x +2 y=

( )>0, ?Δ =1 6 1 2 k2 -3 ?4 k2 >1 .

, ) 消去 y , 得( 4 k2 +3 x2 +1 6 k x +4=0 . 2 3 x2 +4 2 y =1

1 6 k ì ? x1 +x2 =- 2 ? 4 k +3 , 设 P( 则í x1 , Q( x2 , . . y1) y2) 4 ? x1 x2 = 2 ? 4 k +3 ?

1 6 k2 1 2 ? k( x1 +x2) . +4=- 2 +4= 2 y1 +y2 = 4 k +3 4 k +3 ? ? ? 易知 ?O P +O Q= λON , λ ?0 , 1 1 6 k ì ? xN = ( x1 +x2) =- ( 2 ) ? λ 4 k +3 λ ?í . 1 1 2 ? ( ) yN = y1 +y2 = ( 2 ? ) λ 4 k +3 λ ?

9 分

数学 ( 文科 ) 三诊参考答案第 ? 共 4页) 2 页(

又点 N 在椭圆C 上 , ? 化简 , 得λ2 =

1 1 1 6 即 0<λ2 <4. ?0< 2 < . <4, 4 4 k +3 4 k +3 )? ( ) ? λ?( 0 0, 2 . -2, x ( 解: 得 h( 2 1. Ⅰ )由已知 , x) =e . x x 设 H( x) x) x) ?( x) =h( -g( =e -x -1.?H =e -1. , 当 x 变化时 , H( x) H ?( x )的变化情况如下表 : ?0<


?4 k2 >1, ?4 k2 +3>4.

6 4 k2 +4 8 1 6 . 2 = ( ) 4 k2 +3 4 k2 +3

2 2 2 1 1 6 k 1 1 2 1. ?( 2 + ? 2 2 2 2 = ) ) 4 3 ( 4 k +3 λ 4 k2 +3 λ

1 0分

1 2分 2 分 ( 0, + ?) + 单调递增 4 分

x H ?( x) H( x)

( ) 0 - ?, - 单调递减

0 极小值 0

) 即 h( ?H ( x )? H ( 0 x) x )?0. =0, -g( ?g( x )? h( x) .

2 1+ -l n x l n x x ( ) ( ) , ( , ) ( ) 由已知 则 Ⅱ Fx = x ? 0 +? . F ?x = . 2 ( ) x +2 x +2 ( ? 函数 F ( x )在 [ k, k ? N? )上存在极值 , + ?) ( ?F ?( x) k, k ? N? )上有解 . =0 在 ( + ?) 即方程 1+ 2 ) n x( x >0 . -l x 2 ( n x =0 在 ( k, k ? N? )上有解 . -l + ?) x

6 分

令 φ( x) =1+

2 1 ?x >k , ? ?( x) =- 2 - <0. φ x x ? 函数 φ( x )在 ( 0, + ? )上单调递减 . ) 由于 φ( 4 =


7 7 7 1 e 1 3 1 2 1 8 7 ) 5 n 5= l n 5< l n 5< l n = -l <0 , φ( 5 5 5 5 5 5 3 1 2 5 ). 故函数 φ( x )的零点 x0 ? ( 4, 5

3 1 e 1 2. 7 n 4> l n > l n -l >0, 2 2 1 6 2 1 6


8 分

1 0分

( 解: 2 2. Ⅰ) ? 曲线 C 的极坐标方程是ρ =4 c o s θ, 2 2 2 即 x +y =4 ? ρ =4 c o s θ, x. ρ

( ? 方程 φ( x) k, k ? N? )上有解 ,? k ?4 . =0 在 ( + ?) ? k 的最大值为 4.

1 2分 2 分

2 2 ) ? 曲线 C 的直角坐标方程为 ( x -2 +y =4.

π ( 又直线l 的极坐标方程是 2ρ 即ρ s i n θ+ ) s i n θ +ρ c o s θ =1. =1, 4
数学 ( 文科 ) 三诊参考答案第 ? 共 4页) 3 页(

ì 2 ? x =- t ? ? 2 π ( )的直角坐标是 Q ( ) , ( 点 Q( 设直线l 的参数方程是 í Ⅱ) 0, 1 t 为参数 ) . ρ, 2 ? 2 ?y =1+ t 2 ? 将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中 , 得( -
2 化简 ,得t t+1=0. +3 2

? 直线l 的直角坐标方程为x +y -1=0 .

4 分

2 2 2 2 ) t-2 1+ t) +( =4. 2 2 6 分 8 分

此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点 A , B 对应的参数t t 1, 2. ? |Q A| B| t t + |Q = | =3 2. 1+ 2| : ( ) 解 原不等式即 2 3. Ⅰ 2 x +1 + x -2 ?4. ① 当 x ?- ② 当- ?t t 3 2, t t 1>0, 1+ 2 =- 1 2=

1 0分

( Ⅱ) ?f( x) x +1 + x -a , a ? R, = 2 ① 当 a =- ② 当 a >-

1 1 原不等式即 2 解得 - x +1-x +2?4, < x ?2 时 , < x ?1; 2 2 原不等式即 2 解得 x ? ? . ③ 当 x >2 时 , x +1+x -2?4, ] 4 分 综上 , 原不等式的解集是 [ 1 . -1, 1 3 时, 显然不等式 f( x) 2 x +1 ?0, x)<1 的解集为非空集合 ; = f( 2 2 6 分 1 1 , 欲使不等式 f( 必需 a + x)<1 的解集为非空集合 , <1. 2 2

1 1 时, 原不等式即 -2 解得 -1? x ?- ; x -1-x +2?4, 2 2

1 1 1 时, 易知当 x =- 时 , 即 f( x)取得最小值 a + . x) x +1 + = 2 f( 2 2 2

x -a ? a +
?-

③ 当 a <-

1 1 <a < ; 2 2

1 1 1 时, 易知当x =- 时 , 取得最小值 -a - . 即f( x) x) x +1 + = 2 f( 2 2 2 1 1 欲使不等式 f( 必需 -a - . x)<1 的解集为非空集合 , <1. 2 2

8 分

x -a ?-a -
?-

综上 , 当-

3 1 < a <- . 2 2

3 1 时, 不等式 f( x)<1 的解集为非空集合 . <a < 2 2

1 0分

数学 ( 文科 ) 三诊参考答案第 ? 共 4页) 4 页(


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