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2018高三数学(理)一轮复习课时作业(七十四)坐标系

2018高三数学(理)一轮复习课时作业(七十四)坐标系


课时作业(七十四) 坐标系 [授课提示:对应学生用书第 291 页] 1 ? ?x′=2x, x2 2 1.求椭圆 +y =1,经过伸缩变换? 后的曲线方程. 4 ? ?y′=y 1 ? ?x=2x′, ?x′=2x, ? 解析:由? 得到? ① ?y=y′. ? ? ?y′=y 4x′2 x2 将①代入 +y2=1,得 +y′2=1,即 x′2+y′2=1. 4 4 x2 因此椭圆 +y2=1 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2+y2=1. 4 2.(1)化圆的直角坐标方程 x2+y2=r2(r>0)为极坐标方程; (2)化曲线的极坐标方程 ρ=8sinθ 为直角坐标方程. 解析:(1)将 x=ρcosθ ,y=ρsinθ 代入 x2+y2=r2, 得 ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=r2,ρ2(cos2θ+sin2θ)=r2,ρ=r. 所以,以极点为圆心、半径为 r 的圆的极坐标方程为 ρ=r(0≤θ<2π). y (2)法一:把 ρ= x2+y2,sinθ= 代入 ρ=8sinθ, ρ y 得 x2+y2=8· 2 2, x +y 即 x2+y2-8y=0, 即 x2+(y-4)2=16. 法二:方程两边同时乘以 ρ, 得 ρ2=8ρsinθ, 即 x2+y2-8y=0. π 2 0- ?= .(ρ≥0,0≤θ<2π). 3.在极坐标系下,已知圆 O:ρ=cosθ+sinθ 和直线 l:ρsin? ? 4? 2 (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ∈(0,π)时,求直线 l 与圆 O 的公共点的极坐标. 解析:(1)圆 O:ρ=cosθ+sinθ,即 ρ2=ρcosθ+ρsinθ, 故圆 O 的直角坐标方程为:x2+y2-x-y=0, π? 2 直线 l:ρsin? ?θ-4?= 2 ,即 ρsinθ-ρcosθ=1, 则直线 l 的直角坐标方程为:x-y+1=0. (2)由(1)知圆 O 与直线 l 的直角坐标方程, ?x2+y2-x-y=0 ?x=0 ? ? 将两方程联立得? ,解得? ,即圆 O 与直线 l 在直角坐标系下的 ?x-y+1=0 ?y=1 ? ? 公共点为(0,1), π? 将(0,1)转化为极坐标为? ?1,2?,即为所求. 4.(2017· 邯郸调研)在极坐标系中,已知直线 l 过点 A(1,0),且其向上的方向与极轴的 π 正方向所成的最小正角为 ,求: 3 (1)直线的极坐标方程; (2)极点到该直线的距离. 解析:(1)如图,由正弦定理得 ρ 1 = . 2π π ? -θ? sin sin 3 ?3 ? π ? 2π 3 即 ρsin? ?3-θ?=sin 3 = 2 , π ? 3 ∴所求直线的极坐标方程为 ρsin? ?3-θ?= 2 . (2)作 OH⊥l,垂足为 H, π π 在△OHA 中,OA=1,∠OHA= ,∠OAH= , 3 3 π 3 则 OH=OAsin = , 3 2 3 即极点到该直线的距离等于 . 2 π? 3 5.在极坐标系中,曲线 C 的方程为 ρ2= ,点 R? ?2 2,4?. 1+2sin2θ (1)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线 C 的极坐标方 程化为直角坐标方程,R 点的极坐标化为直角坐标; (2)设 P 为曲线 C 上一动点,以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴,求矩形 PQRS 周长的最小值,及此时 P 点的直角坐标. 解析:(1)∵x=ρcosθ,y=ρsinθ, x2 ∴曲线 C 的直

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