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2015级研究生《数值分析》试卷

2015级研究生《数值分析》试卷


合肥工业大学研究生考试试卷 (A)
课程名称
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------装 订 线

数值分析

考试日期

2016 年 1 月 13 日

学院

全校 2015 级研究 生

姓名

年级

班级

学号

得分

一 、填空 题 (每 空 2 分 ,共 20 分 )

? f (1) = 2

1. 设

A=

? 3 ?5 ? ? ?4 8 ? ,则 ? ?
4

A



=

12

, Cond ( A )1

=

39

7. 求解 初值问 题 .

y ′ = f (t , y ), y (0) = 1 ( a ≤ t ≤ b ) 的改进 的 Euler 方法 的增量函 数

? ( t , y , h) = 1 f ( t , y ) + f (t + h , y + hf (t , y )] 2[
. 8. 解常微分 方程初值问 题 的三阶 R unge-Kutta 方法的局部 截断误差 是 二 、 (本题满 分 12 分 )

2. 函数

f ( x ) = ( ?2 x + 5)

的差商

f [1, 2, 3, 4, 5] =

16

O( h )

4

,其 中

h 是步长 。

3. 设

xi (i = 0,1, 2, 3) 是互异的 点, li ( x ) (i = 0,1, 2, 3) 是 Lagrange 插值基 函 数,则
2 2

(1) 对下 列方程组 建立收敛 的 Gauss-Seidel 迭代格式 ,并说明理由 。

∑ xi ( xi ? 1) l ( x ) =
i i= 0

3

x ( x ? 1)

.
3 次 Lagrange 插值多 项

?3 x + 2 x + 1 0 x ? ? ? 10 x ? 4 x + x ?2 x + 10 x ? 7 x ?
1 2 1 2 1 2

3

= 15, = 5, = 8.
?5

3

3

(2) 要达到 精度 4. 设函数 f ( x ) = cos 2 x , p 3 ( x ) 是以 ? 1, 0, 1, 2 为节点的 f ( x ) 的

ε = 10
( 0)

,试估计 上述所建立 的收敛的 Gauss-Seidel 迭代格式需要 的 迭

代步数; 取初 值 ( x1 式,则余项

, x 2 , x 3 ) = ( 0, 0, 0)

( 0)

(0 )

T

T

. (注: 向量 范数都 用 l ∞ 范数 )

f ( x ) ? p3 ( x) =

2 cos 2ξ 3

( x + 1) x( x ? 1)( x ? 2).

解 (1) 调整上述 方程组的次序 ,得

5. 设函数 f (1.39 ) = 5.4706, f (1.40) = 5.7978, f (1.41) = 6.1653 , 用三点数值微 分公式 计 算 f ′ (1.40 ) 的近似值是 6. 设 I =

34.735

,用三点数值微分公 式计算 f ′′ (1.40) 的近似 值是

403

.



2 0

f ( x )d x . 已知 f (0) + f ( 2) = 4 , 用 n = 2 (即将积 分区 间 [0, 2 ] 分成 2 段)

??10 x ? 4 x + x ? ?2 x + 10 x ? 7 x ?3 x + 2 x + 10 x ?
1 2 1 2 1 2

3

= 5, = 8, = 15.
(*)

3

3

的复化梯形求 积公式计 算 ___ 2____.

I

的结果与用

Simpson 求积公式 计算 I

的结果相 同, 则 f (1) =

据此建 立 Ga uss–Seidel 迭代公 式

I =



2 0

f ( x )d x

1 2 ≈ [ f (0) + 2 f (1) + f (2)] = [ f (0) + 4 f (1) + f (2)] 2 6
1

?x ? ?x ? ?x

( k +1 ) 1 ( k +1 ) 2 ( k +1 ) 3

( 1 = 10 ( ? 2 x 1 = 10 ( ?3 x

(k) (k ) 1 = 10 ?4 x2 + x3 ? 5 , ( k +1 ) 1 ( k +1 ) 1

)

+ 7 x3 ? 2 x2

(k )

+8 , + 15 .

)

( k +1 )

)

因为调整后的 方程组的 系数矩阵 是严格对 角占优的 ,所以据 此建立的 Gauss –Seidel 迭代 公式所产 生 的序列 { x
(k )

f ′( x i )
解 根据表中 的数据建立差 商 表

2

} 都收敛。

(2) 因为方程组 (*) 的系数 矩阵

??10 ?4 1 ? ?0 0 0 ? ??10 0 0 ? ?0 ?4 1 ? A = ? 2 10 ?7 ? = ?2 0 0 ? + ? 0 10 0 ? + ?0 0 ?7 ? = L + D + U ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 10 3 2 0 0 0 10 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ?
所以求解上述 方程组的 Gauss-Seidel 迭代格式的迭 代矩阵为

x0 = 0 x1 = 1 x1 = 1 x2 = 2

f ( x0 ) = 2 f ( x1 ) = 3 f ( x1 ) = 3 f ( x2 ) = 7 f [ x0 , x1 ] = 1 f [ x1 , x1 ] = 2 f [ x1 , x2 ] = 4 f [ x0 , x1 , x1 ] = 1 f [ x1 , x1 , x2 ] = 2 f [ x0 , x1 , x1 , x2 ] = 0.5

1 10 ? ? 0 ?2 5 . ?1 ? 17 25 ? BG = ? ( D + L) U = 0 2 25 ? ? ? ? 0 13 125 ? 83 500 ? ?

q = BG



= max { 0 + ? 2 5 + 1 10 , 0 + 2 25 + 17 25 , 0 + 13 125 + ? 83 500 } = 19 25 = 0.76 x (1) = ( ?0.5, 0.9, 1.47 )
T

则所求插值 多 项式为

p ( x) = f [ x0 ] + f [ x0 , x1 ]( x ? x0 ) + f [ x0 , x1 , x1 ]( x ? x0 )( x ? x1 ) + f [ x0 , x1 , x1 , x2 ]( x ? x0 )( x ? x1 ) = 2 + x + x( x ? 1) + 0.5 x( x ? 1) = 2 + 0.5x + 0.5 x .
3 2

2

用 Gauss-Seidel 迭代法迭代一次 得:



x

(1)

?x

(0 ) ∞

= max { ?0.5 ? 0 , 0.9 ? 0 , 1.47 ? 0 } = 1.47

k > ln
故需要迭代 49 次。

ε (1 ? q)
x (1) ? x ( 0 )

10 ?5 (1 ? 19 25) 19 ln q = ln ln ≈ 48.56 1.47 25

四 、( 本题 满分 10 分 ) 求拟合下列表中数据 的线性最 小二乘多 项式 p ( x ) ,取 权

ρi = 1 ,

i = 0,1, 2, 3, 4 ,并计算 总误 差 Q .

2

三 、 ( 本题满分 12 分 ) 用下列表中的数据求次 数不超过 3 次的插 值 多项式

p3 ( x ) , 使之满足

i

0 1 1.409

1 2 1.507

2 3 1.738

3 4 1.845

4 5 2.011

′ ( x1 ) = f ′( x1 ) . (要求写出 差商 表) p3 ( xi ) = f ( xi ) , i = 0,1, 2 ,和 p3


xi yi
根据 题意, 得

xi f ( xi )

0 2

1 3

2 7

m = 3,

n = 1, ? 0 ( x ) = 1, ?1 ( x ) = x ,

ρi ≡ 1 (i = 0,1, 2, 3)

-2-

x0 = 1, y0 = 1.409,
4

x1 = 2, y1 = 1.507,

x2 = 3, y 2 = 1.738,
4

x3 = 4; y3 = 1.845,

x4 = 5; y 4 = 2.011. (? 0 , f ) = ∑ 1 × yi = 8.51,
i=0 4 4

(? 0 ,?0 ) = ∑ 1 × 1 = 5,
i= 0 4

(? 0 , ?1 ) = ∑ 1 × xi = 15,
i= 0 4

?2 = A + A , ?0 = A x + A x , ? ? ?2 3 = A x + A x ? ?0 = A x + A x ,
1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 3 3 1 1 2 2

2 2

解得

,

(?1 ,? 0 ) = ∑ xi × 1 = 15,
i=0

(?1 , ?1 ) = ∑ xi × xi = 55,
i=0

(?1 , f ) = ∑ xi × yi = 27.072.
i=0

?x ? ?x ? ?A ?A ?

1

= ?1 =1
1

3, 3,

2

= 1, = 1.

2

得法方程组

故所求 两点 Gauss 型 求积公式 为



1

?1

f ( x) d x ≈ f ?

(

1 3

)+ f ( )
1 3

.

? 5 15 ? ? c0 ? ? 8.51 ? ? ?? ? = ? ?. ?15 55 ? ? c1 ? ? 27.072 ?
解得

(2) 为: 于是,所求多项 式为

因为

f ( x ) = e sin 3 x ,所以用上 述两点 Gauss 公 式计算 I = ∫ e sin 3 x d x
2x
1

2x

的近似 值

?1

c0 = 1.2394,

c1 = 0.1542.

I ≈ A f (x ) + A f (x ) = f ? 1
1 1 2 2

(

3

) + f ( ) ≈ 2.82084.
1 3
2 *

p1 ( x ) = 1.2394 + 0.1542 x .
总误差为

六 、 (本题满 分 12 分 )

(1)



f ∈ C [ a, b ] , x x
*

是方 程

f ( x ) = 0 的 m 重根 ( m ≥ 2) 。写

出求

x

*

的改进 的 Ne wton 迭代格 式;并证 明求

的改进 的 Ne wton 迭代法至 少 是平方收敛的 。

Q

2

=

∑[y
i=0

m

i

? p1 ( x i ) ] =

2

∑ [ y ? (1.2394 + 0.1542 x )]
i i i=0

4

2

= 0.0033236.

(2) 用弦截法 求 方程

x( x + 1) ? 1 = 0 在 0.4 附近的 实根 x
2

*

的近似 值

x3 .

(取初 值

五 、 ( 本题满分 12 分 )

(1) 确定 x1 , x 2 , A1 , A2 ,使下列求 积公式为 Gauss 型求积公 式

x0 = 0.4, x1 = 0.45 .)
(1) (2) 证明 解 弦截 法格式 为



1

?1

f ( x) dx ≈ A f ( x ) + A f ( x ) .
1 1 2 2

(2) 用 (1) 中所得 的求积公 式计算 解 (1) 则当

I =



1 ?1

e sin 3 x d x

2x

的近似值 ( 保留 4 位小数 ) 。

xk = xk ?1 ? = xk ?1 ?

xk ?1 ? xk ?2 f (xk ?1 ) ? f (xk ?2 )
2

f ( xk ?1 )

因为两点 Gauss 型求积 公式具有 3 次代数 精度,所 以上述求 积公式 若是 Gauss 型求积公 式,
2 3

f ( x ) = 1, x , x , x

时,上述 求积公式 应准确成 立,由此 得:

2 xk ?1 ( xk ?1 +1) ?1? ? ? ? , k = 2,3,L. ? ? xk ?1 ( xk ?1 + 1) ?1? ??? ? xk ?2 ( xk ?2 + 1) ?1? ? 2

xk ?1 ? xk ?2

取初 值

x0 = 0.4, x1 = 0.45 ,代入上式 计算 得: x2 = 0.466615,

x3 = 0.465555 .

-3-

七 、 ( 本题满分 12 分 )

(1) 证明 Euler 方法是 1 阶方法;并解释在 研究微分 方程数值解法 的误差时 ,

为什么可以用 局部截断 误差代替 整体截断 误差。 (2) 用改进的 E uler 方法求解 下列初值 问题,取 步长 h = 0.5 .

?y ? ? y ? ?

1

= y0 + h × f (t 0 , y 0 ) = 1 ? 0.5 × 1 × (1 + 0 × 1) = 0.5, = y0 + h 2 × [ f (t 0 , y0 ) + f (t1 , y1 )] = 1 ? 0.5 2 × [1 × (1 + 0 ×1) + 0.5 × (1 + 0.5 × 0.5)] ≈ 0.59375,

1

? y ′( t ) = ? y ( t ) (1 + t y ( t ) ) , ? ? y (0 ) = 1.
(1) 证明

0 ≤ t ≤ 1,

设 y n = y ( t n ) ,则 y ′ ( t n ) = f ( x n , y ( t n )) . 将 y ( t n + 1 ) 在 t n 处作 Taylor 展开

y ( t ) = y ( t + h ) = y (t ) + h ? y ′ ( t ) +
n +1 n n n

h

2

2!

y ′′ (ξ ) , t < ξ < t
n

n +1

? ?y ? ? ?y ? ? ? ?

2

= y + h × f (t , y ) ≈ 0.59375 ? 0.5 × 0.59375 × (1 + 0.5 × 0.59375) ≈ 0.20874,
1 1 1

2

=y +
1

h 2

× [ f (t , y ) + f (t , y )]
1 1 2 2

= 0.59375 ?

0.5 2

× [ 0.59375 × (1 + 0.5 × 0.59375 ) + 0.20874 × (1 + 1 × 0.20874 )] ≈ 0.338167.

由 Euler 方法得

八 、( 本题 满分 10 分 ) 设 S ( x ) 是函 数 f ( x ) 在区 间 [0, 2] 上满足第 一类边界 条件的三 次样条 :

yn+1

= y n + h ? f ( t n , y n ) = y ( t n ) + h ? f ( t n , y ( t n )) = y (t n ) + h ? y ′( t n ) .

上面两式相减 得

y (t ) ? y
n +1

n +1

=
?

h

2

2

y ′′(ξ ) = O (h ) ,
2

? S ( x ) = 2 x ? 3 x + 4, S (x) = ? ? S ( x ) = ( x ? 1) + b ( x ? 1) + c ( x ? 1) + 3,
3 0 3 2 1

0 ≤ x < 1, 1 ≤ x ≤ 2.



f ′(0), f ′(2) .
因为 S ( x ) 是 [0, 2] 上的三次 样条,所 以有

于是 p + 1 = 2

p = 1 ,即 E uler 方法具有 1 阶精度。



(2)



记 f (t , y ) =

? y (1 + t y ) ,

y 0 = 1,

t0 = 0 ,

h = 0.5 ,

?S ′ (1 ? 0) = S ′(1 + 0), ? ′′ ?S (1 ? 0) = S ′′(1 + 0),
0 1 0 1



?3 = c , ? ?12 = 2b.
0 ≤ x < 1,
2

则 t 1 = 0.5, t 2 = 1 ,且改进的 E uler 格式为

解得

c = 3, b = 6 ;代 入 S ( x ) ,得

?y ? ? ?y ? ? ?y
于是

n +1

= y + h ? f (t , y ),
n n n

? y p = y + h ? f ( t , y ),
n +1 n +1

n +1

= y +
n

h 2

[ f (t

n

, y ) + f (t , y )] ,
n



0

= 1,

?y c ? ? ? ?y ? ? ?y
0

n

n

n

S (x) = ?

? S ( x ) = 2 x ? 3 x + 4,
3 0

= y + h ? f ( t , y p ),
n n +1

? S ( x ) = ( x ? 1) + 6( x ? 1) + 3( x ? 1) + 3,
3 1

1 ≤ x ≤ 2.

i +1

=

1 2

因为 S ( x ) 是函 数 f ( x ) 在区 间 [0, 2] 上满足第一类 边界条件 的三次样 条,所以

( y p + yc ),

f ′ (0) = S ′ (0) = S 0′ (0)
练习 1 . 近似 数 2. 证明对 任意
*



f ′( 2) = S ′ (2) = S1′ (2)
位有效数字, 相对 误差是 (p.1-8)

= 1.

x = 3.120 关于准 确值 x = 3.12065 有
nn

x∈R

,有

x



≤ x

2



n x



, 并解释这个不 等式 的含义 (p.43)

-4-


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