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【名师点睛】高中数学北师大版必修2 第二章 解析几何初步章末总结

【名师点睛】高中数学北师大版必修2 第二章 解析几何初步章末总结

【步步高 学案导学设计】2014-2015 学年高中数学 第二章 解析几 何初步章末总结北师大版必修 2 一、数形结合思想 数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,即把代数中的 “数”与几何上的“形”结合起来认识问题、 理解问题并解决问题的思维方法. 数形结合一 般包括两个方面,即以“形”助“数”,以“数”解“形”. 本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题,如距离、倾斜角、斜率、直线与圆 相切等都很容易转化成“形”,因此这些问题若利用直观的几何图形处理会收到很好的效 果. 2 2 例 1 设点 P(x,y)在圆 x +(y-1) =1 上. y+2 求 的最小值. x+1 例2 讨论直线 y=x+b 与曲线 y= 4-x 的交点的个数. 2 二、分类讨论思想的应用 分类讨论的思想是中学数学的基本方法之一, 是历年高考的重点, 其实质就是整体问题 2 化为部分问题来解决,化成部分问题后,从而增加了题设的条件.(在用二元二次方程 x + 2 y +Dx+Ey+F=0 表示圆时要分类讨论);直线方程除了一般式之外,都有一定的局限性, 故在应用直线的截距式方程时, 要注意到截距等于零的情形; 在用到与斜率有关的直线方程 时,要注意到斜率不存在的情形. 例 3 过点 P(-1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线,使它们在 x 轴上截距之差 的绝对值为 1,求这两条直线方程. 例4 求过点 A(3,1)和圆(x-2) +y =1 相切的直线方程. 2 2 三、对称问题 在解析几何中,经常遇到对称问题,对称问题主要有两大类,一类是中心对称,一类是 轴对称. 1.中心对称 (1)两点关于点对称:设 P1(x1,y1),P(a,b),则 P1(x1,y1)关于 P(a,b)对称的点 P2(2a -x1,2b-y1),也即 P 为线段 P1P2 的中点,特别地,P(x,y)关于原点对称的点为 P′(-x, -y). (2)两直线关于点对称:设直线 l1,l2 关于点 P 对称,这时其中一条直线上任一点关于 P 对称的点都在另外一条直线上,并且 l1∥l2,P 到 l1、l2 的距离相等. 2.轴对称 (1)两点关于直线对称:设 P1,P2 关于直线 l 对称,则直线 P1P2 与 l 垂直,且 P1P2 的中 点在 l 上,这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程. (2)两直线关于直线对称:设 l1,l2 关于直线 l 对称. ①当三条直线 l1、l2、l 共点时,l 上任意点到 l1、l2 的距离相等,并且 l1、l2 中一条 直线上任意一点关于 l 对称的点在另外一条直线上; ②当 l1∥l2∥l 时,l1 到 l 的距离等于 l2 到 l 的距离. 例 5 已知直线 l:y=3x+3,求: (1)点 P(4,5)关于 l 的对称点坐标; (2)直线 y=x-2 关于 l 的对称直线的方程; (3)直线 l 关于点 A(3,2)的对称直线的方程. 例 6 自点 P(-6,7)发出的光线 l 射到 x 轴上点 A 处,被 x 轴反射,其反射光线所在 2 2 直线与圆 x +y -8x-6y+21=0 相切于点 Q.求光线 l 所在的直线方程. 第二章 例1 章末总结 答案 解 y+2 的几何意义是点 P(x,y)与定点(-1,-2)连线的斜率.如图,当为切线 l1 x+1 y+2 时,斜率最小.设 =k, x+1 即 kx-y+k-2=0,由直线与圆相切, |-1+k-2| 得 =1, k2+1 4 y+2 4 解得 k= .故 的最小值是 . 3 x+1 3 式子 例2 解 如图所示,在坐标系内作出曲线 y= 4-x 的图像(半圆). 直线 l1:y=x-2, 直线 l2:y=x+2 2. 2 当直线 l:y=x+b 夹在 l1 与 l2 之间(包括 l1、l2)时,l 与曲线 y= 4-x 有公共点; 进一步观察交点的个数可有如下结论: 2 ①当 b<-2 或 b>2 2时,直线 y=x+b 与曲线 y= 4-x 无公共点; 2 ②当-2≤b<2 或 b=2 2时,直线 y=x+b 与曲线 y= 4-x 仅有一个公共点. 2 ③当 2≤b<2 2时,直线 y=x+b 与曲线 y= 4-x 有两个公共点. 例 3 解 (1)当两条直线的斜率不存在时,两条直线的方程分别为 x=-1,x=0,它 们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1,符合题意; (2)当直线的斜率存在时,设其斜率为 k,则两条直线的方程分别为 y=k(x+1),y-2 =kx. 2 令 y=0,得 x=-1 与 x=- . 2 k 2 由题意得|-1+ |=1,即 k=1. k ∴直线的方程为 y=x+1,y=x+2, 即为 x-y+1=0,x-y+2=0. 综上可知,所求的直线方程为 x=-1,x=0 或 x-y+1=0,x-y+2=0. 例 4 解 当所求直线斜率存在时,设其为 k, 则直线方程为 y-1=k(x-3), 即 kx-y+1-3k=0. ∵直线与圆相切, |2k-0+1-3k| ∴d= =1,解得 k=0. 2 1+k 当所求直线斜率不存在时,x=3 也符合条件. 综上所述,所求直线的方程是 y=1 和 x=3. 例 5 解 (1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′(x′,y′), 则点 P,P′的中点 M 在直线 l 上,且直线 PP′垂直于直线 l, y′+5 x′+4 =3· +3 ? ? 2 2 即? y′-5 ? ?x′-4×3=-1 解得? ?x′=-2 ? ? ?y′=7 , , ∴P′坐标为(-2,7). (2)设直线 l1:y=x-2 关于直线 l 对称的直线为 l2,则 l1 上任一点 P1(x1,y1)关于 l 的对称点 P2(x2,y2)一定在 l2 上,反之也成立. y +y x +x ? ? 2 =3× 2 +3

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